2020_2021学年新教材高中数学第五章数列章末质量检测 新人教B版选择性必修第三册（Word含解析）

章末质量检测(一)　数列
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于(　　)
A．－2
B．－
C.
D．2
2．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝(　　)
A．(2n－1)2
B.
C．4n－1
D.
3．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5＝(　　)
A．9
B．10
C．11
D．12
4．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)
A．－24
B．0
C．12
D．24
5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则＝(　　)
A．4n－1
B．4n－1
C．2n－1
D．2n－1
6．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)
A．1
B．－
C．1或－
D．－1或
7．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，则λ的值为(　　)
A．15
B．21
C．23
D．25
8．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
9．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
10．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1
MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机(　　)秒，该病毒占据内存8
GB(1
GB＝210
MB)．(　　)
A．13
B．12
C．36
D．39
11．数列{(－1)n(2n－1)}的前2
020项和S2
020等于(　　)
A．－2
018
B．2
018
C．－2
020
D．2
020
12．若{an}是等差数列，首项a1＞0.a2
018＋a2
019＞0，a2
018·a2
019＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是(　　)
A．2
018
B．2
019
C．4
036
D．4
037
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.
14．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
15．在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为，则此数列的项数为________．
16．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：
①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正确的结论是________．(填序号)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}的公差d＝2，且a2＋a5＝2，{an}的前n项和为Sn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若Sm，a9，a15成等比数列，求m的值．
18．(本小题满分12分)已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
19．(本小题满分12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
20．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的首项为2，等差数列{bn}的前n项和为Sn，且a1＋a2＝6,2b1＋a3＝b4，S3＝3a2.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝ban，求数列{cn}的前n项和．
21．(本小题满分12分)已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.
(1)设函数y＝f(x)的图像与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；
(2)设函数y＝f(x)的图像与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.
22．(本小题满分12分)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}满足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N
)．
章末质量检测(一)　数列
1．解析：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.故选B.
答案：B
2．解析：由题意得，当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1，则an＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1(n≥2)，n＝1时也成立，所以an＝2n－1，则a＝22n－2，所以数列{a}是首项为1，公比为4的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝，故选D.
答案：D
3．解析：由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12，故选D.
答案：D
4．解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.
答案：A
5．解析：设等比数列{an}的公比为q，则，解得，
∴＝＝＝2n－1.故选D.
答案：D
6．解析：当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，
得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C.
答案：C
7．解析：由题意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2d.
∴λ＝＝＝＝25，故选D.
答案：D
8．解析：∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11.
∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0
∴a1∴使Sn取最小值的n的值为8.故选C.
答案：C
9．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3
＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝·9n－1，
所以3＋r＝，即r＝－，故选B.
答案：B
10．解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，
则2n＝8×210＝213，∴n＝13.
即病毒共复制了13次．
∴所需时间为13×3＝39(秒)．
答案：D
11．解析：S2
020＝－1＋3－5＋7＋…－(2
019×2－1)＋(2
020×2－1)＝2＋2＋…＋＝2
020.故选D.
答案：D
12．解析：{an}是等差数列，首项a1＞0.a2
018＋a2
019＞0，a2
018·a2
019＜0，所以{an}是递减的等差数列，且a2
018＞0，a2
019＜0，因为a2
018＋a2
019＝a1＋a4
036＞0，
2a2
019＝a1＋a4
037＜0，
∴S4
036＝×4
036＞0，S4
037＝×4
037＜0，
所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4
036.故选C.
答案：C
13．解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得2a1＝d，所以＝＝＝4.
答案：4
14．解析：由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以＝.
答案：
15．解析：设此等比数列为{am}，公比为q，则该数列共有n＋2项．∵14≠，∴q≠1.由等比数列的前n项和公式，得＝，解得q＝－，
∴an＋2＝14×n＋2－1＝，即n＋1＝，解得n＝3，∴该数列共有5项．
答案：5
16．解析：a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，
所以a1＝－9d，
a10＝a1＋9d＝0，故①正确；
由于d的符号未知，所以S10不一定最小，故②错误；
S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，
所以S7＝S12，故③正确；
S20＝20a1＋190d＝10d，不一定为0，故④错误．
所以正确的是①③.
答案：①③
17．解析：(1)因为a5＋a2＝2，d＝2
所以2a1＋5d＝2a1＋10＝2，
所以a1＝－4
所以an＝2n－6
(2)Sm＝＝m2－5m
又a9＝12，a15＝24
因为Sm，a9，a15是等比数列，
所以(a9)2＝Sma15，所以m2－5m－6＝0
解得m＝6，m＝－1
因为m∈N
，所以m＝6.
18．解析：(1)证明：∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，
∴{bn}是等差数列．
(2)由(1)及b1＝＝＝1.
知bn＝n＋，
∴an－1＝，∴an＝.
19．解析：(1)设{an}的公差为d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，
Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N
}．
20．解析：(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d.
由a1＋a2＝6，得a1＋a1q＝6.因为a1＝2，所以q＝2.
所以an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n.
由得
解得
所以bn＝b1＋(n－1)d＝3n－2.
(2)由(1)知an＝2n，bn＝3n－2.
所以cn＝ban＝3×2n－2.
从而数列{cn}的前n项和Tn＝3×(21＋22＋23＋…＋2n)－2n＝3×－2n＝6×2n－2n－6.
21．解析：(1)证明：由题意得an＝8－2n，
因为an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，且a1＝8－2＝6，
所以数列{an}是首项为6，公差为－2的等差数列．
(2)由题意得bn＝|8－2n|.
由b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，
可知此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列．
所以当n≤4时，Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n，
当n≥5时，Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝n2－7n＋24.
故Sn＝
22．解析：
(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.依题意，
解得
故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.
所以{an}的通项公式为an＝3n，
{bn}的通项公式为bn＝3n.
(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)
＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)
＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．
记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①
则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②
②－①得，
2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1＝－＋n×3n＋1＝.
所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn
＝3n2＋3×
＝(n∈N
)．
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