6.3.1 平面向量基本定理课件（共54张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教版（2019）必修第二册第六章

第六章　§6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.
2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内
向量的一个基底.
知识点　平面向量基本定理
不共线
任一
有且只有一对
所有
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.
(　　)
2.基底中的向量不能为零向量.(　　)
3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(　　)
4.若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.(　　)
√
×
√
×
2
题型探究
PART TWO
例1　(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是
A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
一、平面向量基本定理的理解
√
√
√
解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.
反思感悟
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示.
跟踪训练1　已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝_____.
3
解析　因为{a，b}是一个基底，
所以a与b不共线，
所以x－y＝3.
二、用基底表示向量
解　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，
延伸探究
本例中，若设BC的中点为G，则 ＝________.
反思感悟
平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.
a＋b
2a＋c
三、平面向量基本定理的应用
例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
由平面向量基本定理，
反思感悟
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.
则λ＋μ＝_____.
3
随堂演练
PART THREE
1.(多选)设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为该平面其它向量基底的是
√
√
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2.下列三种说法：
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.
其中，说法正确的为
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
√
√
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A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0
√
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)平面向量基本定理.
(2)用基底表示向量.
(3)平面向量基本定理的应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
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1.(多选)若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是
A.{e1－e2，e2－e1}
B.{2e1－e2，e1－ e2}
C.{2e2－3e1，6e1－4e2}
D.{e1＋e2，e1＋3e2}
√
√
√
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解析　选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，
则e1－e2，e2－e1为共线向量；
选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量.
根据不共线的向量可以作为基底，知只有选项D中的两向量可作为基底.
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3.如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是
A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内
D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
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解析　B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意向量；
C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；
D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
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6.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为_____________________.
(－∞，4)∪(4，＋∞)
解析　若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线.
a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，
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8.已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底

{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝_____，

μ＝______.
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解　方法一　设AC，BD交于点O，
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10.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
证明　假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).
所以λ不存在.
故a与b不共线，可以作为一个基底.
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(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
解　设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以c＝2a＋b.
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综合运用
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解析　连接CD，OD，图略，
∵点C，D是半圆弧 的两个三等分点，
∴ ＝ ，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°，
∴∠CAD＝∠ADO＝30°，
∴AC∥DO，
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A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
√
即AB边中线的三等分点(非重心).
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拓广探究
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解析　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作?OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，
∠COM＝30°，∠OCM＝90°，
即λ＝4，μ＝2，
∴λ＋μ＝6.
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(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值.
因为D，O，N三点共线，
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