2.5.2矩形的判定
1.已知平行四边形ABCD，下列条件，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件，不能判定□ABCD为矩形的是( )
A．AC＝BD
B．AB＝6，BC＝8，AC＝10
C．AC⊥BD
D．∠1＝∠2
3.平行四边形的四个内角的平分线相交所构成的四边形一定是( )
A．一般平行四边形
B．一般四边形
C．对角线垂直的四边形
D．矩形
4.对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
5.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使?ABCD为矩形，则OB的长度为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
6.如图，在?ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
7.在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的是( )
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；
③AC⊥BD；④AC＝BD．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
8.在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD
D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
9.在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形？( )
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
10.如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB的平分线和△ABC的外角的平分线分别交直线DE于点G和点H，连接BG，BH.则下列结论错误的是( )
A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形
B．若BE＝CE，则四边形BHCG为矩形
C．若HE＝CE，则四边形BHCG为矩形
D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5
11.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件
，使得□ABCD是矩形.
12.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则EH＝
.
13.在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AC＝12，BD＝9，则四边形ABCD各边中点连线构成的四边形的面积是________．
14.如图，在矩形ABCD中，BC＝20
cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3
cm/s和1
cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ为矩形．
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE，DF是△ABC的中位线，连接EF，CD．
求证：EF＝CD．
17.如图，AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．
18.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.
19.如图，已知点E是□ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；
(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．
20.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长
AE至G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形
EGCF
是矩形？请说明理由．
21.如图，在矩形ABCD中，AB＝4
cm，AD＝12
cm；P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4
cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，两点同时出发，待P点到达D点为止，求经过多长时间四边形ABQP为矩形？
22.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，分别连接DE、EG、GF、FD.
23.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，∠ACD的平分线于点E，F.
(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(2)连接AE，AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
24.【中考·连云港】如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
求证：△OEC为等腰三角形；
(2)连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩形？并说明理由．
25.如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF.请回答下列问题：
(1)四边形ADEF是什么四边形？并说明理由．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？2.5.2矩形的判定
1.已知平行四边形ABCD，下列条件，不能判定这个平行四边形为矩形的是( B )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件，不能判定□ABCD为矩形的是( C )
A．AC＝BD
B．AB＝6，BC＝8，AC＝10
C．AC⊥BD
D．∠1＝∠2
3.平行四边形的四个内角的平分线相交所构成的四边形一定是( D )
A．一般平行四边形
B．一般四边形
C．对角线垂直的四边形
D．矩形
4.对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( B )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
5.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使?ABCD为矩形，则OB的长度为( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
【点拨】要使?ABCD是矩形，
则OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝3.
6.如图，在?ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( B )
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
7.在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的是( B )
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；
③AC⊥BD；④AC＝BD．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
【点拨】?ABCD的面积最大时，AB⊥BC，即?ABCD是矩形，根据矩形的性质判断．
8.在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD
D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
【点拨】∵∠B＋∠C＝180°，∴AB∥DC，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＋∠A＝180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
而由AC⊥BD，即对角线互相垂直不能判定?ABCD是矩形．
【答案】C
9.在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形？( C )
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
【点拨】此题易因对矩形的判定方法理解错误而出错．在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等或另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形，再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形．
【答案】C
10.如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB的平分线和△ABC的外角的平分线分别交直线DE于点G和点H，连接BG，BH.则下列结论错误的是( C )
A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形
B．若BE＝CE，则四边形BHCG为矩形
C．若HE＝CE，则四边形BHCG为矩形
D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5
【点拨】∵∠ACB的平分线和△ABC的外角的平分线分别交直线DE于点G和点H，∴∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG.
∵DE∥AC，∴∠ACG＝∠HGC＝∠ECG.∴EC＝EG.
同理可得HE＝EC，∴HE＝EC＝EG＝HG.
若CH∥BG，易知∠HCG＝∠BGC＝90°，
易知∠EGB＝∠EBG，∴BE＝EG，∴BE＝EG＝HE＝EC，
∴四边形CHBG是平行四边形．
∵∠HCG＝90°，∴四边形CHBG是矩形，故A正确；
若BE＝CE，∴BE＝CE＝HE＝EG，
∴四边形CHBG是平行四边形．
∵∠HCG＝90°，∴四边形CHBG是矩形，故B正确；
若HE＝EC，无法判定四边形BHCG为矩形，故C错误；
若CH＝3，CG＝4，根据勾股定理可得HG＝5，∴CE＝2.5，故D正确．【答案】C
11.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件
AC＝BD(答案不唯一)
，使得□ABCD是矩形.
12.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则EH＝
5
.
13.在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AC＝12，BD＝9，则四边形ABCD各边中点连线构成的四边形的面积是___27_____．
14.如图，在矩形ABCD中，BC＝20
cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3
cm/s和1
cm/s，则最快____5____s后，四边形ABPQ为矩形．
【点拨】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20
cm.
设最快x
s后，四边形ABPQ为矩形，
∵四边形ABPQ是矩形，∴AQ＝BP.
∴3x＝20－x，∴x＝5.
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．
【点拨】连接AD.∵∠BAC＝90°，BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5.∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°.∴四边形AMDN是矩形．
∴MN＝AD.当AD⊥BC时，AD的值最小．
此时△ABC的面积＝AB·AC＝BC·AD，
∴AD＝＝.∴MN的最小值为.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE，DF是△ABC的中位线，连接EF，CD．
求证：EF＝CD．
证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，∴?DECF是矩形，∴EF＝CD.
17.如图，AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：连接EO.
∵O是AC，BD的中点，∴OA＝OC，OB＝OD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠AEC＝∠BED＝90°，
∴OE＝AC，OE＝BD.
∴BD＝AC.∴?ABCD是矩形.
18.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.
(1)证明：∵AB∥DC，FC＝AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形．
(2)：∵四边形ABCF是矩形，
∴∠AFC＝∠AFD＝90°.
∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.
∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠DAF＝∠CGF.
又∵∠EGA＝∠CGF，∴∠DAF＝∠EGA.
∴EA＝EG.
19.如图，已知点E是□ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；
(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE＝∠ECF，
又∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE(ASA)；
∴AE＝EF，AB＝CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵∠AEC＝2∠ABC＝∠ABC＋∠BAE，
∴∠ABC＝∠BAE，∴AE＝BE.
∵AE＝EF，BE＝CE，∴AF＝BC.
∴平行四边形ABFC是矩形．
(2)：∵△AFD是等边三角形，
∴∠AFC＝60°，AF＝DF＝4，∴CF＝CD＝2，
∵四边形ABFC是矩形，∴∠ACF＝90°，
∴AC＝＝2，
∴四边形ABFC的面积＝AC·CF＝4.
20.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长
AE至G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形
EGCF
是矩形？请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(
SAS)；
(2)解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．
理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，∴同理，CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．
21.如图，在矩形ABCD中，AB＝4
cm，AD＝12
cm；P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4
cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，两点同时出发，待P点到达D点为止，求经过多长时间四边形ABQP为矩形？
解：∵在矩形ABCD中，AD＝12
cm，
∴AD＝BC＝12
cm.
当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ.
①当0＜t＜3时，t＝12－4t，
解得t＝；
②当3≤t＜6时，t＝4t－12，
解得t＝4；
③当6≤t＜9时，t＝36－4t，
解得t＝；
④当9≤t≤12时，t＝4t－36，
解得t＝12.
综上所述，当t为s或4s或
s或12
s时，
四边形ABQP为矩形．
22.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，分别连接DE、EG、GF、FD.
(1)求证：GF∥DE；
(2)若AC＝BC，求证：四边形EDFG是矩形．
(1)证明：∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB且DE＝AB.
∵点F、G分别是BO、AO的中点，
∴FG是△OAB的中位线，
∴FG∥AB且FG＝AB.∴GF∥DE.
(2)：由(1)GF∥DE，GF＝DE，
∴四边形EDFG是平行四边形．
∵AD、BE是BC、AC上的中线，
∴CD＝BC，CE＝AC.
又∵AC＝BC，∴CD＝CE.
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE.
∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠DAB＝∠EBA，
∴OB＝OA.∵点F、G分别是OB、AO的中点，
∴BF＝OB，AG＝OA，∴BF＝AG，
∵BE＝AD，∴EF＝DG，∴四边形EDFG是矩形．
23.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，∠ACD的平分线于点E，F.
(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(2)连接AE，AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
(1)解：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.
∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.
∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°，
∴∠OCE＋∠OCF＝90°，即∠ECF＝90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，
EF2＝CE2＋CF2，∴EF＝＝10，
∴OC＝OE＝EF＝5.
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当点O为AC的中点时，有AO＝CO，由(1)知EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．
24.【中考·连云港】如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
求证：△OEC为等腰三角形；
(2)连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩形？并说明理由．
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵△ABC经过平移得到△DEF，∴AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC，
即△OEC为等腰三角形．
(2)解：如图，当点E为BC的中点时，四边形AECD是矩形．
理由：∵AB＝AC，点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE＝EC.
∵△ABC经过平移得到△DEF，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形．
∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．
25.如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF.请回答下列问题：
四边形ADEF是什么四边形？并说明理由．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
(1)解：四边形ADEF是平行四边形．理由如下：
∵△ABD，△BEC都是等边三角形，∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA.
∴∠DBE＝∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE＝AC.
∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF.∴DE＝AF.
同理可得△ABC≌△FEC，∴EF＝BA＝DA.
∵DE＝AF，DA＝EF，∴四边形ADEF为平行四边形．
(2)【点拨】第(2)问利用逆向思维法来解，即由四边形ADEF是矩形来推断△ABC应满足的条件，利用周角的定义来探究∠BAC的度数即可．
解:若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°.
∵∠DAB＝∠FAC＝60°，
∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝360°－60°－60°－90°＝150°.
∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．
