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8.4.1
平面
随堂同步练习
一、单选题
1．如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
2．下图中正确表示两个相交平面的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．任意三点确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．平面和有不同在一条直线上的三个交点
D．一条直线和一个点确定一个平面
4．下列图形中，不一定是平面图形的是（ ）
A．一组对边平行的四边形
B．两组对边延长后，都相交的四边形
C．四边相等的四边形
D．对角线相交的四边形
5．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（
）．
A．空间任意三点
B．空间两条直线
C．空间两条平行直线
D．一条直线和一个点
6．下列结论中不正确的是（
）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上
D．任意两条直线不能确定一个平面
7．如图所示，平面平面，点，点，直线.设过三点的平面为，则（
）
A．直线
B．直线
C．直线
D．以上均不正确
8．如图所示，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（
）
A．三点共线
B．不共面
C．不共面
D．共面
9．下列说法中正确的是（
）
A．空间不同的三点确定一个平面
B．
空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．
空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D．
和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
二、多选题
10．（多选）已知表示不同的点，表示直线，表示不同的平面，则下列推理正确的是（
）
A．，，，
B．，，，
C．，
D．，,
11．（多选）下列说法中错误的是（
）
A．不共面的四点中，任意三点不共线
B．三条两两相交的直线在同一平面内
C．有三个不同公共点的两个平面重合
D．依次首尾相接的四条线段不一定共面
三、填空题
12．如图，试用适当的符号表示下列点?直线和平面之间的关系:
（1）点与平面:__________；
（2）点与平面:__________；
（3）直线与平面:__________；
（4）直线与平面:__________；
（5）平面与平面:__________；
13．给出下列说法：
①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；
⑤点在平面外，点和平面内的任意一条直线都不共面.
其中所有正确说法的序号是______.
14．以下四个命题中,
正确命题的个数是_________.
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,
B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
四、解答题
15．已知四点和直线，且，，，，求证:直线共面.
16．如图，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线.
17．如图,在底面是平行四边形的四棱锥中,O为,的交点,分别为,的重心.求证:四点共面.
18．已知：a、b、c、d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a、b、c、d共面
19．如图所示的几何体中，，，，且，，，.求证:直线，，相交于同一点.
20．如图，在四面体中作截面，若与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点.
（1）求证:直线平面；
（2）求证:点在直线上.
答案解析
1．B
【解析】
直线上有无数个点，直线可看成点的集合，
点在直线上，可记作，
直线在平面内，可记作，
故选．
2．D
【解析】
A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．
3．B
【详解】
A选项，不共线的三点确定一个平面，A错．
C选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C错．
D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面．
B选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B对，
故选B．
4．C
【详解】
在A中，由平行线确定一个平面，得到一组对边平行的四边形一定是平面图形，故A一定是平面图形；
在B中，由相交线确定一个平面，得两组对边延长后，都相交的四边形一定是平面图形，故B一定是平面图形；
在C中，四边相等的四边形有可能是空间四边形，不一定是平面图形，故C不一定是平面图形；
在D中，由相交线确定一个平面，得对角线相交的四边形一定是平面图形，故D一定是平面图形．
故选C．
5．C
【详解】
A,空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确；B.
空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确；C.
空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的；D.
一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确.
故答案为C.
6．D
【详解】
由平面基本性质可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A，C正确；
当平面四个点中，有三点共线，由直线与直线外一点确定一个平面可得此四个点共面，
故假设不成立，即其中任意三点不共线，因此选项B正确；
若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误.
故选D.
7．C
【详解】
，平面平面，，.又三点确定的平面为，.又是平面和的公共点，.
故选：C
8．A
【详解】
连接，则，
四点共面，
平面，
，平面，
平面，
点在平面与平面的交线上，
同理点在平面与平面的交线上，
三点共线，故A正确；
三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，
四点共面，四点共面，故B，C错误；
平面，平面，平面且，
和是异面直线，
四点不共面，故D错误.
故选：A.
9．D
【解析】因为
A.
空间不同的三点确定一个平面
，错误。
B.
空间两两相交的三条直线确定一个平面，可以构成棱锥，错误
C.
空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形，可以使三棱锥错误
D.
和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内，成立，故选D
10．ABD
【详解】
对于选项A:由公理1知,,故选项A正确;
对于选项B：因为表示不同的平面，由公理3知,平面相交,且,故选项B正确;
对于选项C:分两种情况:与相交或.当与相交时，若交点为A，则，故选项C错误；
对于选项D：由公理1逆推可得结论成立,故选项D成立;
故选:ABD
11．BC
【详解】
由公理2易知选项AD正确；
对于选项B：如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内，故选项B错误;
对于选项C:三个不同的公共点可在两平面的交线上.,故选项C错误;
故选:
BC
12．
【详解】
（1）点不在平面内，所以；（2）点不在平面内，所以；（3）直线与平面相交于点，所以；（4）直线在平面内，所以；（5）平面与平面相交，且交线为，所以.
13．③④
【详解】
①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定一个平面，所以是平行四边形；④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点和平面内的任意一条直线都能确定一个平面.
故答案为：③④
14．1
【解析】
正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性，若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c可能异面；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，空间四边形的四个定点就不共面．
故答案为：1.
15．
【详解】
证明：因为，所以直线与点可以确定平面，如图所示，
因为，所以，又，所以.
同理可证，，
所以，，在同一平面内，
即直线，，共面
16．【解析】
证明：∵AB∥CD，
∴AB，CD可确定一个平面，设为平面β，
∴AC在平面β内，即E在平面β内.
而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，
可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，
根据公理3可得，B，D，E三点共线.
考点：公理3的应用.
17．
【详解】
证明:如图,连接并延长,分别交于点,连接.
因为分别为,的重心,
所以分别为的中点,
所以.
由棱锥的性质,可知不共线,
所以确定一个平面,
所以平面,所以平面.
又,,平面,平面,
所以平面,平面,
所以四点共面.
18．
【解析】
证法1：若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a、b、c相交于一点A，∴直线d和A确定一个平面α.又设直线d与a、b、c分别相交于E、F、G，则A、E、F、G∈α.∵A、E∈α，A、E∈a，∴a?α.同理可证bα，cα.∴a、b、c、d在同一平面α内．
证法2：当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a、b确定一个平面α.设直线c与a、b分别交于点H、K，则H、K∈α.又H、K∈c，∴cα.同理可证dα.∴a、b、c、d四条直线在同一平面α内．
19．
【详解】
证明∵，，
∴直线，确定一个平面，并且直线，相交，设.①
∵，∴与确定一个平面，
∵平面，∴平面.
同理平面.
又因为平面平面，∴.②
由①②可知，，，三线共点，即直线，，相交于同一点.
20．
【详解】
证明：∵平面，直线,平面
∵平面，直线，
∴平面∴直线平面.
证明：∵直线，平面，∴平面.
由（1）知，平面，∴在平面与平面的交线上，
同理可知，也在平面与平面的交线上，
∴由公理3知,，，三点共线，
∴点在直线上.
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精品试卷·第
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8.4.1
平面
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．在四棱锥P-ABCD中，，，E为PD中点，平面ABE交PC于F，则（
）
A．1
B．
C．2
D．3
2．四棱锥底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在底面正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，，则平面与平面的交线是（
）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
4．如图所示，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（
）
A．三点共线
B．不共面
C．不共面
D．共面
5．如图，在正方体中，点，分别是棱，上的动点．给出下面四个命题：
①若直线与直线共面，则直线与直线相交；
②若直线与直线相交，则交点一定在直线上；
③若直线与直线相交，则直线与平面所成角的正切值最大为；
④直线与直线所成角的最大值是．
其中，所有正确命题的序号是（
）
A．①④
B．②④
C．①②④
D．②③④
6．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（
）
A．
B．
C．
D．
7．下列说法中正确的个数是（
）
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②平行四边形可以确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④若，且，则在上.
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如果直线a?平面α，直线b?平面α，，且，那么(
)
A．
B．
C．
D．
9．下列说法正确的个数（
）
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②梯形可以确定一个平面；
③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④且，则在上.
A．1
B．2
C．3
D．4
10．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图所示，在正方体中，点是棱的中点，动点在体对角线上（点与点，不重合），则平面可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）
12．如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接、、（如图②）.在折起的过程中，则下列表述：
①平面；
②四点、、、可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________.
13．如图，在正方体中，，中点为，过、、三点的截面面积为______.
三、解答题
14．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在对角线A1C上，且，求证：E，F，B三点共线.
15．如图，正方体中，，分别是，的中点．求证：
（1），，，四点共面；
（2），，三线共点．
16．在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图.
（1）若A1C交平面EFBD于点R，证明:P，Q，R三点共线.
（2）线段AC上是否存在点M，使得平面B1D1M∥平面EFBD，若存在确定M的位置，若不存在说明理由.
17．如图，已知分别是正方体的棱和的中点，求证:四边形是菱形.
18．如图，多面体中，、、两两垂直，平面平面，平面平面，，.
（1）证明：四边形是正方形；
（2）判断点、、、是否共面，并说明理由.
19．如图，在四面体中作截面，若与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点.
（1）求证:直线平面；
（2）求证:点在直线上.
20．如图所示，在三棱柱中，分别是的中点，
求证：（1）四点共面；
（2）平面平面．
答案解析
1．C
【详解】
延长，交于点，连结，交PC于点，
，且，可得点分别是的中点，
又点是的中点，和是的中线，
点是重心，得
故选：C
2．A
【详解】
根据题意，可知，则点符合“点在正方形内的一个动点”，
且满足，
设的中点为，根据题目条件可知和全等，
所以，点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，
故动点的轨迹肯定过点和点，
而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面，
线段的垂直平分面与平面的交线是一直线，
所以的轨迹为线段.
故选：A.
3．C
【解析】
由题意知，，，∴，又∵，∴平面，即在平面与平面的交线上，又平面，，∴点在平面与平面的交线上，
∴平面平面，故选．
4．A
【详解】
连接，则，
四点共面，
平面，
，平面，
平面，
点在平面与平面的交线上，
同理点在平面与平面的交线上，
三点共线，故A正确；
三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，
四点共面，四点共面，故B，C错误；
平面，平面，平面且，
和是异面直线，
四点不共面，故D错误.
故选：A.
5．D
【详解】
在正方体中，点，分别是棱，上的动点．
①如果点在，在时，直线与直线平行，可得直线与直线共面，但直线与直线不相交，①不正确；
②因为空间3个平面两两相交有3条交线，要么互相平行，要么相交与一点，因为直线与直线相交，所以则交点一定在直线上，所以②正确；
③若直线与直线相交，则直线与平面所成角的正切值最大值，应该是，与重合，此时直线与平面所成角的正切值最大为，所以③正确；
④直线与直线所成角的最大值就是，与重合时取得，夹角是，所以④正确；
故选：．
6．B
【详解】
如图所示：
确定一个平面，
因为平面平面，
所以，同理，
所以四边形是平行四边形.
即正方体被平面截的截面.
因为，
所以，
即
所以
由余弦定理得：
所以
所以四边形
故选：B
7．B
【详解】
对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确；
对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确；
对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确；
对于④，由公理可得，若，则，故④正确.
故选：B
8．A
【详解】
：∵直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，
∴M∈平面α，N∈平面α，
∵M∈l，N∈l，
∴l?α．
故选A．
9．B
【详解】
对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故不正确；
对于②，梯形由于有上下两底平行，则梯形是平面图形，故正确；
对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故不正确；
对于④，由公理3得：若，，则，故正确.
故选B.
10．C
【解析】
设
的中点为
，则
，连接
，则梯形
就是过，，正方体的截面，其面积为
，故选C.
11．
【详解】
见上面左图，取中点E，因为ME,所以A,M,E,四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A,
;
见上面右图，取中点F,因为,所以四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A,
;
综上，平面可能经过该正方体的顶点是.
故答案为：
12．①③
【详解】
对于命题①，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示：
则且，四边形是矩形，且，为的中点，
为的中点，且，且，
四边形为平行四边形，，即，
平面，平面，平面，命题①正确；
对于命题②，，平面，平面，平面，
若四点、、、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得，
则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾.
所以，命题②错误；
对于命题③，连接、，设，则，
在中，，，则为等腰直角三角形，
且，，，且，
由余弦定理得，，
，又，，平面，
平面，，
，、为平面内的两条相交直线，所以，平面，
平面，平面平面，命题③正确；
对于命题④，假设平面与平面垂直，过点在平面内作，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，，
，，，，，
又，平面，平面，.
，平面，平面，.
，，显然与不垂直，命题④错误.
故答案为：①③.
13．
【详解】
取的中点，连接,如图则，所以共面，即过、、三点的截面为,因为,所以截面为等腰梯形，故面积为
故答案为
14．
【详解】
设，
∵，，
∴，，而
∴，.
∴,又,
∴，即E，F，B三点共线.
15．
【详解】
证明：（1）连接，，，
，分别是，的中点，
，，
，
由两条平行线确定一个平面，得到，，，四点共面．
（2）分别延长，，交于点，
，面，
面．
是的中点，，
是的中点，
连接，，
，
，，三线共点于．
16．
【详解】
（1）证明：∵在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，
AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，A1C交平面EFBD于点R，
∴P，Q，R是平面BDEF和平面BDD1B1的公共点，
∴P，Q，R三点共线.
（2）存在点M为AP中点,
使平面B1D1M∥平面EFBD.
证明如下:取AD中点G，AB中点H，连结GH，交AC于点M，连结D1G，B1H，如图:
由题意得,GH∥EF,因为平面,平面，
所以平面,
因为B1H∥DE,同理可证,平面,
又因为,
由面面平行的判定定理可得,
∴平面GHB1D1∥平面BDEF，
∴线段AC上存在点M，使得平面B1D1M∥平面EFBD，且M为AP中点.
17．
【详解】
取棱的中点，连接，.如下图所示：
由正方体的性质，可知侧面为正方形，又分别为棱的中点，
所以，，从而四边形为平行四边形，
所以，.
又分别为棱，的中点，且侧面为正方形，
所以四边形为平行四边形，所以，.
又，，
所以，，且
从而四边形为平行四边形.
不妨设正方体的棱长为，
易知，
又四边形为平行四边形，故四边形是菱形.即证.
18．
【详解】
（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理，得，同理.
所以四边形为平行四边形.
又，，所以平行四边形是正方形；
（2）如图，取的中点，连接、.
因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理，得，同理，
在梯形中，，且为的中点，，，
，，则四边形为平行四边形，且.
又，，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以.
为的中点，，
又，四边形为平行四边形，，.
故、、、四点共面.
19．
【详解】
证明：∵平面，直线,平面
∵平面，直线，
∴平面∴直线平面.
证明：∵直线，平面，∴平面.
由（1）知，平面，∴在平面与平面的交线上，
同理可知，也在平面与平面的交线上，
∴由公理3知,，，三点共线，
∴点在直线上.
20．
【详解】
(1)分别是的中点，
是的中位线，
则，
又，
四点共面．
(2)分别为的中点，，
平面平面，
平面，
又分别是的中点，，
，
四边形是平行四边形，，
平面平面，
平面，
又，
平面平面，
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