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6.2.2排列数教学设计
课题
排列数
单元
第六单元
学科
数学
年级
高二
学习
目标
1.能用计数原理推导排列数公式.
2.掌握排列数概念及排列数公式并计算排列数，能够使用排列数公式解决实际排列问题.
重点
排列数公式计算.
难点
能用排列数公式解决简单的实际问题
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
新知导入：
情景一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的
活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?
答：要解决该问题，可以分为两个步骤：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选择1人参加上午的活动，有3种方法；（2）从剩下的2名同学中选择1人参加下午的活动，有2种方法；根据分步乘法计数原理，总共有3
x
2
=
6种不同的方法
情景二：从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
答：要解决该问题，可以分为三个步骤：（1）从a、b、c、d四个字母中选出1个字母，排在第一位，有4种选法；（2）从剩下的3个字母中选择1个字母，排在第二位，有3种选法；（3）从剩下的2个字母中选择1个字母，排在第三位，有2种选法；根据分步乘法计数原理，总共有4
x
3
x
2
=
24种不同的方法.
学生思考问题，引出本节新课内容.
设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.
讲授新课
新知讲解：排列数
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.例如情景一中，是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为，通过前面导入算得:3×2=6.情景二中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出=4×3×2=24.
合作探究：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数是多少？
（1）可以先从特殊的情况开始研究，如求排列数
;假设有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中选取2个元素去填空，一个空位填上1个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数.第一步，填第1个位置的元素，可以从n个不同元素中任取1个，有n种选法；第二步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个不同元素中任取1个，有(n-1)种选法；根据分步乘法计数原理，2个空位的填法总数为；
（2）同理，求排列数可以按照依次填3个空位的方法来考虑，有；
（3）同理，求排列数可以按照依次填m个空位的方法来考虑;第一步：从n个不同元素中任选一个填在第1位，有n种选法；第二步：从剩下的(n-1)个不同元素中任选一个填在第2位，有(n-1)种选法；第三步：从剩下的(n-2)个不同元素中任选一个填在第3位，有(n-2)种选法……第m步：从剩下的[n-(m-1)]个不同元素中任选一个填在第m位，有
[n-m+1]种选法；根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为：n(n-1)(n-2)...[n-(m+1)]
新知讲解：排列数公式
把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.此时，排列数公式中m=n，即有
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作n!，所以n个元素的全排列数公式可以写成，规定：0!=1.因此，
总结归纳：（1）排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘；（2）一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时，采用阶乘形式较好；（3）排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明.
例题讲解：
计算：（1）
（2）
（3）
（4）
答：（1）
（2）
（3）
（4）
例2
用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
答：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊元素.
解法一：由于三位数的百位上不能是0，所以可以分两步完成：第一步：确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取1个，有种取法；第二步：确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取2个，有种取法；根据分步乘法计数原理，所求三位数的个数为：
解法二：符合条件的三位数可以分三类：第一类：每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法；第二类：个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在十位和百位，有种取法；第三类：十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在个位和百位，有种取法；根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为：
解法三：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为：
知识拓展：
排队问题的解题策略（相邻、不相邻、定序等问题）：
(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.
(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.
(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决.
课堂练习：
计算：（1）
（2）
（3）
答：（1）
（2）
（3）
2.
某班优秀学习小组有甲?乙?丙?丁?戊共5人，他们排成一排照相，则甲?乙二人相邻的排法种数为（
C
）
A．24
B．36
C．48
D．60
3.
从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法（
B
）
A．24
B．20
C．10
D．9
4.
已知，则x=
（
C
）
A．11
B．12
C．13
D．14
拓展提高：
5.
已知，则
n=（
B
）
A．5
B．7
C．10
D．14
6.
解不等式：（
且
x∈N且x≥3）
答：原不等式即
，也就是
化简得：
，解得8因为3≤x≤9，所以x=9
7.
把1?2?3?4?5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.
（1）45312是这个数列的第几项？
解：先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：;第二类5开头的五位数有：45321一个;所以不大于45312的数有：个；即45312是该数列中第95项.
（2）这个数列的第71项是多少？
解：1开头的五位数有个；2开头的五位数有个；3开头的五位数有个.共有24
x
3
=
72个，所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.
8.
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排
解：从7人中选5人排列，有7×6×5×4×3=2520
种.
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
解：分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，共有；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
解：将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有
=
576种
（4）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
解：先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×=3600种
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
解：7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共
链接高考：
9.
（2017
上海高考真题）若排列数
6×5×4，则m=
____3____
解：由于6×5×(6?m+1)=6×5×4
，所以6?m+1=4，解得m=3
学生根据不同的情境问题，探究排列数概念及排列数公式
利用例题引导学生掌握并灵活运用排列与排列数公式解决实际问题
通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用
利用不同的情境问题，探究排列数的概念及排列数，培养学生探索的精神.
加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题
通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.
课堂小结
排列数
排列数公式
学生回顾本节课知识点，教师补充.
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.
板书
§6.2.2
排列数
一、新知导入
三、例题讲解
二、新知讲解
四、课堂练习
1.排列数
五、拓展提高
2.排列数公式
六、课堂总结
七、作业布置
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
6.2.2
排列数
人教A版（2019）
选择性必修三
新知导入
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?
解析：要解决该问题，可以分为两个步骤：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选择1名参加上午的活动，有3种方法；
（2）从剩下的2名同学中选择1名参加下午的活动，有2种方法；
根据分步乘法计数原理，总共有3
x
2
=
6种不同的方法.
新知导入
问题2：从a、b、c、d这四个字母中，每次取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
解决这个问题，需分3个步骤：
第一步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；
第二步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；
第三步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法．
根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种不同的排法．
新知讲解
排列数
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号
表示
例如问题1中，是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为，
通过前面导入算得：
问题2中，是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，
已经算出：
合作探究
从n个不同元素中取出m个元素的排列数
(m≤n)是多少？
（1）可以先从特殊的情况开始研究，如求排列数
.
假设有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中选取2个元素去填空，一个空位填上1个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数
.
第一步，填第1个位置的元素，可以从n个不同元素中任取1个，有n种选法；
第二步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个元素中任取1个，有(n-1)种选法；
根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为
合作探究
（2）同理，求排列数
可以按照依次填3个空位的方法来考虑，有
（3）同理，求排列数
可以按照依次填m个空位的方法来考虑，
第一步：从n个不同元素中任选一个填在第1位，有n种选法；
第二步：从剩下的(n-1)个元素中任选一个填在第2位，有(n-1)种选法；
第三步：从剩下的(n-2)个元素中任选一个填在第3位，有(n-2)种选法；
......
第m步：从剩下的[n-(m-1)]个元素中任选一个填在第m位，有
[n-m+1]种选法；
根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为：n(n-1)(n-2)...[n-m+1]
新知讲解
排列数公式
把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。此时，排列数公式中m=n，即有
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作n!，所以n个元素的全排列数公式可以写成
n！
规定：0!=1
因此，
=
总结归纳：
（1）排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘.
（2）一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时，采用阶乘形式较好．
新知讲解
（3）排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
例题讲解
例1
计算：（1）
（2）
（3）
（4）
解：根据排列数公式可得
（1）
=7
x
6
x
5
=
210
（2）
=7
x
6
x
5
x
4
=
840
（3）
==7
x
6
x
5
=
210
（4）
=6
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
=
6!
=
720
例题讲解
例2
用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊元素.
解法一：由于三位数的百位上不能是0，所以可以分两步完成：
根据分步乘法计数原理，所求三位数的个数为：
第一步：确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取1个，有
种取法；
第二步：确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取2个，有
种取法；
例题讲解
解法二：符合条件的三位数可以分三类：
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为：
第一类：每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有
种取法；
第二类：个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在十位和百位，有
种取法；
第三类：十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在个位和百位，有
种取法；
例题讲解
解法三：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为：
排队问题的解题策略（相邻、不相邻、定序等问题）：
知识拓展
(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.
(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.
(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决.
课堂练习
1.
计算：（1）
（2）
（3）
解：根据排列数公式可得
（1）
=10
x
9
x
8
=
720
（2）
=8
x
7
x
6
x
5
x
4
=
6720
（3）
=
课堂练习
2.
某班优秀学习小组有甲?乙?丙?丁?戊共5人，他们排成一排照相，则甲?乙二人相邻的排法种数为（
）
A．24
B．36
C．48
D．60
C
3.
从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法（
）
A．24
B．20
C．10
D．9
B
4.
已知
，则x=
（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
C
拓展提高
5.
已知
，则
n=（
）
A．5
B．7
C．10
D．14
B
6.
解不等式：（
且
x∈N且x≥3）
解：原不等式即
也就是
化简得：
解得8因为
3≤x≤9，所以x=9
拓展提高
7.
把1?2?3?4?5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.
（1）45312是这个数列的第几项？
解：先考虑大于45312的数，分为以下两类：
第二类5开头的五位数有：45321一个
即45312是该数列中第95项.
第一类5开头的五位数有：
=24个
所以不大于45312的数有：
个
拓展提高
（2）这个数列的第71项是多少？
共有24
x
3
=
72个，所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.
解：1开头的五位数有
=24个
2开头的五位数有
=24个
3开头的五位数有
=24个
拓展提高
8.
有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
解：从7人中选5人排列，有
解：分两步完成，先选3人站前排，
方法，
有种方法，余下4人站后排，有种
共有
x
=
5040种
解：将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有
种方法，再将女生全排列，
有种方法，共有
x
=
576种
拓展提高
（4）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边
解：先排甲，有5种方法，
其余6人有种排列方法，共有5×=3600种
解：7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，
乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，
有种方法，故共有-2+=3720种.
链接高考
9.
（2017
上海高考真题）若排列数，则m=
________
3
解：由于
，
所以=4，解得m=3.
课堂总结
2、排列数公式
1、排列数
板书设计
6.2.2
排列数
一、新知导入
二、新知讲解
排列数
三、例题讲解
四、课堂练习
五、拓展提高
六、课堂总结
七、作业布置
排列数公式
作业布置
课本P20
练习
第1~3题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
