黑龙江省绥化市第九中学2012届高三理科数学寒假训练题（七）

黑龙江省绥化市第九中学高三理科数学寒假训练题（七）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数，则复数Z对应的点在 （ ）
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．x轴正半轴上 D．y轴负半轴上
（2）已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率，则椭圆的标准方程为 （ ）
A. B. C. D.
(3) 为非零向量，“函数 为偶函数”是“”的（ ）
（A） 充分但不必要条件（B） 必要但不充分条件
（C） 充要条件 （D） 既不充分也不必要条件
（4）如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）已知实数x、y满足，则x－3y的最大值是 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
（6）如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）
A．96 B．120 C．144 D．300
(7)已知二项式（）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为 （ ）
A． B． C． D．
(8) 已知各项都是正数的等比数列满足：若存在两项，使得则的最小值为（ ）
A. B. C. D.1
(9)函数若函数有三个零点，则实数的值为（ ）A. B. C. D.不存在
(10)已知为的三个内角的对边，向量，若，且,则( )
(11)函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数；②存在使得在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”,若函数是“成功函数”，则t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
(12) 如图，平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为 ( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)等差数列的前n项和，若,,则等于
(14) 如图，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线和曲线围成一个叶形图形（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点都是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .
(15) 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是
(16)已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(17)（本小题满分12分）已知函数（）的最小正周期为，
（Ⅰ）当 时，求函数的最小值；
（Ⅱ）在，若,且,求的值。
(18)（本小题满分12分）
第26届世界大学生夏季运动会于2011年8月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）： 若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。
　
(19)（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。
（1）点在线段上，，试确定的值，
使平面；
（2）在（1）的条件下，若平面平面ABCD，求二面角的大小。
(20) （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B（0，1），且点（≠0）是轴上动点，过点A作线段AB的垂线交轴于点D，在直线AD上取点P，使AP＝DA.
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程
（Ⅱ）点Q是直线上的一个动点，过点Q作轨迹C的两条切线切点分别为M，N求证：QM⊥QN
（21）（本小题满分12分）
已知函数．
（I）若，求函数的极值；
（II）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
请考生22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，为钝角，点E、H是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH =AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM.
(I )求证:E、H、M、K四点共圆；
（II）若KE=EH,CE=3求线段 KM 的长.
(23) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系
的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为
（1）求直线的倾斜角；
（2）若直线与曲线交于两点，求．
(24) (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
若关于的方程 =0有实根
（1）求实数的取值集合
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围。
高三理科数学寒假训练题（七）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C C C A B A B B A D A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13.156 14． 15．②④ 16．
三、解答题
17.解：
依题意函数的最小正周期为，即，解得，
所以
（Ⅰ）由得，
所以，当时， ……6分
（Ⅱ）由及，得
而, 所以，解得
在中，,
，，解得
， ………………12分
18. 解解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，”非高个子”18人，………1分
用分层抽样的方法，每人被抽中的概率是………2分
所以选中的”高个子”有人,“非高个子”有人，………3分
用事件A表示有“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有一名‘高个子’被选中”，
则………5分
因此至少有一人是“高个子”的概率是………6分
（2）依题意的取值为：0,1,2,3………7分
………9分
因此，的分布列如下：
……10分
． …………12分
１9．解： （1）当时，平面
下面证明：若平面，连交于
由可得，，
．．．．．．．．．２分
平面，平面，
平面平面，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分
即： ．．．６分
（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD。．７分
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB， ∠BAD=60°△ABD为正三角形， Q为AD中点， ∴AD⊥BQ．．．．．．．．．．．．８分
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）
设平面MQB的法向量为，可得
， 取z=1，解得．．．．．．．．．１０分
取平面ABCD的法向量设所求二面角为，则 故二面角的大小为60°．．．．．．．．１２分
20.（1）设动点，，，，直线的方程为．…………… 2分
由，，点的轨迹的方程是．… 4分
（2）设，，
． ．……… 7分
同理，是方程的两个根，
．…………………… 9分
．…………………… 12分
21.解：（I）， …………（2分）
，得，或，列表：
2
+ 0 - 0 +
极大 极小
函数在处取得极大值， …………（4分）
函数在处取得极小值； …………（6分）
（II）方法1：，时，，
（i）当，即时，
时，，函数在是增函数
，恒成立； …………（8分）
（ii）当，即时，
时，，函数在是减函数
，恒成立，不合题意 …………（10分）
（iii）当，即时，
时，先取负，再取0，最后取正，函数在先递减，再递增，
而，∴，不能恒成立；
综上，的取值范围是. …………（12分）
方法2：∵，∴
（i）当时，，而不恒为0，
∴函数是单调递增函数，，恒成立；…………（8分）
（ii）当时，令，
设两根是，
∵，，∴
当时，，是减函数，
∴，而，∴ …………（10分）
若，∵，，∴，不可能，
若，函数在是减函数，，也不可能，
综上，的取值范围是. …………（12分）
22.证明：⑴连接，
，四边形为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故四点共圆，----------- 3分
同理四点共圆，
即均在点所确定的圆上， ------------- 5分
⑵连结，由⑴得五点共圆，----------- 7分
为等腰梯形，， 故，
由可得，故，
即为所求． ----------10分
23.解：（1）
（2）的直角坐标方程为，
的直角坐标方程为，
所以圆心到直线的距离，
24.解： （1） 即
所以 ---------5分
（2）令 即 即可
所以 ----10分
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甲
8
9
9
8
0
1
2
3
3
7
9
乙
？
开始
是
否
输出
结束
第6题图
第12题
①正方体
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥
第15题
第18题
第20题
第22题
第19题