3.3.2 简单的线性规划问题课件（共22张PPT） 数学人教A版必修5

(共22张PPT)
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题(一)
的值，使
z＝x＋3y
取到最大值或最小值，其中__________为线
性目标函数．
z＝x＋3y
x＝
，y＝1
时，目标函数
z＝2x＋y
取最大值
2，故
是这个
2．满足线性约束条件的解(x，y)叫做_______，由所有可行
解组成的集合叫做_______，其中，使目标函数取得最大值或最
小值的可行解叫做这个问题的________．
3．已知实数
x
满足
，求
2x＋y
的最大值，
这个问题就是_____________．满足不等式组的解(x，y)叫做____
__，如
是一组可行解，由所有可行解组成的集合即不等式
组所表示的平面区域(如图
1
中阴影部分)是________．易知，当
规划问题的_______．
可行解
可行域
最优解
线性规划问题
解
可行
可行域
最优解
图
1
)
的最小值(
D
A．－2
C．－6
B．－4
D．－8
A
解析：如图
12
作出可行域，知可行域的顶点是
A(－2,2)，
图12
值是(
)
A．0
B.
1
2
C．1
D．2
重点
线性规划有关概念的理解
(1)可行域是约束条件对应的二元一次不等式组表示的平面
区域(或其内部的一些点)，可以是封闭的多边形，也可以是一侧
开放的无穷的的平面区域．
(2)在线性约束条件下，最优解不一定是唯一的，可能有一
个或多个．当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，
最优解可能有无数个．在线性目标函数
z＝－x－y
中，目标函数
z
的最大值对应于截距的最小值，z
的最小值对应于截距的最大
值．
难点
最优解的确定
最优解的确定常用两种方法：
①将目标函数的直线平行移动，通过可行域的顶点且使目
标函数的直线截距最大或最小便是最优解；
②利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的
直线
l1、l2、…、ln
的斜率分别为
k1、k2、…、kn，且
k1＜k2＜…
＜kn，而且目标函数的直线的斜率为
k，则当
ki＜k＜ki＋1(1≤i≤
n－1)时，直线
li
与
li＋1
的交点一般是最优解．
线性目标函数的最值
最大值和最小值．
思维突破：把
z
看成直线在
y
轴上的截距，先画出可行域，
再求
z
的最值．作出不等式组所表示的可行域如图
2.
图
2
解：设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则
z
的几何意义是直线
y＝－2x＋z
在
y
轴上的截距．
显然，当直线越往上移动时，对应在
y
轴上的截距越大，
即
z
越大；当直线越往下移动时，对应在
y
轴上的截距越小，
即
z
越小．
作一组与
l0
平行的直线系
l，上下平移，可得：
当
l
移动到
l2
时，即过点
A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；
当
l
移动到
l1
时，即过点
B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
正确作出可行域后，将目标函数变为直线方
程的斜截式的形式，应注意该直线在y
轴上的截距与目标函数z
取值的关系．再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关
系，以便准确找到最优解．
x＋y
的最小值．
解：作出不等式组所表示的可行域如图13
中阴影部分．
图13
将
z＝x＋y
变形为
y＝－x＋z，这是斜率为－1，随
z
变化的
一组平行线，当直线
y＝－x＋z
经过可行域内的点
A
时，直线
y＝－x＋z
在
y
轴上的截距最小，z
也最小．这里
A
点是直线
x＋2y－2＝0
与直线
y＝1
的交点．
解方程组
，得
x＝0，y＝1.此时
z＝0＋1＝1.
故
z
的最小值为
1.
1
－
2.(2010
年
天
津
)
设
变
量
x
、
y
满
足
约
束
条
件
则目标函数
z＝4x＋2y
的最大值为(
)
B
A．12
B．10
C．8
D．2
解析：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，
做出可行域，如图14，当目标函数过直线y＝1
与x＋y＝3
的交
点(2,1)时
z
取得最大值
10.
图
14
线性规划的逆向性问题
例
2：已知实数
x、y
满足
z＝x－y
的最小值为－1，则实数
m
等于(
，如果目标函数
)
A．7
B．5
C．4
D．3
思维突破：画出
x、y
满足的可行域，可得直线
y＝2x－1
与直线
x＋y＝m
的交点使目标函数
z＝x－y
取得最小值，故
答案：B
2－1.已知以
x、y
为自变量的目标函数ω＝kx＋y(k>0)的可
行域，如图
3
的阴影部分(含边界)，若使ω取最大值时的最优解
有无穷多个，则
k
的值为(
)
A
图
3
A．1
B.
3
2
C．2
D.
2
3
线性规划的间接应用
例
3：设二元一次不等式组
，所表示的平
面区域为
M，使函数
y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域
M
的
a
的
)
取值范围是(
思维突破：本题考查线性规划与指数函数．如图
4
中的阴
影部分为平面区域
M,
显然，只需研究过(1,9)，(3,8)两种情形．
a1≤9
且
a3≥8
即
2≤a≤9.
图
4
答案：C
3－1.若实数
x、y
满足
，则
z＝3x+2y
的最小
值是(
)
B
A．0
B．1
C.
D．9
错因剖析：直线在
y
轴上的截距与目标函数z＝－3x－2y
取值的关系上出错．直线ax＋by＝0
往右(或往左)平移时，z
随
之增大(或减小)，只有当a>0
时，才能成立．因为当a>0
时，直
减小)，故
z＝ax＋by
也随之增大(或减小)．当
a<0
时，可利用
换元将
a
变为大于
0.
图5
正解：作出约束条件表示的可行域，如图
5
中的阴影部分，
则
A(10,4)，B(3,6)．
令
p＝3x＋2y，
作直线
l：3x＋2y＝0，
当
l
右移过点
B(3,6)时，pmin＝21；
当
l
继续右移过点
A(10,4)时，pmax＝38.
又
z＝－p，
故
zmax＝－21，zmin＝－38.
所表示的平面区域的面积为
.
4－1.如果直线
y＝kx＋1
与圆
x2＋y2＋kx＋my－4＝0
相交于
M、N
两点，且点
M、N
关于直线
x＋y＝0
对称，则不等式组
解析：∵M、N
两点，关于直线
x＋y＝0
对称，