黑龙江省绥化市第九中学2012届高三理科数学寒假训练题（一）

黑龙江省绥化市第九中学高三理科数学寒假训练题（一）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1、集合，则（ ）
A. {0,1,2} B. {0,1,3} C. {0,2,3} D. {1,2,3}
2、已知等差数列的前13项之和为，则等于（ ）
A. 18　　　 B. 12　 C. 9　　　 D. 6
3、下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是 （ ）
A． B． C． D．
4、将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为(　 　 A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝π
5．设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面．考察下列命题,其中真命题是（ ）
A． B．
C．∥ D．∥,∥
6、已知点满足，点在曲线上运动，则的最小值是( )
A． B． C． D．
7、设，函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线斜率为，则切点的横坐标为（ ）A． B． C． D．
8、在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的（）
A．BC//平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
9、已知函数 把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）A、 B、 C、 D、
10、已知函数①②；③；④。其中对于定义域内的任意一个自变量，都存在唯一的自变量，使成立的函数为（ ）
A．③ B．②④ C．①③ D．①③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、已知半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则的值是。
12、＝___________
13、△ABC的三个内角A、B、C对应的边分别为、、，若，则 ．
14、已知函数是定义在上周期为的偶函数，当，则与的大小关系为 .
15、下列命题中，正确的是 .(写出所有正确命题的编号)
①在中，是的充要条件；②函数的最大值是；
③若命题“，使得”是假命题，则；
④若函数，则函数在区间内必有零点.
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤）
16、（本小题满分12分）解关于x的不等式．
17、（本小题满分12分）如图，M是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，，四边形OMQP的面积为S，函数（1）求函数的表达式及单调递增区间；
（2）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，求a的值。
18、设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，.(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ) 若，为数列的前项和. 求证：.
19、首届世界低碳经济大会11月17日在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题。某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
20、已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小;
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由.
21、（本小题满分14分）设， ．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
高三寒假理科训练题（一）
参考答案
一、
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C B C D A B C B A
二、11、 12、 13、 14、 15. ①③④
三、16.解：
（1）：解集为：； （2）：解集为：；
（3）：解集为：； （4）：解集为：
评分标准：每个3分
18．解：（1）由，令，则，又，所以.
，则. 当时，由，可得
.即.
所以是以为首项，为公比的等比数列，于是. …………4分
（2）数列为等差数列，公差,可得. ………………6分
从而. …
.
从而. 　 …………………………12分
19、解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
，………………4分
当且仅当，即时等号成立， ………………5分
故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．………6分
（2）设该单位每月获利为,
则 ……………………9分
． ……………………………………10分
因为，所以当时，有最大值．………………………11分
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损………………………12分
20、解析：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，
∴
∴．
即该几何体的体积V为．
（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．
在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．
∴．
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．
解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴，
∴
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．
（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.
取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，
则点Q满足题设.
连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中
∵ ∴∽ ∴
∵ ∴ ∴．
∵,
∴
∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q ∴
∵面,面 ∴ ∴面
∵面ACQ 21世纪教育网 ．
解法2: 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则
，
∵AQBQ ∴ ----------------------------①
∵点Q在ED上，∴存在使得
∴-----------②
②代入①得，解得
∴满足题设的点Q存在，其坐标为
21. （本题满分14分）
（1）当时，，，，，
所以曲线在处的切线方程为； 4分
（2）存在，使得成立
等价于：，
考察， ，
递减 极（最）小值 递增
由上表可知：，
，
所以满足条件的最大整数； 9分
（3）当时，恒成立
等价于恒成立，
记，， 。
记，，由于，
, 所以在上递减，
当时，，时，，
即函数在区间上递增，在区间上递减，
所以，所以。 14分
（3）另解：对任意的，都有成立
等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，
由（2）知，在区间上，的最大值为。
，下证当时，在区间上，函数恒成立。
当且时，，
记，，
当，；当，
，
所以函数在区间上递减，在区间上递增，
，即，
所以当且时，成立，
即对任意，都有。 14分
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