黑龙江省绥化市第九中学2012届高三理科数学寒假训练题（八）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省绥化市第九中学2012届高三理科数学寒假训练题（八） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 566.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-02-02 00:00:00 | ||
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文档简介
黑龙江省绥化市第九中学高三理科数学寒假训练题（八）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A＝{－1，0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是 ( )
A．{4} B．{4,5} C．{4，－1} D．{－1,0}
（2）已知向量为非零向量，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
（3）下列命题中错误的是（ ）
A．样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度
B.在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
C.在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位
D.从均匀传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样
(4)一个正方体被过其中三个顶点的平面割去一个角余下的几何
体如图所示，则它的正视图应为（ ）
(5)已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
（6）右图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 ( )
A． B． C． D．
(7) 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 （ ）
A.2 B. C.4 D.
（8）设随机变量等于 ( )
A. B. C. D.
（9）已知定义在R上的函数，当时，，且对任意的满足(常数)，则函数在区间[5,7]上的最大值是 （ ）
（10）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（ ） A. 海里 B.海里 C. .海里 D. 海里
（11）已知点分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于 轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
（12）某兴趣小组对偶函数的性质进行研究，发现函数在定义域R上满足且在区间[0,1]上为增函数，在此基础上，本组同学得出以下结论，其中错误的是
A.函数的图象关于直线对称 B.函数的周期为2
C.当时， D.函数的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)当实数满足约束条件（为常数）时有最大值为12，则实数的值为 .
(14) 半径为1的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为 。
(15)设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240则展开式中的常数项为 。
(16)已知抛物线的弦的中点的横坐标为，则的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）设是公比大于的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令求数列的前项和．
（18）（本小题满分12分）某教育教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考查试卷中某道填空题的得分情况，已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分，第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的，从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：
第一空得分情况 第二空得分情况
得分 0 3
人数 198 802
得分 0 2
人数 698 302
（1）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题平均分；
（2）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率，试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率。
（19）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.
(20) （本小题满分12分）已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由
（21）（本小题满分12分）
设函数，
（Ⅰ）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.
请考生22、23、24、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时请写清题号。
（22）(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，在Rt△ABC中，，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若，求EC的长．
(23) (本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程
已知直线经过点，倾斜角。
（1）写出直线的参数方程；
（2）设与圆相交于两点、，求点到、两点的距离之积.
（24）(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数
（1）若不等式的解集为，求实数的值。
（2）当时，解关于x的不等式
高三理科数学寒假训练题（八）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D A B A C B D A D C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13. 14. 15．-20 16． 6
16.【解析】当直线斜率不存在时
当直线斜率存在时，设中点坐标为，则，
，与联立得，
三、解答题
解：设数列的公比为，
由已知，得，……………2分
即，也即，解得……………5分
故数列的通项为……………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）得，……………8分
又，
为公差的等差数列……………10分
即……………12分
（18）解：（1）设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得.据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分。
（2）依题意，第一空答对的概率约为0.8，第二空答对的概率约为0.3，记“第一空答对”为事件A，“第二空答对”为事件B，则“第一空答错”为事件，“第二空答错”为事件.
若要第一空得分不低于第二空得分，则A发生或与同时发生，该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94.
19.（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.
所以 AE⊥PD.
（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中，AE=，
所以 当AH最短时，∠EHA最大，
即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.
此时 tan∠EHA=
因此 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45
所以 PA=2.
解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，
所以 平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,
又
在Rt△ESO中，cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以
A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），
所以
设平面AEF的一法向量为
则 因此
取
因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以 BD⊥平面AFC，
故 为平面AFC的一法向量.
又 =（-），
所以 cos＜m, ＞=
因为 二面角E-AF-C为锐角，
所以所求二面角的余弦值为
20.解：（1）设点的坐标分别为，
则
故，可得， …………………2分
所以，…………………4分
故，
所以椭圆的方程为． ……………………………6分
（2）设的坐标分别为，则，
又，可得，即， …………………8分
又圆的圆心为半径为，
故圆的方程为，
即，
也就是， ……………………11分
令，可得或2，
故圆必过定点和． ……………………12分
另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；
21．解：
（Ⅰ）函数的定义域为，
令，要使在其定义域内为单调函数，只需在内满足或恒成立.
（1）当时，，.
在内为单调减函数，故符合条件. ……………………………3分
（2）当时，.只需，即时，
此时.在内为单调增函数，故符合条件. …………5分
（3）当时，.只需，此时.
在内为单调减函数，故符合条件.
综上可得, 或为所求. …………………………………6分
（Ⅱ）在上是减函数，时，；时，.
即.
（1）当时，由（Ⅰ）知，在上递减，，不合题意. ………………… 8分
（2）当时，由知，
..
由（Ⅰ）知，当时，单调递增，
，不合题意. ………10分
（3）当时，由（Ⅰ）知在上递增，，
又在在上递减，.
即，.综上，的取值范围是.…12分
22．解：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． …5分
（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，
，即，
解得, …7分
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=． …10分
23．解：（1）直线的参数方程为，
（2）因为A、B都在直线上，所以可设它们对应的参数分别
为则，。
以直线的参数方程代入圆的方程整理得到
①
因为是方程①的解，从而
所以，
24．解：（Ⅰ）解：由得，
所以解之得为所求． ┄┄┄┄3分
(Ⅱ)解：当时,，
所以，①
当时，不等式①恒成立，即；
当时，不等式①
解之得或或，即；
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为． ┄┄┄┄10分www.
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第1题
第6题
第19题
第22题图
E
C
A
D
B
B
A
P
D
O
C
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A＝{－1，0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是 ( )
A．{4} B．{4,5} C．{4，－1} D．{－1,0}
（2）已知向量为非零向量，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
（3）下列命题中错误的是（ ）
A．样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度
B.在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
C.在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位
D.从均匀传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样
(4)一个正方体被过其中三个顶点的平面割去一个角余下的几何
体如图所示，则它的正视图应为（ ）
(5)已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
（6）右图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 ( )
A． B． C． D．
(7) 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 （ ）
A.2 B. C.4 D.
（8）设随机变量等于 ( )
A. B. C. D.
（9）已知定义在R上的函数，当时，，且对任意的满足(常数)，则函数在区间[5,7]上的最大值是 （ ）
（10）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（ ） A. 海里 B.海里 C. .海里 D. 海里
（11）已知点分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于 轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
（12）某兴趣小组对偶函数的性质进行研究，发现函数在定义域R上满足且在区间[0,1]上为增函数，在此基础上，本组同学得出以下结论，其中错误的是
A.函数的图象关于直线对称 B.函数的周期为2
C.当时， D.函数的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)当实数满足约束条件（为常数）时有最大值为12，则实数的值为 .
(14) 半径为1的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为 。
(15)设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240则展开式中的常数项为 。
(16)已知抛物线的弦的中点的横坐标为，则的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）设是公比大于的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令求数列的前项和．
（18）（本小题满分12分）某教育教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考查试卷中某道填空题的得分情况，已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分，第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的，从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：
第一空得分情况 第二空得分情况
得分 0 3
人数 198 802
得分 0 2
人数 698 302
（1）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题平均分；
（2）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率，试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率。
（19）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.
(20) （本小题满分12分）已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由
（21）（本小题满分12分）
设函数，
（Ⅰ）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.
请考生22、23、24、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时请写清题号。
（22）(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，在Rt△ABC中，，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若，求EC的长．
(23) (本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程
已知直线经过点，倾斜角。
（1）写出直线的参数方程；
（2）设与圆相交于两点、，求点到、两点的距离之积.
（24）(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数
（1）若不等式的解集为，求实数的值。
（2）当时，解关于x的不等式
高三理科数学寒假训练题（八）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D A B A C B D A D C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13. 14. 15．-20 16． 6
16.【解析】当直线斜率不存在时
当直线斜率存在时，设中点坐标为，则，
，与联立得，
三、解答题
解：设数列的公比为，
由已知，得，……………2分
即，也即，解得……………5分
故数列的通项为……………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）得，……………8分
又，
为公差的等差数列……………10分
即……………12分
（18）解：（1）设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得.据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分。
（2）依题意，第一空答对的概率约为0.8，第二空答对的概率约为0.3，记“第一空答对”为事件A，“第二空答对”为事件B，则“第一空答错”为事件，“第二空答错”为事件.
若要第一空得分不低于第二空得分，则A发生或与同时发生，该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94.
19.（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.
所以 AE⊥PD.
（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中，AE=，
所以 当AH最短时，∠EHA最大，
即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.
此时 tan∠EHA=
因此 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45
所以 PA=2.
解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，
所以 平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,
又
在Rt△ESO中，cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以
A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），
所以
设平面AEF的一法向量为
则 因此
取
因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以 BD⊥平面AFC，
故 为平面AFC的一法向量.
又 =（-），
所以 cos＜m, ＞=
因为 二面角E-AF-C为锐角，
所以所求二面角的余弦值为
20.解：（1）设点的坐标分别为，
则
故，可得， …………………2分
所以，…………………4分
故，
所以椭圆的方程为． ……………………………6分
（2）设的坐标分别为，则，
又，可得，即， …………………8分
又圆的圆心为半径为，
故圆的方程为，
即，
也就是， ……………………11分
令，可得或2，
故圆必过定点和． ……………………12分
另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；
21．解：
（Ⅰ）函数的定义域为，
令，要使在其定义域内为单调函数，只需在内满足或恒成立.
（1）当时，，.
在内为单调减函数，故符合条件. ……………………………3分
（2）当时，.只需，即时，
此时.在内为单调增函数，故符合条件. …………5分
（3）当时，.只需，此时.
在内为单调减函数，故符合条件.
综上可得, 或为所求. …………………………………6分
（Ⅱ）在上是减函数，时，；时，.
即.
（1）当时，由（Ⅰ）知，在上递减，，不合题意. ………………… 8分
（2）当时，由知，
..
由（Ⅰ）知，当时，单调递增，
，不合题意. ………10分
（3）当时，由（Ⅰ）知在上递增，，
又在在上递减，.
即，.综上，的取值范围是.…12分
22．解：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． …5分
（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，
，即，
解得, …7分
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=． …10分
23．解：（1）直线的参数方程为，
（2）因为A、B都在直线上，所以可设它们对应的参数分别
为则，。
以直线的参数方程代入圆的方程整理得到
①
因为是方程①的解，从而
所以，
24．解：（Ⅰ）解：由得，
所以解之得为所求． ┄┄┄┄3分
(Ⅱ)解：当时,，
所以，①
当时，不等式①恒成立，即；
当时，不等式①
解之得或或，即；
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为． ┄┄┄┄10分www.
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第1题
第6题
第19题
第22题图
E
C
A
D
B
B
A
P
D
O
C
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