黑龙江省绥化市第九中学2012届高三理科数学寒假训练题（二）

黑龙江省绥化市第九中学高三理科数学寒假训练题（二）
一、单项选择题（每小题5分，共60分）
1．设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D．
2．已知非零向量、满足，那么向量与向量的夹角为
A． B． C． D．
3．的展开式中第三项的系数是
A． B． C．15 D．
4．圆与直线相切于点，则直线的方程为
A． B．
C． D．
5．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是则该单位员工总数为
A．110 B．100 C．90 D．80
6、右边程序框图的程序执行后输出的结果是（ ）.
A，24， B，25， C，34， D，35
7.已知函数 ()
的周期为，在一个周期内的图象如图所示，
则正确的结论是（ ）.
A. B.
C. D.
8.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为
A. B.
C. D.
9．长方体ABCD—ABC1D1中，，则点到直线AC的距离是
A．3 B． C． D．4
10. 设双曲线（a＞0,b＞0)的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为.
A. B. 5 C. D.
11，设a，b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：
①若 ②若
③若，则a∥ ④若
其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
12.设函数 其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知满足约束条件，则的最小值是
14．与椭圆有相同的焦点且过点P的双曲线方程是
15．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是 .
16．对于复数，有下面4个命题：①它在复平面上对应的点在第二象限；②它的平方是一个纯虚数；③它的模是2；④。其中正确命题的序号是 。（写出所有正确命题的序号）
三、解答证明题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
递减等差数列中，,,
①求的通项公式.
②若bn=，求的前n项和.
18. （本小题满分12分）
某市教育局责成基础教育处调查本市学生的身高情况，基础教育处随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示：
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从各班身高最高的5名同学中各取一人，求甲班同学身高不低于乙班同学的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，是圆的直径，点在圆上，，
交于点，平面，，
．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
设x，y∈R，，为直角坐标平面内x，y轴正方向上单位向量，若向量，，且．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线L与曲线C交于A、B两点，若求证直线L与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程。
21. （本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若函数上为单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）设求证：.
请考生在第22，23，24题中任选一题解答，如果多做，则按所做第一题记分。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小。
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程是（是参数），现以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
⑴写出曲线C的极坐标方程。
⑵如果曲线E的极坐标方程是，曲线C、E相交于A、B两点，求.
24, （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知(a是常数，a∈R)
①当a=1时求不等式的解集。
②如果函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围。
高三理科数学寒假训练题（二）答案
一、 1.A　 2.C　 3.B　 4.D　5.B，6.D，7.C，8.A 9.A，10.D，11.B. 12.D
13，-3，14，，15：48，16，①②④
17，解：由a1+a7=10,a2·a4=45,得
解得
∴an=13-2n………………………………………………………………………………………6分
…………………………………………………………………12分
18.（1）由茎叶图可知：乙班平均身高较高; ………………………………………………3分
(2) ………………………………5分
甲班的样本方差为
………………………………………………………………………………………………………8分
p==……………………………………………………………………………12分
19. 解：（法一）（1）平面平面， ．……………1分
又，
平面
而平面
． ………………………………………3分
是圆的直径，．
又，
．
平面，，
平面．
与都是等腰直角三角形．
．
，即（也可由勾股定理证得）．………………………………5分
， 平面．
而平面，
． ………………………………………………………………………………6分
（2）延长交于，连，过作，连结．
由（1）知平面，平面，
．
而，平面．
平面，
，
为平面与平面所成的
二面角的平面角． ……………………8分
在中，，，
．
由，得．
．
又，
，则． ………………………………11分
是等腰直角三角形，．
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．　 ………………………12分
（法二）（1）同法一，得． ………………………3分
如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得，
． ………4分
由，
得， ． ……………6分
（2）由（1）知．
设平面的法向量为，
由 得，
令得，， …………………………9分
由已知平面，所以取面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则， …………………………11分
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ……………………12分
20．解：①∵，，且．
∴点M（x，y）到两个定点F1（，0），F2（，0）的距离之和为 ∴点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，其方程为………………………………………5分
②:当直线的斜率存在时，设直线为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程，
得
消去y并整理得.
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以
…………(﹡)
, ……………………………7分
=
∵
∴=0
满足(﹡)式，并且，即原点到直线L的距离是,
∴直线L与圆相切。……………………………………………………10分
当直线的斜率不存在时，直线为x=m,
∴A(m,),B(m,-), ∵
∴, ,直线L的方程是,∴直线L与圆相切。
综合之得：直线L与圆相切。………………………………………………12分
21.解: （I）…………………………………………………2分
因为上为单调增函数，
所以上恒成立.
所以a的取值范围是 ………………………………………6分
（II）要证，
只需证，
即证只需证 …………………………8分
由（I）知上是单调增函数，又，
所以………………………………………………………………………12分
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲，
解：因为MA是圆O的切线，所以MA2=MB·MC……………………………………………2分
又M是PA的中点，所以MP2=MB·MC
因为∠BMP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC……………………………………………………6分
于是∠MPB=∠MCP，
在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP =180°，得∠MPB=20°…………………10分
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解：曲线C的直角坐标方程是 （x-2)2+y2=4 ……………………………………………3分
因为, x= ………………………………………………………………4分
所以曲线C的极坐标方程为：,即…………………………6分
曲线C、E的交点的极坐标是A（极点）和B（）所以………………10分
24, （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
①
∴的解为 …………………………………………5分
②由得, …………………………………………………………7分
令,,作出它们的图象，可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数有两个不同的零点。……………………………10分
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开始
输出S
结束
是
否
x
y
O
2
－4
A
B
C
E
F
M
O
A
B
C
E
F
M
O
H
G
A
B
C
E
F
M
O
x
y
z
A
B
C
F
M
O