黑龙江省绥化市第九中学2012届高三理科数学寒假训练题（四）

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黑龙江省绥化市第九中学高三理科数学寒假训练题（四）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）若复数是实数，则的值为（ ）A. B. 3 C. 0 D.
（2）设集合，，则为（ ）
A. B. C.{-1，0，1} D.
（3），，则的值为（ ）A． B． C． D．
（4）下列判断错误的是（ ）A．“”是“aB．命题“”的否定是“”
C．若p,q均为假命题,则为假命题D．若～B（4，0．25）则
（5）在右图的算法中，如果输入A=138,B=22,则输出的结果是（　　）
A. 2 B．4 C．128 D．0
（6）若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( ) A．B．C．D．
（7）已知等差数列中（ ）
A．前6项和最大 B．前7项和最大C．前6项和最小 D．前7项和最小
（8）已知，则二项式展开式中的系数为（ ）A．10B．-10C．80D．-80
（9）已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ）A． B． C． D．
（10）某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是（ ）
A. B. C. D.
（11）如图，设平面，垂分别为，若增加个一条件，就能推出.现有（ ）① ②与所成的角相等;③与在内的射影在同一条直线上;④∥.那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（ ）个 个 个 个
(12)已知是定义在(－3,3)上的奇函数，当时，那么不等式的解集是(　 　)A．(－3，－)∪(0,1)∪(，3)B．(－，－1)∪(0,1)∪(，3)C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D．(－3，－)∪(0,1)∪(1,3)
（13）已知向量，如果，则 ．
（14）在等比数列中，若公比，且，则
（15已知P是抛物线上的一个动点，过点P 作圆的切线，切点分别为M,N,则的最小值是__
（16）已知函数为奇函数，该函数的分图象如图所示，是边长为2的等边三角形，则的值为
三、（17）如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东，俯角为的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西，俯角为的C处.（1）求船的航行速度是每小时多少千米（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，则此时船距海岛A有多远？
(18)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7.
(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记表示两人中成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；
(3) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.
(19)如图所示，平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是BE,DF的中点。
（1）求证GH//平面CDE；
（2）记CD=x，V(x)表示四棱锥F-ABCD的体积，求V(x)的表达式。
（3）当V(x)取得最大值时，求平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值。
(20)设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，，原点到直线的距离是． 的面积是等于椭圆E的离心率，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ），若直线与椭圆交于两点，问：是否存在实数使为钝角？如果存在，求出的范围；如果不存在，说明理由．
(21)已知函数，（为常数，为自然对数的底数）（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若＝0，且经过点P（0，t）(t≠1)有且只有一条直线与曲线相切，求t的取值范围
（22）已知某圆的极坐标方程为（I）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（II）若点在该圆上，求的最大值和最小值．
设函数（1）作出函数f(x)的图象；（2）若不等式的解集为，求a的值
高三理科数学寒假训练题（四）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C C D A B A D A D B B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13. 14. 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）在
,
则船的航行速度为（千米/小时）
（2）在中,
由正弦定理得
18．(本小题满分12分)
解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，　　　 　
∴此次测试总人数为(人).
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)． (4分)
(2)=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为,∴～.
，，
.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　(7分)
所求分布列为
X 0 1 2
P
(9分)
(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为、米，则基本事件满足的区域为
，事件“甲比乙投掷远的概率”满足
的区域为，如图所示.
由几何概型. (12分)　
（19）解：(1)方法1：∵EF//AD,EF=AD, BC//AD,BC=AD,∴EF//BC,且EF=AD=BC. ∴四边形EFBC是平行四边形，又∵G为BE的中点, ∴G为FC的中点，∵H为DF的中点, ∴HG//CD，∵HG平面CDE, CD平面CDE, ∴HG//平面CDE
方法2：如图所示，连接EA，∵四边形ADEF是正方形，H是DF的中点，∴H是AE的中点，∵G是BE的中点，∴GH//AB，又∵AB//CD,∴GH//CD , ∵HG平面CDE， CD平面CDE, ∴HG//平面CDE。
(2) ∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，且FA⊥AD, ∴FA⊥平面ABCD, ∵BD⊥CD,BC=2，CD=x，∴FA=2，BD=，∴平行四边形ABCD的面积.∴V(x)=.
(3)法一：（几何法）要使V(x)取得最大值，只需取得最大值。
当且仅当，即时，等号成立，故当时，V(x)取得最大值。在平面DBC内过点D作DM⊥BC于点M，连接EM，如图所示，又∵BC⊥ED, ∴BC⊥平面EMD, ∴BC⊥EM. ∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角。∵当V(x)取得最大值时CD=，BD=,∴DM=,EM=,∴,即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值为。
法二：（向量法略）
20.解：（Ⅰ）设，，∵,不妨设，
又∵点在椭圆上，∴，从而得，直线的方程为，
整理可得，由题设，原点到直线的距离为,
即，将代入上式化简得①
由题设②，①②联立得
，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，，将直线代入并化简得
，由韦达定理知，，
且，∴，由题设是钝角，
得．
∴，∴，
∴，∴，
解得，上式满足，当m=-1时三点共线，
故存在满足条件．
21.解：（Ⅰ）
……2分
若，则，为R上的单调递增函数；
若，的解为或，的解为，
此时在区间单调递增，在区间单调递减；
若，的解为或，的解为，
此时在区间单调递增，在区间单调递减……4分
（Ⅱ）当时，，，
因为，所以点（0，）不在曲线上，设过点的直线与曲线相切于点，则切线方程为，所以有及
，得……6分
令，
则令，得，，，可得在区间单调递增，在区间单调递减，所以在时取极大值，
在时取极小值，在时取极大值，又，
所以是的最大值 ……9分
如图，过点（0，）有且只有一条直线与曲线相切，等价于直线与曲线有且只有一个交点，又当时，，所以或 ……12分
22.（Ⅰ）证明：连接，因为为⊙O的直径，所以，又，所以切⊙O于点，且切于⊙O于点，因此，……2分
，，所以，
得，因此，即是的中点 ……5分
（Ⅱ）证明：连接，显然是斜边上的高，可得，
于是有，即， ……8分
同理可得，所以 ……10分
（23）解（Ⅰ）； ………3分
（为参数） ………5分
（Ⅱ）因为，所以其最大值为6，最小值为2……………10分
24.解：（1）当时，
当时
当时，
所以
函数的图像如图所示：
（2）由题设知在同一坐标系中作出函数y=5的图象（如图所示）
又解集为，由题设知，当或x=3时，
即，所以
（第5题图）
第9题


A
E
F
B
D
C
y
x
o