2020-2021学年苏科版七年级数学下册第七章 平面图形的认识（二） 压轴培优（一）(word版含解析)

七年级数学下册第七章
《平面图形的认识（二）》
压轴培优（一）
1．如图，两直线a∥b，直线c与直线a、b相交于点A、B．AC平分∠BAD，交直线b于点C，把△ABC沿着平行线向右平移1.5cm得到△DEF．
（1）请说明∠BAD＝2∠DFE的理由；
（2）若△ABC的周长是9cm，求四边形ABFD的周长．
2．如图，已知DE∥BC，EF平分∠DEC，且∠ABC＝55°，∠C＝70°．
（1）求∠DEF的度数；
（2）请判断EF与AB的位置关系，并说明理由．
3．已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图1所示，求证：OB∥AC；
（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
4．如图，CD是△ABC的边BC的延长线，射线BE、CE相交于点E．
（1）若BE、CE分别平分∠ABC、∠ACD，求证：∠E＝；（提示：∠E＝∠ECD﹣∠EBC）
（2）根据（1）的结论及提示猜想：若∠EBC＝，∠ECD＝，∠A＝60°，则∠E的度数为　
　（用含n的式子表示）
（3）在（2）的条件下，当CE∥AB，∠ABC＝30°时，求n的值．
5．完成下面的证明：
已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（　
　）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝　
　（角平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（　
　）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠BDC+∠ABD＝　
　（　
　）．
∴AB∥CD（　
　）．
6．已知：如图，点D、E、G分别是△ABC边BC、AB和AC上的点，AD∥EF，点F在BC上，∠1＝∠2＝∠B．
求证：①AB∥DG；
②DG平分∠ADC．
7．【提出问题】（1）如图1，已知AB∥CD，证明：∠1+∠EPF+∠2＝360°；
【类比探究】（2）如图2，已知AB∥CD，设从E点出发的（n﹣1）条折线形成的n个角分别为∠1，∠2……∠n，探索∠1+∠2+∠3+……+∠n的度数可能在1700°至2000°之间吗？若有可能请求出n的值，若不可能请说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线E1O与∠CEnEn﹣1的角平分线EnO交于点O，若∠E1OEn＝m°．求∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）
8．（1）①如图1，已知AB∥CD，∠ABC＝60°，根据　
　可得∠BCD＝　
　°；
②如图2，在①的条件下，如果CM平分∠BCD，则∠BCM＝　
　°；
③如图3，在①、②的条件下，如果CN⊥CM，则∠BCN＝　
　°．
（2）尝试解决下面问题：已知如图4，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．
9．如图：∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，那么EC与DF平行吗？为什么？请完成下面的解题过程
解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC＝∠　
　，∠ECB＝∠　
　
∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠　
　＝∠　
　．
∠　
　＝∠　
　（已知）
∴∠F＝∠　
　
∴EC∥DF　
　．
10．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
（1）若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．
（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
11．探究：如图①，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数
请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解：∵DE∥BC
∴∠DEF＝　
　．（　
　）
∵EF∥AB，
∴　
　＝∠ABC．（　
　）
∴∠DEF＝∠ABC．（等量代换）
∵∠ABC＝50°，
∴∠DEF＝　
　°．
应用：如图②，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB的延长线上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，若∠ABC＝65°，则∠DEF＝　
　°．
12．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
13．数学课上，老师提出了一个问题：已知平面内两条线段AB、CD，且AB∥CD，点P不在AB、CD所在直线上，记∠ABP＝α，∠CDP＝β，∠BPD＝θ（均小于平角），请根据点P的不同位置探究α，β，θ的数量关系，
下面是小敏和小颖的探究过程：
（1）当点P位于直线AD和CD之间时，
①小敏画出图1，α，β，θ关系是：　
　．
②小颖说，根据我画的图得到的结论是α+β+θ＝360°，请你在图2中画出图形并加以证明；
③小敏发现α，β，θ的数量关系不仅和点P的位置有关，而且和线段的字母顺序也有关，若保持点A、点B位置不变，当点D在点C左侧时，在图3中补全图形，并写出α，β，θ的数量关系；
（2）这时老师来了，看了她们的探究结果，又提出了一个问题：当α，β，θ都不是90°时，存在α+β+θ＝180°，请在备用图中画出一个符合以上条件的图形（标注A，B，C，D，P和α，β，θ）．
14．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
15．如图，FG∥CD，∠1＝∠3，∠B＝50°，求∠BDE的度数，请把下面的解答过程补充完整：
解：∵FG∥CD（已知），
∴∠1＝　
　（　
　），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝　
　（等量代换），
∴BC∥　
　（　
　），
∴∠B+　
　＝180°（　
　），
又∵∠B＝50°（已知），
∴∠BDE＝　
　．
参考答案
1．证明：（1）∵a∥b，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠DAC＝2∠ACB，
由平移性质得：∠ACB＝∠DFE，
∴∠BAD＝2∠DFE；
（2）四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+2AD＝9+2×1.5＝12（cm）．
2．解：（1）∵DE∥BC，
∴∠DEC+∠C＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣∠C＝110°，
又∵EF平分∠DEC，
∴∠DEF＝∠DEC＝55°；
（2）平行．理由如下：
由（1）可知∠DEF＝55°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝55°，
∴∠ADE＝∠DEF，
∴EF∥AB．
3．解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，又∵∠B＝∠A，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC；
（2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝100°，
∴∠BOA＝80°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠EOF，
又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝40°；
（3）结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化．理由为：
∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，
又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2＝；
4．解：（1）∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE、CE分别平分∠ABC、∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝；
（2）∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝﹣＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，
故答案为：；
（3）当CE∥AB，∠A＝60°，∠ABC＝30°时，∠ECD＝∠ABC＝30°，∠ACE＝∠A＝60°，
∴∠ACD＝60°+30°＝90°，
∴∠ECD＝∠ACD，
∴n＝3．
5．证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（角平分线的定义）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠2（角平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（等量代换）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠BDC+∠ABD＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；2∠2；等量代换；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
6．证明：①∵EF∥AD，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAD，
∴AB∥DG；
②∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG，
∵∠2＝∠B，
∴∠2＝∠CDG，
∴DG平分∠ADC．
7．解：（1）如图所示，过P作PG∥AB，则∠1+∠GPE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠2+∠FPG＝180°，
∴∠1+∠GPE+∠GPF+∠2＝360°，
即∠1+∠EPF+∠2＝360°；
（2）可能在1700°至2000°之间．
如图过G作GH∥AB，…，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥…∥PQ∥CD，
∴∠1+∠EGH＝180°，…，∠QPF+∠n＝180°，（有（n﹣1）对同旁内角）
∴∠1+∠2+…∠n﹣1+∠n＝180°（n﹣1），
当1700°＜180°（n﹣1）＜2000°时，n＝11，12，
∴n的值为11或12；
（3）如图所示，过O作OP∥AB，
∵AB∥CD，
∴OP∥CD，
∴∠AE1O＝∠POE1，∠CEnO＝∠POEn，
∴∠AE1O+∠CEnO＝∠POE1+∠POEn＝∠E1OEn＝m°，
又∵∠AE1E2的角平分线E1O与∠CEnEn﹣1的角平分线EnO交于点O，
∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2（∠AE1O+∠CEnO）＝2m°，
由（2）可得，∠AE1E2+∠2+…+∠（n﹣1）+∠CEnEn﹣1＝180°（n﹣1），
∴∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）＝180°（n﹣1）﹣2m°．
8．解：（1）①两直线平行，内错角相等；60；
②30；
③60．
（2）∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∵∠B＝40°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°．
又∵CN是∠BCE的平分线，
∴∠BCN＝140°÷2＝70°．
∵CN⊥CM，
∴∠BCM＝90°﹣∠BCN＝90°﹣70°＝20°．
9．解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB
（
已知
）
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠ACB
（已知）
∴∠DBC＝∠ECB．
∵∠DBF＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ECB，
∴EC∥DF（同位角相等，两直线平行）．
10．解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD，
∴∠ECQ＝80°，
∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴＝∠ECQ＝40°；
②∵AB∥CD
∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，
∴∠EGC+∠ECG＝80°
又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°，
∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20°
∴∠ECG＝∠GCF＝20°，∠PCF＝∠PCQ＝（80°﹣40°）＝20°，
∵PQ∥CE，
∴∠CPQ＝∠ECP＝60°；
（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，
①当点G、F在点E的右侧时，
则∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x，
∵∠ECD＝80°，
∴4x＝80°，
解得x＝20°，
∴∠CPQ＝3x＝60°；
②当点G、F在点E的左侧时，
则∠ECG＝∠GCF＝x，
∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x，
∴180°﹣3x＝80°+x，
解得x＝25°，
∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°，
∴，
∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°．
11．解：探究：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠EFC．（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC．（两直线平行，同位角相等）
∴∠DEF＝∠ABC．（等量代换）
∵∠ABC＝50°，
∴∠DEF＝50°．
故答案为：∠EFC，两直线平行，内错角相等，∠EFC，两直线平行，同位角相等，50；
应用：∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE＝60°．（两直线平行，同位角相等）
∵EF∥AB，
∴∠ADE+∠DEF＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠DEF＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115．
12.（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠AFH＝∠ADC＝90°，
∴EF∥DC，
∴∠AHE＝∠ACD，
∵∠ACD+∠F＝180°．
∴∠AHE+∠F＝180°，
∵∠AHE+∠EHC＝180°，
∴∠EHC＝∠F，
∴AC∥FG；
（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，
∴设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴解得x＝15°，
∴∠BCD＝2x＝30°．
答：∠BCD的度数为30°．
13．解：（1）①如图1，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠ABP＝∠BPQ，∠CDP＝∠DPQ，
又∵∠BPQ+∠DPQ＝∠BPD，
∴∠ABP+∠CDP＝∠BPD，
即：α+β＝θ，
故答案为：α+β＝θ；
②如图2，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠ABP+∠BPQ＝180°，∠CDP+∠DPQ＝180°，
∴∠ABP+∠BPQ+∠CDP+∠DPQ＝360°，
即：∠ABP+∠CDP+∠BPD＝360°，
也就是，α+β+θ＝360°；
③如图3﹣1，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠ABP+∠BPQ＝180°，∠CDP＝∠DPQ，
∴∠BPQ＝∠BPD﹣∠CDP，
∴∠ABP+∠BPD﹣∠CDP＝180°，
即：α+θ﹣β＝180°，
同理，如图3﹣2，有α+θ﹣β＝180°
同理，如图3﹣3，有β+θ﹣α＝180°，
综上所述，α，β，θ的数量关系为α+θ﹣β＝180°或β+θ﹣α＝180°；
（2）如图4，
α，β，θ都不是90°时，α+β+θ＝180°．
14．解：（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．
又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0．
∴a＝3，b＝1；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（30+t）×1，
解得t＝15；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，
解得t＝82.5；
③当120＜t＜150时，
3t﹣360＝t+30，
解得t＝195＞150（不合题意）
综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BCD：∠BAC＝2：3．
15．解：∵FG∥CD（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠B+∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠B＝50°（已知），
∴∠BDE＝130°．
故答案为：∠2；两直线平行，同位角相等；∠2；DE；内错角相等，两直线平行；∠BDE；两直线平行，同旁内角互补；130°．