2.5.1.1矩形的性质
1.下列说法不正确的是( B )
A．矩形是平行四边形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．平行四边形具有的性质矩形都具有
2.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( D )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
3.下列说法中，正确的有( C )
①平行四边形和矩形都是中心对称图形；
②矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③矩形是轴对称图形,连接两组对边中点的线段是它的对称轴;
④矩形具有平行四边形的所有性质．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4.【教材改编题】如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，BC＝3，则AC的长是( D )
A．1
B．2
C．
D．2
【点拨】∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝120°，易得OB＝OC，
∴∠ACB＝30°，设AB＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，
由勾股定理可得x2＋32＝(2x)2，解得x＝(负值舍去)，
∴AC＝2
.【答案】D
5.【中考·连云港】如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处．若∠DBC＝24°，则∠A′EB等于( C )
A．66°
B．60°
C．57°
D．48°
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是( B )
A．1
B．
C．2
D．
【点拨】连接CE，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，
∵EF⊥AC，∴AE＝CE.设DE＝x，则CE＝AE＝8－x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得x2＋62＝(8－x)2，
解得x＝，即DE＝.
【答案】B
7.如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为( B )
A．4
B．8
C．12
D．32
【点拨】连接AE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4.
∴BE＝BC－CE＝1，
∵OE⊥AC，∴AE＝CE＝3，∴AB＝＝2
，
∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝2
×4＝8
.
【答案】B
8.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE∶∠EDC＝3∶2，则∠BDE为( D )
A．36°
B．9°
C．27°
D．18°
【点拨】在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，OC＝OD.
∵∠ADE∶∠EDC＝3∶2，∴∠EDC＝36°.
∵DE⊥AC，∴∠DCE＝90°－36°＝54°.
∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝54°，
∴∠BDE＝∠BDC－∠CDE＝54°－36°＝18°.
9.【中考·朝阳】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为( A )
A．5
B．6
C．10
D．6
【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，AC＝6x.∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°.
在Rt△OCE中，∵OE2＋CE2＝OC2，∴(2x)2＋52＝(3x)2，解得x＝(负值已舍去)，∴DE＝，AC＝6
，∴CD＝＝＝，
∴AD＝＝＝5
.【答案】A
10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝3，BC＝4，则PE＋PF的值为( D )
A．10
B．9.6
C．4.8
D．2.4
【点拨】连接OP，∵AB＝3，BC＝4，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝12，AC＝
＝5.
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴S△AOD＝
S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝
OA·PE＋OD·PF＝
OA·(PE＋PF)＝××(PE＋PF)＝3，∴PE＋PF＝2.4.
【答案】D
11.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝___30°_____.
【点拨】根据矩形的性质求出∠BAE＝∠BEA＝45°，求出∠BAO＝∠BAE＋∠1＝60°，推出△AOB为等边三角形，∠OBE＝30°，由AB＝OB＝BE，求出∠BEO＝75°，即可求得答案．
12.如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合，若BE＝2，则折痕AE的长为_____4___．
【点拨】由题意得，AB＝AO＝CO，
即AC＝2AB，且OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，∠ACB＝30°.
∵BE＝2，∴OE＝2，∴EC＝4，∴AE＝4.
13.如图，EF过矩形ABCD的对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若矩形ABCD的对角线AC＝10，CD＝6.则阴影部分的面积是____12____．
【点拨】根据勾股定理得AD＝＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AD·CD＝6×8＝48.
又∵矩形ABCD是中心对称图形，∴△OAE≌△OCF.
∴S阴影部分＝S△ODF＋S△OCF＝S矩形ABCD＝12.
【答案】12
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为___75°___．
【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
OA＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE.
∵∠EAO＝15°，∴∠BAO＝45°＋15°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，∴∠ABO＝60°，OB＝AB，∴∠OBE＝90°－60°＝30°，OB＝BE，∴∠BOE＝(180°－30°)＝75°.
【答案】75°
15.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B.
又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.
(2)解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，
∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.
16.如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.
求证：△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°.
∵E是AB的中点，∴AE＝BE.
在△ADE与△BCE中，
∴△ADE≌△BCE.
(2)解：由(1)知△ADE≌△BCE，则DE＝EC.
在Rt△ADE中，AE＝AB＝3，
由勾股定理得，DE＝＝5，
∴△CDE的周长＝2DE＋CD＝2DE＋AB＝2×5＋6＝16.
17.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)当DE＝DF时，求EF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.∴∠DFO＝∠BEO.
又∵∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE(AAS)．∴DF＝BE.
又∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
(2)解：∵四边形DEBF是平行四边形，∴OE＝OF，
又∵DE＝DF，OD＝OD，∴△DOE≌△DOF(SSS)．
∴∠DOE＝∠DOF.又∵∠DOE＋∠DOF＝180°，
∴∠DOE＝∠DOF＝90°.设AE＝x，则DE＝DF＝BE＝8－x.
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2＋AD2＝DE2，
∴x2＋62＝(8－x)2，解得x＝.∴DE＝8－＝.
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB2＋AD2＝BD2，
∴BD＝＝10.∴OD＝BD＝5.
在Rt△DOE中，根据勾股定理，得DE2－OD2＝OE2，
∴OE＝＝.∴EF＝2OE＝.
18.如图，在矩形ABCD中，AB＝12
cm，BC＝6
cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2
cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1
cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，移动的时间为t
s(0≤t≤6)．
(1)当t为何值时，△QAP为等腰三角形？
(2)求四边形QAPC的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．
(1)解：由题意知DQ＝t
cm，AP＝2t
cm，则AQ＝(6－t)cm，
若△QAP为等腰三角形，则只能是AQ＝AP.∴6－t＝2t，
∴t＝2.故当t＝2时，△QAP为等腰三角形．
(2)：S四边形QAPC＝S矩形ABCD－S△CDQ－S△BPC＝12×6－×12t－×(12－2t)×6＝72－6t－36＋6t＝36(cm2)．
结论：四边形QAPC的面积始终不变，为36
cm2.
19.如图①，四边形ABCD是矩形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
(1)求证：AM＝AD＋MC；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？并说明理由．
(1)证明：如图①，延长AE交BC的延长线于点F.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠F.
又∵AE平分∠DAM，∴∠MAE＝∠DAE，∴∠MAE＝∠F，
∴AM＝MF.∵E为DC的中点，∴DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，∴△ADE≌△FCE(AAS)．
∴AD＝CF，∴AM＝FM＝CF＋CM＝AD＋MC.
(2)解：(1)中的结论成立．理由如下：
如图②，延长AE交BC的延长线于点F.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF.
∴∠DAE＝∠F.
20.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕．
(1)求证：△FGC≌△EBC；
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴AB∥CD，∴∠CFE＝∠FEA.
又∵∠CEF＝∠FEA，
∴∠CEF＝∠CFE.∴EC＝FC.
由折叠的性质，得GC＝AD＝BC，∠G＝∠D＝∠B＝90°.
在Rt△FGC和Rt△EBC中，FC＝EC，GC＝BC，
∴Rt△FGC≌Rt△EBC(HL)．
(2)解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝8，BC＝AD＝4.
∵△FGC≌△EBC，∴S△FGC＝S△EBC，FG＝BE，
由折叠的性质知DF＝FG，∴DF＝BE.
∴S四边形ECGF＝S四边形BEFC＝(BE＋FC)·BC＝(DF＋FC)·BC＝CD·BC＝×8×4＝16.
21.如图，在矩形纸片ABCD中，BC＝4，CD＝2，将△BCD沿BD折叠使点C落到点F处，BF交AD于点E.
求证：△ABE≌△FDE；
(2)求EF的长；
(3)若M为线段BD上的任意一点，MP⊥BF，垂足为P，MQ⊥AD，垂足为Q，求MP＋MQ的值．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，
由折叠的性质可知：∠F＝∠C，DF＝CD，
∴∠F＝∠A，DF＝AB.
在△ABE和△FDE中，
∴△ABE≌△FDE.
(2)解：∵△ABE≌△FDE，
∴EF＝AE，ED＝BE.
设EF＝AE＝x，则ED＝BE＝4－x，
在Rt△ABE中，(4－x)2＝x2＋4，解得x＝，
∴EF的长为.
(3)解：连接EM.
∵S△BED＝S△BEM＋S△DEM＝MP·BE＋MQ·DE＝·DE·AB，
∴DE(MP＋MQ)＝DE·AB，∴MP＋MQ＝AB＝2.
22.如图①，在矩形ABCD(AB(1)如图②，若EF与AD的延长线交于点F，证明EA＝EF仍然成立；
(2)如图③，若四边形ABCD是平行四边形(AB＜BC)，在BC边上取一点E，使BE＝AB，作∠AEF＝∠ABE，交AD于点F，则EA＝EF是否成立？若成立，请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC.∴∠FAE＝∠AEB.
又∵AB＝BE，∴∠FAE＝∠AEB＝45°.
∵∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝180°－90°－45°＝45°.
∴∠FAE＝∠AFE，∴EA＝EF.
(2)解：EA＝EF成立．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ABE＋∠BAD＝180°，∠AEB＝∠FAE.∴∠ABE＋∠BAE＋∠FAE＝180°.∵BA＝BE，∴∠BAE＝∠AEB＝∠FAE.
∵∠AEF＝∠ABE，∠AEB＋∠AEF＋∠FEC＝180°，∴∠FEC＝∠FAE.
∵AD∥BC，∴∠FEC＝∠AFE，
∴∠FAE＝∠AFE，∴EA＝EF.
23.如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD，BC分别交于点E，F，点O为矩形ABCD的对称中心，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G.
猜想：
DK与BG的数量关系，并证明你的结论；
(2)探究：线段AB，AK与BG之间的数量关系；
(3)若KD＝KG，BC＝4－，求KD的长度．
(1)解：
DK与BG的数量关系是DK＝BG.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠KDO＝∠GBO，∠DKO＝∠BGO.
∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴DO＝BO，
∴△DOK≌△BOG(AAS)．∴DK＝BG.
(2)：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC.
又∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠BFA＝45°，∴AB＝BF.
∵GK∥AF，AK∥FG，∴四边形AFGK是平行四边形，
∴AK＝FG.
∵BG＝BF＋FG，∴BG＝AB＋AK.
(3)：由(2)得，四边形AFGK是平行四边形，
∴AK＝FG，AF＝KG，
又∵△DOK≌△BOG，且KD＝KG，∴KD＝BG＝KG＝AF.
设AB＝a，则AF＝KG＝KD＝BG＝a，
∴AK＝4－－a，FG＝BG－BF＝a－a，
∴4－－a＝a－a，解得a＝，∴KD＝a＝2.2.5.1.1矩形的性质
1.下列说法不正确的是(
)
A．矩形是平行四边形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．平行四边形具有的性质矩形都具有
2.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
3.下列说法中，正确的有( )
①平行四边形和矩形都是中心对称图形；
②矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③矩形是轴对称图形,连接两组对边中点的线段是它的对称轴;
④矩形具有平行四边形的所有性质．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4.【教材改编题】如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，BC＝3，则AC的长是( )
A．1
B．2
C．
D．2
5.【中考·连云港】如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处．若∠DBC＝24°，则∠A′EB等于( )
A．66°
B．60°
C．57°
D．48°
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是( )
A．1
B．
C．2
D．
7.如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为( )
A．4
B．8
C．12
D．32
8.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE∶∠EDC＝3∶2，则∠BDE为( )
A．36°
B．9°
C．27°
D．18°
9.【中考·朝阳】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为( )
A．5
B．6
C．10
D．6
10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝3，BC＝4，则PE＋PF的值为( )
A．10
B．9.6
C．4.8
D．2.4
11.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝_______.
12.如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合，若BE＝2，则折痕AE的长为_______．
13.如图，EF过矩形ABCD的对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若矩形ABCD的对角线AC＝10，CD＝6.则阴影部分的面积是_______．
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为_____．
15.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.
16.如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.
求证：△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
17.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)当DE＝DF时，求EF的长．
18.如图，在矩形ABCD中，AB＝12
cm，BC＝6
cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2
cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1
cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，移动的时间为t
s(0≤t≤6)．
(1)当t为何值时，△QAP为等腰三角形？
(2)求四边形QAPC的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．
19.如图①，四边形ABCD是矩形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
(1)求证：AM＝AD＋MC；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？并说明理由．
20.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕．
(1)求证：△FGC≌△EBC；
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．
21.如图，在矩形纸片ABCD中，BC＝4，CD＝2，将△BCD沿BD折叠使点C落到点F处，BF交AD于点E.
求证：△ABE≌△FDE；
(2)求EF的长；
(3)若M为线段BD上的任意一点，MP⊥BF，垂足为P，MQ⊥AD，垂足为Q，求MP＋MQ的值．
22.如图①，在矩形ABCD(AB(1)如图②，若EF与AD的延长线交于点F，证明EA＝EF仍然成立；
(2)如图③，若四边形ABCD是平行四边形(AB＜BC)，在BC边上取一点E，使BE＝AB，作∠AEF＝∠ABE，交AD于点F，则EA＝EF是否成立？若成立，请说明理由．
23.如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD，BC分别交于点E，F，点O为矩形ABCD的对称中心，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G.
猜想：
DK与BG的数量关系，并证明你的结论；
(2)探究：线段AB，AK与BG之间的数量关系；
(3)若KD＝KG，BC＝4－，求KD的长度．
