11.1 简谐运动
【教学目标】
（一）知识与技能
1、知道什么是弹簧振子，理解振动的平衡位置和位移。
2、知道弹簧振子的位移－时间图象，知道简谐运动及其图象。
（二）过程与方法
通过对简谐运动图象的绘制，认识简谐运动的特点。
（三）情感、态度与价值观
1、通过对简谐运动图象的绘制，培养认真、严谨、实事求是的科学态度。
2、从图像中了解简谐运动的规律，培养分析问题的能力及审美能力（逐步认识客观存在的简洁美、对称美等）。
【教学重点】
理解简谐运动的位移－时间图象。
【教学难点】
根据简谐运动的图象弄清各时刻质点的位移、路程及运动方向。
【教学方法】
实验演示、讨论与归纳、推导与列表对比、多媒体模拟展示
【教学用具】
一端固定的钢尺、单摆、音叉、小槌、水平弹簧振子、竖直弹簧振子、CAI课件
【教学过程】
（一）引入新课
在自然界中有一种很常见的运动，如微风中树枝的颤动、心脏的跳动、钟摆的摆动、水中浮标的上下浮动、担物行走时扁担的颤动、声带的振动、地震时大地的剧烈振动……，这些物体的运动称之为机械振动，简称振动。振动是自然界中普遍存在的一种运动形式。
（演示振动实例，建立振动的概念，归纳振动的特点）
演示：一端固定的钢尺、单摆、水平和竖直的弹簧振子、穿在橡皮绳上的塑料球、音叉的叉股等物体的振动。
问题：这些物体的运动各不相同，运动轨迹有的是直线，有的是曲线；运动方向有的在水平方向，有的在竖直方向；物体各部分的运动情况有的相同、有的不同……，那么它们的运动有什么共同特征呢？
归纳：物体振动时有一中心位置，物体（或物体的一部分）在中心位置两侧做往复运动。
物体振动时有一个中心位置，如琴弦振动的中心位置就是琴弦静止时或未开始振动时的位置。这个位置称为平衡位置。
（1）平衡位置：物体振动时的中心位置，振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置。
（2）机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。
（3）振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和往复性。
（用多媒体展示振动的几个实例，在多媒体展示过程中强化“平衡位置”和“往复运动”）
教师： 振动是一种新的运动形式。我们研究问题的方法都是由浅入深、由简到繁的。简谐运动是机械振动中最简单的运动形式，所以我们下面先来研究简谐运动。
（二）进行新课
1．弹簧振子
演示：水平放置的弹簧振子的振动。
观察、分析、讨论：
①小球原来静止的位置就是平衡位置。小球在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动。
②小球的运动是平动，可以看作质点。
③忽略小球与水平杆之间的摩擦，弹簧的质量与小球质量相比也忽略不计，将小球拉离平衡位置后由静止释放，小球能够自由滑动。这样的系统称为弹簧振子。
演示：竖直方向上弹簧振子的振动。
（引导学生观察、体会弹簧振子的“平衡位置”和“往复运动”，增强感性认识。）
说明：在中学阶段只研究在没有阻力的理想条件下弹簧振子的运动。小球称为振子。弹簧振子是一个理想化的模型，它忽略了一些次要的因素。
2．弹簧振子的位移－时间图象
教师：要进一步研究弹簧振子的运动规律，我们首先来研究振子的位移如何变化。
说明：以小球的平衡位置为坐标原点，沿运动方向建立坐标轴。规定小球在平衡位置右边时，位移为正，在平衡位置左边时，位移为负。
教师：用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的位置。
［投影］如图11.1－2。
思考：如何理解这就是振子的位移时间图象，即x-t图象。
学生：思考、讨论。发表见解。
因为摄像底片从下向上匀速运动，底片运动的距离与时间成正比。因此，可用底片运动的距离代表时间轴。振子的频闪照片反映了不同时刻，振子离开平衡位置的位移。也就是位移随时间变化的规律。
教师：板画，如图所示。
引导学生观察振子从A→O→A＇→O→A的一个循环，这一循环可分为四个阶段：A→O、O→A＇、A＇→O、O→A，分析在这四个阶段中振子位移的变化，并将定性分析的结论填入表格中。
由A到O运动过程中，位移方向由Ｏ→A，随着振子不断地向O靠近，位移越来越小。
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
对O点位移的方向怎样？大小如何变化？ 向右减小 向左增大 向左减小 向右增大
总结：
振动物体的位移与运动学中的位移含义不同，振子的位移总是相对于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，末位置是振子所在的位置。因而振子对平衡位置的位移方向始终背离平衡位置。
3．简谐运动及其图象
教师：观察弹簧振子的位移－时间图象，可以发现该图象像数学中学过的何种图象？
学生：正弦图线。
教师：精确的实验和理论研究表明，弹簧振子的位移随时间按正弦规律变化。
像这样，质点的位移随时间按正弦规律变化的振动，叫做简谐运动。简谐运动的位移－时间图象为正弦曲线。
简谐运动是机械振动中最简单、最基本的的振动。弹簧振子的运动就是简谐运动。
教师：怎样来记录振动的图象呢？
演示：在弹簧振子的小球上安装一只绘图笔，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔在纸带上画出的就是小球的振动图象。
教师：介绍这种方法在实际中的重要应用。如医院里的心电图仪、地震仪中绘制地震曲线的装置等，都用类似的方法记录振动情况。如图所示。
（三）课堂总结、点评
物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动。
弹簧振子是我们学习的又一个理想化的物理模型。忽略小球与水平杆之间的摩擦，弹簧的质量与小球质量相比也忽略不计，这样的系统称为弹簧振子。
弹簧振子的位移随时间按正弦规律变化，其位移－时间图象是一条正弦曲线。这样的振动叫做简谐运动。
简谐运动是机械振动中最简单、最基本的的振动。
（四）课余作业
完成P5“问题与练习”的题目。
阅读P4科学漫步中的短文。
附：教材分析
简谐运动是最简单、最基本、最有规律性的机械振动，通过学习，使学生既了解到机械振动的基本特点，又体会到振动这种运动形式较直线运动、曲线运动都要复杂。
在本节教材中研究弹簧振子的振动情况时，忽略了摩擦力和弹簧的质量，应让学生认真领会这种理想化的方法。
简谐运动中振子的“位移”x实质是位置矢量，与运动学中讲的位移矢量不同，中学没有严格区分这两个矢量，我们通俗地说成是相对于平衡位置的位移。偏离平衡位置的位移与运动学中的位移概念容易混淆，这是难点。
O
A
A′
x
x11.2 简谐运动的描述
【教学目标】
（一）知识与技能
1、知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。
2、了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义。
3、了解简谐运动位移方程中各量的物理意义，能依据振动方程描绘振动图象。
（二）过程与方法
1、在学习振幅、周期和频率的过程中，培养学生的观察能力和解决实际问题的能力。
2、学会从相位的角度分析和比较两个简谐运动。
（三）情感、态度与价值观
1、每种运动都要选取能反映其本身特点的物理量来描述，使学生知道不同性质的运动包含各自不同的特殊矛盾。
2、通过对两个简谐运动的超前和滞后的比较，学会用相对的方法来分析问题。
【教学重点】
简谐运动的振幅、周期和频率的概念；相位的物理意义。
【教学难点】
1、振幅和位移的联系和区别、周期和频率的联系和区别。
2、对全振动概念的理解，对振动的快慢和振动物体运动的快慢的理解。
3、相位的物理意义。
【教学方法】
分析类比法、讲解法、实验探索法、多媒体教学。
【教学用具】
CAI课件、劲度系数不同的弹簧、质量不同的小球、秒表、铁架台、音叉、橡皮槌；两个相同的单摆、投影片。
【教学过程】
（一）引入新课
教师：描述匀速直线运动的物理量有位移、时间和速度；描述匀变速直线运动的物理量有时间、速度和加速度；描述匀速圆周运动的物体时，引入了周期、频率、角速度等能反映其本身特点的物理量。
上节课我们学习了简谐运动，简谐运动也是一种往复性的运动，所以研究简谐运动时我们也有必要像匀速圆周运动一样引入周期、频率等能反映其本身特点的物理量。本节课我们就来学习描述简谐运动的几个物理量。
（二）进行新课
1．振幅
如果我们要乘车，我想大家都愿意坐小汽车，而不坐拖拉机，因为拖拉机比小汽车颠簸得厉害。
演示：在铁架台上悬挂一竖直方向的弹簧振子，分别把振子从平衡位置向下拉不同的距离，让振子振动。
现象：①两种情况下，弹簧振子振动的范围大小不同；②振子振动的强弱不同。
在物理学中，我们用振幅来描述物体的振动强弱。
（1）物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。
将音叉的下部与讲桌接触，用橡皮槌敲打音叉，一次轻敲，一次重敲，听它发出的声音的强弱，比较后，加深对振幅的理解。
（2）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。
（3）单位：在国际单位制中，振幅的单位是米（m）。
（4）振幅和位移的区别
①振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离；而位移是振动物体所在位置与平衡位置之间的距离。
②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
③位移是矢量，振幅是标量。
④振幅等于最大位移的数值。
2、周期和频率
（1）全振动
（用多媒体展示一次全振动的四个阶段）
从O点开始，一次全振动的完整过程为：O→A→O→A′→O。从A点开始，一次全振动的完整过程为：A→O→A′→O→A。从A＇点开始，一次全振动的完整过程为：A′→O→A→O→A′。
在判断是否为一次全振动时不仅要看是否回到了原位置，而且到达该位置的振动状态（速度）也必须相同，才能说完成了一次全振动。只有物体振动状态再次恢复到与起始时刻完全相同时，物体才完成一次全振动。
振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，也就是连续的两次位置和振动状态都相同时所经历的过程，叫做一次全振动。
一次全振动是简谐运动的最小运动单元，振子的运动过程就是这一单元运动的不断重复。
（2）周期和频率
演示：在两个劲度系数不同的弹簧下挂两个质量相同的小球，让这两个弹簧振子以相同的振幅振动，观察到振子振动的快慢不同。
为了描述简谐运动的快慢，引入了周期和频率。
①周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需的时间，叫做振动的周期，单位：s。
②频率：单位时间内完成的全振动的次数，叫频率，单位：Hz，1Hz=1 s－1。
③周期和频率之间的关系：T=
④研究弹簧振子的周期
问题：猜想弹簧振子的振动周期可能由哪些因素决定
演示：两个不同的弹簧振子（弹簧不同，振子小球质量也不同），学生观察到：两个弹簧振子的振动不同步，说明它们的周期不相等。
猜想：影响弹簧振子周期的因素可能有：振幅、振子的质量、弹簧的劲度系数。
注意事项：
a．介绍秒表的正确读数及使用方法。
b．应选择振子经过平衡位置的时刻作为开始计时的时刻。
c．振动周期的求解方法：T= ，t表示发生n次全振动所用的总时间。
d．给学生发秒表，全班同学同时测讲台上演示的弹簧振子的振动周期。
实验验证：弹簧一端固定，另一端系着小球，让小球在竖直方向上振动。
实验一：用同一弹簧振子，质量不变，振幅较小与较大时，测出振动的周期T1和T1′，并进行比较。
结论：弹簧振子的振动周期与振幅大小无关。
实验二：用同一弹簧，拴上质量较小和较大的小球，在振幅相同时，分别测出振动的周期T2和T2′，并进行比较。
结论：弹簧振子的振动周期与振子的质量有关，质量较小时，周期较小。
实验三：保持小球的质量和振幅不变，换用劲度系数不同的弹簧，测出振动的周期T3和T3′，并进行比较。
结论：弹簧振子的振动周期与弹簧的劲度系数有关，劲度系数较大时，周期较小。
通过上述实验，我们得到：弹簧振子的周期由振动系统本身的质量和劲度系数决定，而与振幅无关。
（简谐运动的周期公式T=2πEQ \R()，式中m为振子的质量，k为比例常数）
⑤固有周期和固有频率
对一个确定的振动系统，振动的周期和频率只与振动系统本身有关，所以把周期和频率叫做固有周期和固有频率。
3．相位
（观察和比较两个摆长相等的单摆做简谐运动的情形）
演示：将并列悬挂的两个等长的单摆（它们的振动周期和频率相同），向同一侧拉起相同的很小的偏角同时释放，让它们做简谐运动。
现象：两个简谐运动在同一方向同时达到位移的最大值，也同时同方向经过平衡位置，两者振动的步调一致。
对于同时释放的这两个等长单摆，我们说它们的相位相同。
演示：将两个单摆拉向同一侧拉起相同的很小的偏角，但不同时释放，先把第一个放开，当它运动到平衡位置时再放开第二个，让两者相差1/4周期，让它们做简谐运动。
现象：两者振动的步调不再一致了，当第一个到达另一侧的最高点时，第二个小球又回到平衡位置，而当第二个摆球到达另一方的最高点时，第一个小球又已经返回平衡位置了。与第一个相比，第二个总是滞后1/4周期，或者说总是滞后1/4全振动。
对于不同时释放的这两个等长单摆，我们说它们的相位不相同。
要详尽地描述简谐运动，只有周期（或频率）和振幅是不够的，在物理学中我们用不同的相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的不同阶段。
相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。
4．简谐运动的表达式
（1）简谐运动的振动方程
既然简谐运动的位移和时间的关系可以用正弦曲线或余弦曲线来表示，那么若以x代表质点对于平衡位置的位移，t代表时间，根据三角函数知识，x和t的函数关系可以写成
x=Asin（ωt+）
公式中的A代表振动的振幅，ω叫做圆频率，它与频率f之间的关系为：ω=2πf；公式中的（ωt+）表示简谐运动的相位，t=0时的相位叫做初相位，简称初相。
（2）两个同频率简谐运动的相位差
设两个简谐运动的频率相同，则据ω=2πf，得到它们的圆频率相同，设它们的初相分别为1和2，它们的相位差就是
（ωt+2）－（ωt+）=2－1
讨论：
①一个物体运动时其相位变化多少就意味着完成了一次全振动
（相位每增加2π就意味着发生了一次全振动）
②甲和乙两个简谐运动的相位差为3π/2，意味着什么
（甲和乙两个简谐运动的相位差为3π/2，意味着乙总是比甲滞后3/2个周期或3/2次全振动）
（3）相位的应用
【例题1】两个简谐振动分别为
x1=4asin（4πbt+π）
和 x2=2asin（4πbt+π）
求它们的振幅之比、各自的频率，以及它们的相位差。
解析：据x=Asin（ωt+）得到：A1=4a，A2=2a。
又ω=4πb及ω=2πf得：f=2b
它们的相位差是：
【例题2】如图所示是A、B两个弹簧振子的振动图象，求它们的相位差。
解析：这两个振动的周期相同，所以它们有确定的相位差，从图中可以看出，B的振动比A滞后1/4周期，所以两者的相位差是
Δ=
巩固练习：某简谐运动的位移与时间关系为：x=0.1sin（100πt+）cm，由此可知该振动的振幅是______cm，频率是 Hz，t=0时刻振动物体的位移与规定正方向______（填“相同”或“相反”），t=时刻振动物体的位移与规定正方向______（填“相同”或“相反”）。
（参考答案： 0.1；50；相同；相反）
（三）课堂总结、点评
本节课学习了描述振动的物理量——振幅、周期、频率和相位。
当振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程就是一次全振动，一次全振动是简谐运动的最小运动单元，振子的运动过程就是这一单元运动的不断重复。振幅是描述振动强弱的物理量；周期和频率都是用来表示振动快慢的物理量。
相位是表示振动步调的物理量，用来描述在一个周期内振动物体所处的不同运动状态。用三角函数式来表示简谐运动，其表达式为：x=Asin（ωt+），其中x代表质点对于平衡位置的位移，t代表时间，ω叫做圆频率，ωt+表示简谐运动的相位。
两个具有相同圆频率ω的简谐运动，它们的相位差是：
（ωt+2）－（ωt+）=2－1
（四）课余作业
完成P11“问题与练习”的题目。
阅读P10科学漫步中的短文。
附：教材分析
本节学习了描述简谐运动的几个物理量，是进一步认识简谐运动的基础课，同时也为后续课程交流电、电磁振荡等知识的学习打下基础。
由于相位的概念比较抽象，在教学中，能让学生理解相位的物理意义，识别位移方程中各量的含义就可以了.对于基础较好的学生，教师也可以介绍参考圆的方法，以帮助学生更深入地理解相位的概念。
O
A
A′
t/s
x/cm
O
A
0.2
0.4
0.511.5 外力作用下的振动
【教学目标】
(一)知识目标
1.知道什么叫驱动力，什么叫受迫振动，能举出受迫振动的实例；
2.知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关；
3.知道什么是共振以及发生共振的条件；
4.知道共振的应用和防止的实例。
（二）能力目标
1.通过分析实际例子，得到什么是受迫振动和共振现象，培养学生联系实际，提高观察和分析能力；
2.了解共振在实际中的应用和防止，提高理论联系实际的能力。
（三）德育目标
1.通过共振的应用和防止的教学，渗透一分为二的观点；
2.通过共振产生条件的教学，认识内因和外因的关系。
【教学重点】
1.受迫振动概念的建立；
2.什么是共振及产生共振的条件。
【教学难点】
1.物体发生共振决定于驱动力的频率与物体固有频率的关系，与驱动力大小无关；
2.当f＝f＇时，物体做受迫振动的振幅最大。
【教学方法】
实验演示、总结归纳与多媒体教学相结合
【教具准备】
受迫振动演示仪、共振演示仪、两个相同的带有共鸣箱的音叉、橡皮槌、CAI课件
【教学过程】
（一）导入新课
实际的振动系统不可避免地要受到摩擦阻力和其他因素的影响，系统的机械能损耗，导致振动完全停止，这类振动叫阻尼振动。物体之所以做阻尼振动，是由于机械能在损耗，那么如果在机械能损耗的同时我们不断地给振动系统补充能量，物体的振动情形又如何呢 本节课我们来学习这一问题。
（二）新课教学
1、受迫振动
演示：用如图所示的实验装置，向下拉一下振子，观察它的振动情况。
现象：振子做的是阻尼振动，振动一段时间后停止振动。
演示：请一位同学匀速转动把手，观察振动物体的振动情况。
现象：现在振子能够持续地振动下去。
分析：使振子能够持续振动下去的原因，是把手给了振动系统一个周期性的外力的作用，外力结系统做功，补偿系统的能量损耗。
(1)驱动力：使系统持续地振动下去的外力，叫驱动力。
(2)受迫振动：物体在外界驱动力作用下所做的振动叫受迫振动。
要想使物体能持续地振动下去，必须给振动系统施加一个周期性的驱动力作用。
受迫振动实例：发动机正在运转时汽车本身的振动；正在发声的扬声器纸盒的振动；飞机从房屋上飞过时窗玻璃的振动；我们听到声音时耳膜的振动等。
(多媒体展示几个受迫振动的实例)
①电磁打点计时器的振针；②工作时缝纫机的振针；③扬声器的纸盒；④跳水比赛时，人在跳板上走过时，跳板的振动；⑤机器底座在机器运转时发生的振动。
(3)受迫振动的特点
做简谐运动的弹簧振子和单摆在振动时，按振动系统的固有周期和固有频率振动。通过刚才的学习，我们知道物体在周期性的驱动力作用下所做的振动叫受迫振动；那么周期性作用的驱动力的频率、受迫振动的频率、系统的固有频率之间有什么关系呢
演示：用前面的装置实验。用不同的转速匀速地转动把手，观察振子的振动快慢情况。
现象：当把手转速小时，振子振动较慢；当把手转速大时，振子振动较快。物体做受迫振动时，振动物体振动的快慢随驱动力的周期而变化。
总结：①物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率；②受迫振动的频率跟物体的固有频率没有关系。
2、共振
(1)共振摆实验
受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关，但是如果驱动力的频率接近或等于物体的固有频率时又会发生什么现象呢
演示：(共振演示仪)在一根张紧的绳上挂了几个摆，其中A、B、C的摆长相等。先让A摆摆动，观察在摆动稳定后的现象。
现象：A摆动起来后，B、C、D、E也随之摆动，但是它们摆动的振幅不同，A、B、C摆动的振幅差不多，而D摆动的振幅最小。
分析：A、B、C摆长相同，据和得到，A、B、C三摆的固有频率相同。D摆的摆长与A摆相差最多，两者的固有频率相差最大。A摆振动后通过张紧的绳子给其它各摆施加驱动力，使B、C、D、E各摆做受迫振动，它们振动的频率都等于A摆的固有频率。
结论：驱动力的频率f等于振动物体的固有频率f′时，振幅最大；驱动力的频率f跟固有频率f′相差越大，振幅越小。
(2)共振
驱动力频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
(3)发生共振的条件
驱动力频率与物体的固有频率相等或接近。
(4)共振曲线
通过上述实验我们知道，受迫振动的振幅A与驱动力的频率f及振动物体的固有频率f＇之间的关系有关，它们之间的这种关系可用图象来表示，这个图象叫共振曲线，如下图：
纵轴：表示受迫振动的振幅。
横轴：表示驱动力的频率。
特点：当驱动力频率等于物体固有频率时，物体振动的振幅最大；驱动力频率与固有频率相差越大，物体的振幅越小。
3、声音的共鸣
演示：两个频率相同的带有共鸣箱的音叉，放在实验台上。先用小槌打击音叉A的叉股，使它发声，过一会儿，用手按住音叉A的叉股，使A停止发声，观察发生的现象。
现象：可以听到没被敲打的音叉B发出了声音。
演示：在其中的一只音叉的叉股上套上一个套管，重新做上面的实验，观察发生的现象。
现象：音叉B下再发出声音了。
分析：音叉A的叉股被敲时发生振动，在空气中激起声波，声波传到音叉B，给音叉B以周期性的驱动力。第一次实验时，A、B的固有频率相同，符合产生共振的条件，于是B的振幅最大，就可以听到B发出的声音；第二次实验时，由于给B的音叉套上了套管，使A、B的固有频率不再相同，此时B不能产生共振，发出的声音很小，甚至听不到。
声音的共振现象叫共鸣。
共鸣箱所起的作用是使音叉的声音加强。
4、共振的应用和防止
(1)利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于物体的固有频率
共振现象有许多应用。把一些不同长度的钢片装在同一个支架上，可用来制成测量发动机转速的转速计。使转速计与开动着的机器紧密接触，机器的振动引起转速计的轻微振动，这时固有频率与机器转速一致的那个钢片发生共振，有显著的振幅。从刻度上读出这个钢片的固有频率，就可以知道机器的转速。
共振筛是利用共振现象制成的。把筛子用四根弹簧支起来，在筛架上安装一个偏心轮，就成了共振筛。偏心轮在发动机的带动下发生转动时，适当调节偏心轮的转速，可以使筛子受到的驱动力的频率接近筛子的固有频率，这时筛子发生共振，有显著的振幅，提高了筛除杂物的效率。
实例：共振筛、音箱、小提琴与二胡等乐器设置共鸣箱、建筑工地上浇铸混凝土时使用的振捣器、跳水运动员做起跳动作的“颠板”过程等。
(2)防止共振时，应使驱动力的频率与振动物体的固有频率不同，而且相差越大越好
在某些情况下，共振也可能造成损害。军队或火车过桥时，整齐的步伐或车轮对铁轨接头处的撞击会对桥梁产生周期性的驱动力，如果驱动力的频率接近桥梁的固有频率，就可能使桥梁的振幅显著增大，以致使桥梁发生断裂．因此，部队过桥要用便步，以免产生周期性的驱动力．火车过桥要慢开，使驱动力的频率远小于桥梁的固有频率。
轮船航行时，如果所受波浪冲击力的频率接近轮船左右摇摆的固有频率，可能使轮船倾覆。这时可以改变轮船的航向和速度，使波浪冲击力的频率远离轮船摇摆的固有频率。
机器运转时，零部件的运动（如活塞的运动、轮的转动）会产生周期性的驱动力，如果驱动力的频率接近机器本身或支持物的固有频率，就会发生共振，使机器或支持物受到损坏．这时要采取措施，如调节机器的转速，使驱动力的频率与机器或支持物的固有频率不一致。同样，厂房建筑物的固有频率也不能处在机器所能引起的振动频率范围之内。
实例：火车过桥时要放慢速度、军队过桥时用便步行走、轮船航行时要看波浪的打击方向而改变轮船的航向和速度、机器运转时为了防止共振要调节转速等。
总之，在需要利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率；在需要防止共振时，应使驱动力的频率与振动物体的固有频率不同，而且相差越大越好。
（三）巩固训练
1、火车在铁轨上匀速行驶，每根铁轨长12.5cm，某旅客在小桌上放了一杯水，杯中水晃动的固有频率是2Hz，当火车行驶速度是多少km/h时，杯中水的晃动最厉害
(参考答案：90km/h)
2、家用洗衣机的甩干机关闭后转速逐渐减小为零的过程中，会发现有一小段时间洗衣机抖动得最厉害。这一现象应如何解释
(参考答案：洗衣机的固有频率f０小于甩干机的正常转速n，关机后，驱动力频率即甩干机转速由n减为0的过程中总有某一时刻等于f０，于是发生共振，使洗衣机抖动最厉害)
3、一只酒杯，用手指弹一下发出清脆的声音，测得其振动的固有频率为300Hz，将它放在两只大功率的音箱中间，调整音箱发音的频率，能使酒杯碎掉，这是______现象，这时音箱所发出声音的频率为______Hz．
(参考答案：共振；300)
4、如图所示，两个质量分别为M和m的小球悬挂在同一根细绳上，先让M摆动，经一段时间系统达到稳定后，下面说法中正确的是( ABCD )
A．无论M和m的大小关系如何，m和M的周期都相等
B．无论m和M的关系如何，当两个摆的摆长相等时，m摆的振幅最大
C．悬挂M的细绳长度变化时，m摆的振幅也发生变化
D．当两个摆长相等时，m摆的振幅可以超过M摆的振幅
5、A、B两弹簧振子，A固有频率为f，B固有频率为4f，若它们均在频率为3f的驱动力作用下做受迫振动，则( B )
A．A的振幅较大，振动频率为f B．B的振幅较大，振动频率为3f
C．A的振幅较大，振动频率为3f D．B的振幅较大，振动频率为4f
6、某振动系统的固有频率f1，该振动系统在频率为f2的驱动力作用下做受迫振动，系统的振动频率为( B )
A．f1 B．f2 C．f1+f2 D．(f１+f2)/2
7、下列说法中正确的是( ACD )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关
8、如图为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少 共振时单摆的振幅多大 共振时摆球的最大加速度和最大速度大小各为多少
(参考答案：摆长：L＝1m；共振时的振幅为A＝8 cm；共振时的最大加速度为0.08m/s2，最大速度为0.28 m/s)
(四)小 结
1．物体在外界驱动力作用下所做的振动叫受迫振动。受迫振动的频率取决于驱动力的频率；
2．共振是受迫振动的特殊情况，当驱动力的频率接近或等于物体固有频率时，受迫振动振幅最大的现象，叫做共振。
3．共振在实际中的应用，往往是利用共振振幅大的特点，但有时也要防止发生共振，避免产生有害后果。
(五)作 业
P40 练习七 1、2
【教材分析】
本节从功能关系、动力学、运动学等多角度来研究受迫振动及其特例──共振现象。
在教学中应该充分发挥实验的作用，使学生理解物体在做受迫振动时其频率跟驱动力频率的关系，以及受迫振动的频率与物体固有频率接近时振动的特点。
另外，在本节的教学中应注意多举一些共振在实际中的应用以及避免共振的做法，培养学生理论联系实际的能力和习惯。
A
B
C
D
E
O
f/Hz
0.5
A/cm
811.4 单 摆
【教学目标】
（一）知识与技能
1、知道什么是单摆，了解单摆的构成。
2、掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
3、知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。
4、知道用单摆可测定重力加速度。
（二）过程与方法
1、知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型。
2、通过单摆做简谐运动条件的教学，体会用近似处理方法来解决物理问题。
3、通过研究单摆的周期，掌握用控制变量的方法来研究物理问题。
（三）情感、态度与价值观
1、单摆在小角度情况下做简谐运动，它既有简谐运动的共性，又有其特殊性，理解共性和个性的关系；
2、当单摆的摆角大小变化时，单摆的振动也将不同，理解量变和质变的变化规律。
3、培养抓住主要因素，忽略次要因素的辨证唯物主义思想。
【教学重点】
1、知道单摆回复力的来源及单摆满足简谐运动的条件；
2、通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式。
【教学难点】
1、单摆振动回复力的分析；
2、与单摆振动周期有关的因素。
【教学方法】
分析推理与归纳总结、数学公式推导法、实验验证、讲授法与多媒体教学相结合。
【教学用具】
单摆、秒表、米尺、条形磁铁、装有墨水的注射器（演示振动图象用）、CAI课件。
【教学过程】
（一）引入新课
教师：1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。
在第一节中我们以弹簧振子为模型研究了简谐运动，日常生活中常见到摆钟、摆锤等的振动，这种振动有什么特点呢？本节课我们来学习简谐运动的另一典型实例——单摆。
（二）进行新课
1．单摆
（1）什么是单摆
秋千和钟摆等摆动的物体最终都会停下来，是因为有空气阻力存在，我们能不能由秋千和钟摆摆动的共性，忽略空气阻力，抽象出一个简单的物理模型呢？
（出示各种摆的模型，帮助学生正确认识什么是单摆）
①第一种摆的悬绳是橡皮筋，伸缩不可忽略，不是单摆；
②第二种摆的悬绳质量不可忽略，不是单摆；
③第三种摆的悬绳长度不是远大于球的直径，不是单摆；
④第四种摆的上端没有固定，也不是单摆；
⑤第五种摆是单摆。
定义：如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。
单摆是实际摆的理想化模型：线的伸缩和质量可以忽略──使摆线有一定的长度而无质量，质量全部集中在摆球上。线长比球的直径大得多，可把摆球当作一个质点，此时悬线的长度就是摆长，实际单摆的摆长是从悬点到小球的球心。单摆的运动忽略了空气阻力，实际的单摆在观察的时间内可以不考虑各种阻力。
（2）单摆的摆动
①单摆的平衡位置
当摆球静止在O点时，摆球受到重力G和悬线的拉力Ｆ＇作用，这两个力是平衡的。O点就是单摆的平衡位置。
②单摆的摆动
演示：用力将摆球拉离平衡位置，使悬线与竖直方向成一角度，然后释放。
分析：摆球被拉到位置A＇时，摆球受到重力G，绳的拉力Ｆ＇，且G与拉力Ｆ＇不再平衡，所以摆球在这两个力的共同作用下，将沿以O为中点的一段圆弧做往复运动。
结论：摆球沿着以平衡位置O为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动。
（用CAI课件模拟摆球所做的运动）
2、单摆做简谐运动
（1）单摆的回复力
摆球受到的重力G和悬线拉力F＇，在单摆振动时，一方面要使单摆振动，另一方面还要提供摆球沿圆弧的运动的向心力。在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示。
因为Ｆ＇垂直于v，所以，我们可将重力G分解到速度v的方向及垂直于v的方向。且G1=Gsinθ=mgsinθ，G2=Gcosθ=mgcosθ。
重力G沿圆弧切线方向的分力G1=mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力，也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力。
F=G1=mgsinθ
（2）单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sinθ≈
又回复力Ｆ=mgsinθ
所以单摆的回复力为
（其中x表示摆球偏离平衡位置的位移，L表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反）
对确定的单摆，m、g、L都有确定的数值，可以用一个常数表示，上式可以写成
可见：在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动。
（3）实验验证
我们知道简谐运动的图象是正弦（或余弦曲线），那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线。
（让学生亲身体验一下振动的图象）
实验：用装有墨水的注射器，演示振动图象。（用实物投影仪投影）
现象：注射器漏出的墨水洒到匀速拉动的硬纸板上形成的图线是正弦或余弦曲线。
总结：从实际得到的图象中均可看出，在摆角很小的情况下，单摆振动的图象符合简谐运动的要求，单摆做简谐运动。
（4）单摆做简谐运动的条件
单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在10 以内，误差不超过0.5%。
3、单摆的周期
（1）实验研究
问题：单摆的周期与哪些因素有关呢
学生猜想：可能与振幅、摆球质量、摆长、重力加速度及空气阻力有关。
说明：在摆角很小，观察时间不长时，空气阻力的影响较小，可以忽略不计。
对比实验：
①当摆长为1ｍ时，使振幅A1=8cm，测出单摆的周期T1；当摆长为1ｍ时，使振幅A2=5cm，测出单摆的周期T1′。
②当摆长为1ｍ时，使摆球质量为ｍ，测出单摆的周期T2；当摆长为1ｍ时，换用质量为2m的摆球，测出单摆的周期T2′。
③当摆长为1ｍ时，使用一定的质量的摆球，测出单摆的周期T3；当摆长为0.64ｍ时，使用质量相同的摆球，测出单摆的周期T3′。
④单摆的摆球用铁球（质量为ｍ），测出单摆的周期T4；在单摆摆球的平衡位置下方放一块磁铁（相当于重力加速度增大）测出单摆的周期T4′。
（实验结果分析、比较）
结论：单摆摆动的周期与单摆的振幅无关，与单摆的摆长、重力加速度有关。
（2）周期公式
荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的摆动，定量得到：单摆做简谐运动的周期T跟摆长L的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。
4、单摆的应用
（1）利用单摆的等时性计时
单摆振动的周期与振幅的大小无关，这一特点叫做单摆振动的等时性。惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，摆的周期可以通过改变摆长来调节，计时很方便。
（2）测定当地的重力加速度
单摆的周期和摆长容易用实验准确地测定出来，所以利用单摆能准确地测定各地的重力加速度。
引导学生阅读17页有关内容，了解用单摆测重力加速度的原理及实验误差的分析，了解减小实验误差的措施。
巩固练习
1、秒摆的周期是______（G=9.8 m/s2时，秒摆的摆长大约是_______米 （取两位有效数字）。（参考答案：2s，0.99m）
2、关于单摆做简谐运动的回复力正确的说法是（ BCD ）
A．就是振子所受的合外力 B．振子所受合外力在振子运动方向的分力
C．振子的重力在运动方向的分力 D．振子经过平衡位置时回复力为零
3、用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（ C ）
A．不变 B．变大
C．先变大后变小再回到原值 D．先变小后变大再回到原值
4、如右图所示，光滑轨道的半径为2ｍ，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是（ A ）
A．C点 B．C点右侧 C．C点左侧 D．不能确定
5、一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是（ C ）
A．G甲＞G乙，将摆长适当增长 B．G甲＞G乙，将摆长适当缩短
C．G甲＜G乙，将摆长适当增长 D．G甲＜G乙，将摆长适当缩短
6、一绳长为L的单摆，在悬点正下方（L—L＇）处的点有一个钉子，如图所示，这个摆的周期是（ D ）
A．T=2π B．T=2π
C．T=2π（+） D．T=π（+）
（三）课堂总结、点评
通过本节课学习，我们知道单摆是一种理想化的振动模型，单摆振动的回复力是由摆球重力沿圆弧切线方向的分力mgsinθ提供的，在摆角很小时，回复力F=－，单摆的振动可看成简谐运动。单摆振动的周期跟振幅、摆球质量的大小无关，跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次根成反比，即T=2π。利用单摆可以计时和测定重力加速度等。
（四）课余作业
完成P18“问题与练习”的题目。
附：教材分析
摆动是常见的一种机械振动，单摆就是研究这类运动的一个物理模型，也就是说研究单摆的运动将为我们研究复杂摆动打下基础，同时现实生活中的许多摆动可以被近似地看成单摆运动，研究单摆运动规律将直接有助于我们解决这类实际问题，所以，本节知识属于高中物理中的重点知识。
橡皮筋
粗绳
细绳
绳绕在杆上
细绳
F′
G
O
A
A′
G
F′
L
θ
O
A
A′
G
F′
L
θ
G1
G2
F′
G
O
A
A′
G
F′
L
θ
G1
G2
A
B
C
a
b
L
L′
P第十一章 机械振动 章末综合检测
(时间：90分钟，满分：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分)
1．关于做简谐运动的物体完成一次全振动的意义有以下说法，其中正确的是( )
A．回复力第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程
B．速度第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程
C．动能或势能第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程
D．速度和加速度第一次同时恢复原来的大小和方向所经历的过程
解析：选D.物体完成一次全振动，是一次完整的振动过程．物体回到原位置，位移、速度、回复力的大小和方向与原来的大小和方向都相同．因此D正确．
2. 一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，如图11－3所示，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)，经过周期，振子具有正方向的最大加速度，那么图11－4中的四个x t图象能正确反映运动情况的是( )
图11－3
图11－4
解析：选D.由题意可知当t＝T时，振子具有正向最大加速度，也就是位移负向最大，所以D正确．
3. (2011年烟台高二检测)如图11－5所示是一做简谐运动物体的振动图象，由图象可知物体速度最大的时刻是( )
图11－5
A．t1 B．t2
C．t3 D．t4
答案：B
4．(原创题)2011年3月11日14时46分，日本宫城县和岩手县等地发生9.0级地震，导致很多房屋坍塌，场景惨不忍睹，就此事件，下列说法正确的有( )
A．所有建筑物振动周期相同
B．所有建筑物振幅相同
C．建筑物的振动周期由其固有周期决定
D．所有建筑物均做受迫振动
解析：选AD.地面上的所有建筑物都在同一驱动力下做受迫振动，它们的振动周期都与驱动力的周期相同，与其固有周期无关，故A、D正确，C错误．由于不同的建筑物固有周期不尽相同，所以做受迫振动时，它们的振幅不一定相同，B错误．
5．如图11－6所示为水平面内振动的弹簧振子，O是平衡位置，A是最大位移处，不计小球与轴的摩擦，则下列说法正确的是( )
图11－6
A．每次经过O点时的动能相同
B．从A到O的过程中加速度不断增加
C．从A到O的过程中速度不断增加
D．从O到A的过程中速度与位移的方向相反
解析：选AC.简谐运动中机械能守恒，故振子每次过O点时动能相同，A对；从A到O过程中位移逐渐减小，而振子的加速度大小与位移大小成正比，故加速度也逐渐减小，B错；A到O过程中振子的合力(回复力)做正功，振子速度增加，C对；O到A过程中，振子向右运动，位移也向右，故速度与位移方向相同，D错．
6．(2011年沈阳高二检测)如图11－7所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象．已知甲、乙两个振子质量相等，则( )
图11－7
A．甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm
B．甲、乙两个振子的相位差总为π
C．前2秒内甲、乙两振子的加速度均为正值
D．第2秒末甲的速度最大，乙的加速度最大
解析：选AD.两振子的振幅A甲＝2 cm，A乙＝1 cm，A 对；两振子的频率不相等，相位差为一变量，B错；前2 s内，甲的加速度为负值，乙的加速度为正值，C错；第2 s末甲在平衡位置，速度最大，乙在最大位移处加速度最大，D对．
7. 如图11－8所示，光滑槽半径远大于小球运动的弧长，今有两个小球同时由图示位置从静止释放，O点为槽的最低点，则它们第一次相遇的地点是( )
图11－8
A．O点 B．O点左侧
C．O点右侧 D．无法确定
解析：选A.两球释放后到槽最低点前的运动为简谐运动且为单摆模型．其周期T＝2π，从释放到最低点O的时间t＝相同，所以在O点相遇，选项A正确．
8．如图11－9所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm.则质点的振动周期和振幅分别为( )
图11－9
A．3 s,6 cm B．4 s,6 cm
C．4 s,9 cm D．2 s,8 cm
解析：选B.因质点通过M、N两点时速度相同，说明M、N两点关于平衡位置对称，由时间的对称性可知，质点由N到最大位移，与由M到最大位移的时间相等，即t1＝0.5 s，则＝tMN＋2t1＝2 s，即T＝4 s，由过程的对称性可知：质点在这2 s内通过的路程恰为2A，即2A＝12 cm，A＝6 cm，故B正确．
9. 弹簧振子在AOB之间做简谐运动，如图11－10所示，O为平衡位置，测得AB间距为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s．则( )
图11－10
A．振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振动频率是2 Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
D．振子过O点时计时，3 s内通过的路程为24 cm
答案：CD
10．一个摆长为l1的单摆，在地面上做简谐运动，周期为T1，已知地球质量为M1，半径为R1，另一摆长为l2的单摆，在质量为M2，半径为R2的星球表面做简谐运动，周期为T2，若T1＝2T2，l1＝4l2，M1＝4M2，则地球半径与星球半径之比R1∶R2为( )
A．2∶1 B．2∶3
C．1∶2 D．3∶2
解析：选A.在地球表面单摆的周期
T1＝2π ①
在星球表面单摆的周期
T2＝2π ②
又因为＝g③
G＝g′④
①②③④联立得＝ · ·＝.
二、实验题(本题共2小题，11题6分，12题8分，共14分．把答案填在题中横线上)
11．(2011年高考福建理综卷)某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图11－11所示，则该摆球的直径为________cm.
图11－11
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________．(填选项前的字母)
A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时
B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
解析：(1)游标卡尺读数为0.9 cm＋7×0.1 mm＝0.97 cm
(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过10°，并从平衡位置计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”则周期T＝，若第一次过平衡位置计为“1”则周期T＝，B错误；由T＝2π得g＝，其中l为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D错误．
答案：(1)0.97 (2)C
12．(2011年大同高二检测)(1)在“用单摆测重力加速度”的实验中，下列措施中可以提高实验精度的是________．
A．选细线做为摆线
B．单摆摆动时保持摆线在同一竖直平面内
C．拴好摆球后，令其自然下垂时测量摆长
D．计时起止时刻，选在最大摆角处
(2)如果测得的g值偏小，可能的原因是________.
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点末固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，秒表过迟按下
D．实验中误将49次全振动记为50次
(3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出一组对应的l与T的数据，再以l为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成直线如图11－12所示，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝________(用k表示)．
图11－12
答案：(1)ABC (2)B (3)
三、计算题(本题共4小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
13．(6分)(2011年高考江苏卷)将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块．将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期．请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T.
解析：单摆周期公式T＝2π，且kl＝mg
解得T＝2π.
答案：见解析
14．(8分)一水平弹簧振子做简谐运动，其位移和时间关系如图11－13所示．
图11－13
(1)求t＝0.25×10－2 s时的位移．
(2)从t＝0到t＝8.5×10－2 s的时间内，质点的路程、位移各为多大？
解析：(1)由图象可知T＝2×10－2 s，横坐标t＝0.25×10－2 s时，所对应的纵坐标x＝－Acosωt＝－2cos100π×0.25×10－2 cm≈－1.414 cm.
(2)因振动是变速运动，因此只能利用其周期性求解．即一
个周期内通过的路程为4个振幅，本题中Δt＝8.5×10－2 s＝T，所以通过的路程为×4A＝17A＝17×2 cm＝34 cm，经个周期振子回到平衡位置，位移为零．
答案：(1)－1.414 cm (2)34 cm 0
15．(10分)有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度．已知该单摆在海平面处的周期是T0.当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T，求该气球此时离海平面的高度h，把地球看成质量均匀分布的半径为R的球体．
解析：设单摆的摆长为L，地球的质量为M，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分别为：
g＝G，gh＝G
据单摆的周期公式可知T0＝2π，T＝2π
由以上各式可求得h＝(－1)R.
答案：(－1)R
16．(12分)如图11－14所示，两个完全相同的弹性小球A和B分别挂在l和l/4的细线上，重心在同一水平面且小球恰好相互接触，把第一个小球A向右拉开一个不大的距离后由静止释放，经过多长时间两球发生第12次碰撞(两球碰撞时交换速度)
图11－14
解析：球A运动的周期TA＝2π，
球B运动的周期TB＝2π ＝π.
则该振动系统的周期
T＝TA＋TB＝(TA＋TB)＝.
在每个周期T内两球会发生两次碰撞，球A从最大位移处由静止开始释放后，经6T＝9π，发生12次碰撞，且第12次碰撞后A球又回到最大位置处所用时间为t′＝TA/4.
所以从释放A到发生第12次碰撞所用时间为
t＝6T－t′＝9π－＝.
答案：11.3 简谐运动的回复力和能量
【教学目标】
（一）知识与技能
1、理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律。
2、掌握简谐运动回复力的特征。
3、对水平的弹簧振子，能定量地说明弹性势能与动能的转化。
（二）过程与方法
1、通过对弹簧振子所做简谐运动的分析，得到有关简谐运动的一般规律性的结论，使学生知道从个别到一般的思维方法。
2、分析弹簧振子振动过程中能量的转化情况，提高学生分析和解决问题的能力。
（三）情感、态度与价值观
1、通过物体做简谐运动时的回复力和惯性之间关系的教学，使学生认识到回复力和惯性是矛盾的两个对立面，正是这一对立面能够使物体做简谐运动。
2、简谐运动过程中能量的相互转化情况，对学生进行物质世界遵循对立统一规律观点的渗透。
【教学重点】
1、简谐运动的回复力特征及相关物理量的变化规律。
2、对简谐运动中能量转化和守恒的具体分析。
【教学难点】
1、物体做简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度等变化规律的分析总结。
2、关于简谐运动中能量的转化。
【教学方法】
实验演示、讨论与归纳、推导与列表对比、多媒体模拟展示
【教学用具】
CAI课件、水平弹簧振子
【教学过程】
（一）引入新课
教师：前面两节课我们从运动学的角度研究了简谐运动的规律，不涉及它所受的力。
我们已知道：物体静止或匀速直线运动，所受合力为零；物体匀变速直线运动，所受合力为大小和方向都不变的恒力；物体匀速圆周运动，所受合力大小不变，方向总指向圆心。那么物体简谐运动时，所受合力有何特点呢？
这节课我们就来学习简谐运动的动力学特征。
（二）进行新课
1．简谐运动的回复力
（1）振动形成的原因（以水平弹簧振子为例）
问题：（如图所示）当把振子从它静止的位置O拉开一小段距离到A再放开后，它为什么会在A－O－A＇之间振动呢？
分析：物体做机械振动时，一定受到指向中心位置的力，这个力的作用总能使物体回到中心位置，这个力叫回复力。回复力是根据力的效果命名的，对于水平方向的弹簧振子，它是弹力。
①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。
回复力是根据力的作用效果命名的，不是什么新的性质的力，可以是重力、弹力或摩擦力，或几个力的合力，或某个力的分力等。
振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。
②形成原因：振子离开平衡位置后，回复力的作用使振子回到平衡位置，振子的惯性使振子离开平衡位置。
（2）简谐运动的力学特征
问题：弹簧振子振动时，回复力与位移是什么关系？
分析：由振动过程的分析可知，振子的位移总是相对于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，位移可以用振子的位置坐标x来表示，方向始终从平衡位置指向外侧。回复力的方向始终指向平衡位置，因而回复力的方向与振子的位移方向始终相反。
对水平方向的弹簧振子来说，回复力就是弹簧的弹力。在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子的回复力F跟振子偏离平衡位置的位移x成正比，即
F=-kx
式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是劲度系数，负号表示回复力与位移的方向总相反。
理论研究表明，如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
做简谐运动的质点，回复力总满足F=-kx的形式。式中k是比例常数。这就是简谐运动的动力学特征。
2．简谐运动的能量
振动具有周期性和重复性，在振动过程中，相关物理量的变化情况分析，只需分析一个循环即可。
（用CAI课件模拟弹簧振子的振动，分别显示分析x、F、a、v、Ek、Ep、E的变化情况）
观察振子从A→O→A＇→O→A的一个循环，这一循环可分为四个阶段：A→O、O→A＇、A＇→O、O→A，分析在这四个阶段中上述各物理量的变化，并将定性分析的结论填入表格中。
分析：弹簧振子由A→O的变化情况
分步讨论弹簧振子在从A→O运动过程中的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能和总能量的变化规律。
①从A到O运动中，位移的方向如何 大小如何变化
由A到O运动过程中，位移方向由O→A，随着振子不断地向O靠近，位移越来越小。
②从A到O运动过程中，小球所受的回复力有什么特点
小球共受三个力：弹簧的拉力、杆的支持力和小球的重力，而重力和支持力已相互平衡，所以回复力由弹簧弹力提供。
所以从A→O过程中，据胡克定律得到：物体所受的合力变小，方向指向平衡位置。
③从A到O运动过程中，振子的加速度方向如何 大小如何变
据牛顿第二定律得，小球从A到O运动过程中，加速度变小，方向指向平衡位置。
④从A→O过程中，速度方向如何 大小如何变化
因为物体的速度方向与运动方向一致，从A到O运动过程中，速度方向是从A →O。随着振子不断地向O靠近，弹簧势能转化为动能，所以小球的速度越来越大。
（⑤从A →O过程中，动量方向如何 大小如何变化
动量方向与速度的方向相同，大小与速度大小成正比，因此从A到O运动过程中，动量方向是从A →O。大小变化是越来越大。）
⑥从A →O过程中，动能大小如何变化
动能是标量，从A →O，大小变化是越来越大。
⑦从A →O过程中，势能大小如何变化
势能是标量，从A →O，大小变化是越来越小。
⑧从A →O过程中，总能量大小如何变化
因不考虑各种阻力，因而振动系统的总能量守恒。
（让学生讨论分析振子从O→A ′，从A ′→O，从O→A的运动情况，要求学生填写表格，并检查所填内容是否正确）
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
对O点位移的方向怎样？大小如何变化？ 向右减小 向左增大 向左减小 向右增大
回复力的方向怎样？大小如何变化？ 向左减小 向右增大 向右减小 向左增大
加速度的方向怎样？大小如何变化？ 向左减小 向右增大 向右减小 向左增大
速度的方向怎样？大小如何变化？ 向左增大 向左减小 向右增大 向右减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
总结：
回复力的方向始终指向平衡位置，加速度的方向与回复力的方向相同，也始终指向平衡位置。
回复力与加速度的方向总是与位移方向相反。
速度方向与位移方向有时一致，有时相反；速度方向与回复力、加速度的方向也是有时一致，有时相反。因而速度的方向与其它各物理量的方向间没有必然联系。
在四个阶段中，x、F、a、v、Ek、Ep、E的大小变化可分为两组，x、F、a、Ep为一组， v、Ek为另一组，每组中各量的变化步调一致，两组间的变化步调相反。整个过程中总能量保持不变。
当物体向着平衡位置运动时，a、v同向，振子做变加速运动，此时
x↓ F↓ a↓ Ep↓ v↑ Ek↑
当物体远离平衡位置运动时，a、v反向，振子做变减速运动，此时
x↑ F↑ a↑ Ep↑ v↓ Ek↓
在平衡位置的两侧，距平衡位置等距离的点，各量的大小对应相等，振子的运动具有对称性。
在上述各量中矢量变化的周期是标量变化周期的两倍。
特别说明：以上分析是在忽略摩擦等阻力的条件下进行的。实际的运动都具有一定的能量损耗，
巩固练习
1、做简谐运动的质点通过平衡位置时，具有最大值的物理量是_________。
A．加速度 B．速度 C．位移 D．动能 Ｅ．回复力 Ｆ．势能
（参考答案：BD ）
2、下列说法中正确的是 （ A ）
A．弹簧振子的运动是简谐运动 B．简谐运动就是指弹簧振子的运动
C．简谐运动是匀变速直线运动 D．简谐运动是机械运动中最基本最简单的一种
3、关于做简谐运动物体的说法正确的是 （ CD ）
A．加速度与位移方向有时相同，有时相反
B．速度方向与加速度有时相同，有时相反
C．速度方向与位移方向有时相同，有时相反
D．加速度方向总是与位移方向相反
4、做简谐运动的物体，当位移为负值时，以下说法正确的是 （ B ）
A．速度一定为正值，加速度一定为正值
B．速度不一定为正值，但加速度一定为正值
C．速度一定为负值，加速度一定为正值
D．速度不一定为负值，加速度一定为负值
5、在简谐运动中，振子每次经过同一位置时，下列各组中描述振动的物理量总是相同的是 （ B ）
A．速度、加速度、动量和动能
B．加速度、动能、回复力和位移
C．加速度、动量、动能和位移
D．位移、动能、动量和回复力
6、当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法正确的是 （ CD ）
A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等
B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功
C．振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供
D．振子在振动过程中，系统的机械能一定守恒
7、关于弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法正确的有 （ ABC ）
A．等于在平衡位置时振子的动能
B．等于在最大位移时弹簧的弹性势能
C．等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和
D．位移越大振动能量也越大
（三）课堂总结、点评
本节课学习了简谐运动的动力学特征和简谐运动的能量。
简谐运动是在与位移大小成正比，并且方向总指向平衡位置的回复力作用下的振动。做简谐运动的质点，回复力总满足F=-kx的形式。式中k是比例常数。
简谐运动系统的动能和势能相互转化，机械能守恒。
（四）课余作业
完成P13“问题与练习”的题目。
附：教材分析
本节学习的重点是使学生掌握简谐运动的回复力特征及相关物理量的变化规律。回复力的特征是形成加速度、速度、位移等物理量周期性变化的原因。弹簧振子振动形成的原因，一是回复力的特点（总指向平衡位置），二是振子的惯性，这是分析问题的关键。
对于竖直的弹簧振子，涉及弹性势能、重力势能、动能三者的变化，不要求从能量的角度对它进行分析。
简谐运动是一种理想化模型，实际中发生的振动都要受到阻尼的作用，如果阻尼很小，振动物体受到的回复力大小与位移成正比，方向与位移相反，则物体的运动可以看作是简谐运动，这种将实际问题理想化的方法，应注意让学生体会。
O
A
A′
F
F
PAGE
