黑龙江省绥化市第九中学2012届高三理科数学寒假训练题（五）

黑龙江省绥化市第九中学高三理科数学寒假训练题（五）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）P（B）．
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）．
台体的体积公式，其中S上、S下分别是台体的上、下底面面积，是台体的高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．复数的共轭复数为 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，则向量a与向量b的夹角为 （ ）
A．30° B．45° C．90° D．135°
4．下表是某机电设备的广告费用x与销售额y的统计数据：
广告费用x（万元） 2 3 4 5
销售额y（万元） 54 49 39 26
根据上表可得回归直线方程，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
（ ）
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
5．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在区间[—1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）
与圆相交的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若则等于
（ ）
A．27 B．28 C．7 D．8
8．已知公差不为零的等差数列{}的前n项和为，点（n，）都
在二次函数的图象上（如右图）．已知函数y=f（x）的图
象的对称轴方程是x=若点（n，）在函数y=g（x）的图象
上，则函数y=g（x）的图象可能是（ ）
9．已知双曲线（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与 双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）
A．（1,2） B．（1,2] C．[2,+∞） D．（2,+）
10．函数的定义域为R，对任意实数x满足，且．当l≤x≤2时，函数的导数，则的单调递减区间是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分，
11．如图是一个几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长
为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则这个几何体的
表面积是 。
12．函数y= 的图象与x轴所围成图形的面积
为 。
13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=,a=，若给定一个b的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b的取值范围为 。
14．设，利用三角变换，估计在k=l，2，3时的取值情况，对k∈N*时推测的取值范围是____（结果用k表示）．
15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第1题评分）
（1）在极坐标系中，点P的极坐标为（，4）,,点Q是曲线C上的动点，曲线C的极坐标方程为+1 =0，则P、Q两点之间的距离的最小值为 。
（2）已知PA是圆O的切线，切点为4，PA =2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=l，则圆D的半径R= 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16．（本小题满分12分）
已知函数
（ I）求的单调递增区问；
（Ⅱ）若对一切x∈[0，]均成立，求实数m的取值范围．
17．（本小题满分12分）
某校从高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛，学生来源人数如下表：
班别 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班
人数 4 6 3 5
（I）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；
（Ⅱ）若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高二（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望E．
18．（本小题满分12分）
如图，已知四棱台ABCD –A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2。
（ I）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（Ⅱ）求四棱台ABCD - A1B1C1D1的体积；
（Ⅲ）求二面角B—C1C—D的余弦值．
19．（本小题满分12分）
已知数列
（I）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（II）求数列；
（III）设对一切正整数n均成立，并说明理由。
20．（本小题满分13分）
已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值。
21．（本小题满分14分）
已知函数
（I）若函数在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（II）设存在两个零点m，n且，证明：
函数处的切线不可能平行于x轴。
高三理科数学寒假训练题（五）答案
一、选择题：
1．B 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B 9．A 10．A
二、填空题：
11． 12．2 13． 14． 15．（1）；（2）
三、解答题：
16．（本小题满分12分）
解：．
（Ⅰ）由，解得．
所以，的递增区间为． ………………………（5分）
（Ⅱ）由，得对一切均成立．
．
，．
所以实数的取值范围范围为． ………………………………（12分）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A，
则． ………………………………（5分）
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2．
∵，，，
∴的分布列为：
0 1 2
P
∴． ………………………………（13分）
18． （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵⊥平面 ABCD，∴．
底面是正方形，．
与是平面内的两条相交直线，∴⊥平面．
平面，∴平面平面． ………（4分）
（Ⅱ）过作于，则．
∵⊥平面 ABCD，平面．
在中，求得．
而，
所以四棱台的体积． …………（8分）
（Ⅲ）设与交于点O，连接．
过点B在平面内作于M，连接．
由（Ⅰ）知⊥平面，．
所以平面， ．
所以，是二面角的平面角．
在中，求得，从而求得．
在中，求得，同理可求得．
在中，由余弦定理，求得．…………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），
为等差数列．又，．
． …………………（4分）
（Ⅱ）设，则
3．
．
．
．…………………（8分）
（Ⅲ）由已知得，从而求得猜测C1最大，下证：
，
∴存在，使得对一切正整数均成立． …………………（12分）
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由得，故．
所以，所求椭圆的标准方程为． ……………………（4分）
（Ⅱ）（1）设过椭圆的右顶点的直线的方程为．
代入抛物线方程，得．
设、，则
∴＝＝0．
∴． ……………………（8分）
（2）设、，直线的方程为，代入，得
．
于是．
从而
，．
代入，整理得．
∴原点到直线的距离为定值． ……………………（13分）
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）．
由已知，得对一切恒成立．
，即对一切恒成立．
，．
的取值范围为． ……………………………（5分）
（Ⅱ）．
由已知得，．
，即．
假设结论不成立，即，则，．
又，
．
．
令，则有．
令．
．
在上是增函数，
∴当时，，即．
∴当时，不可能成立，
∴假设不成立．
在处的切线不平行于轴． …………………………（14分）
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