6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示课件（共54张PPT）2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　§6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
已知a＝(x，y)，则λa＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数 .
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
(λx，λy)
乘原来向量的相应坐标
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当_________
时，向量a，b(b≠0)共线.
知识点二　平面向量共线的坐标表示
x1y2－x2y1
＝0
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则 .(　　)
2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.
(　　)
3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.
(　　)
4.向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线.(　　)
√
×
√
×
2
题型探究
PART TWO
例1　(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于
A.(－23，－12) B.(23,12)
C.(7,0) D.(－7,0)
一、平面向量数乘运算的坐标表示
√
解析　由3a－2b＋c＝0，
∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，
∴c＝(－23，－12).
A.(－2，－2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(－1，－1)
√
反思感悟
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练1　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；
解　2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b；
解　a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
二、向量共线的判定
例2　(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B.a＝(2,3)，b＝(3,2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
√
√
√
解析　能作为平面内的基底，则两向量a与b 不平行，A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b.
反思感悟
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练2　已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，判断 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
因为2×6－3×4＝0，
三、利用向量共线的坐标表示求参数
例3　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,4).若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝

______.
解析　3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，
反思感悟
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量共线的坐标表示直接求解.
提醒　当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
跟踪训练3　(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为
√
解析　非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，
所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，
(2)若a＝( ，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝____.
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
有向线段定比分点坐标公式及应用
典例　(1)直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使 ，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P分P1P2所成的比为λ，求P点的坐标.
解　设P(x，y).
∴(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
(2)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，

y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且 ＝2，求点G的坐标.
解　∵D是AB的中点，
设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得
素养提升
(1)用有向线段的定比分点坐标公式 (λ≠－1)可以

求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比.事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题.如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性.定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.
(2)通过定比分点坐标公式的推导与应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.下列各组向量中，共线的是
A.a＝(－1,2)，b＝(4,2)
B.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)

C.a＝ ，b＝(10,5)

D.a＝(0，－1)，b＝(3,1)
√
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解析　利用平面向量共线的坐标表示可知，只有B满足题意.
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2.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为
A.2 B.－2
C.3 D.－3
√
解析　因为a∥b，
所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.
3.与a＝(12,5)平行的单位向量为
√
解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
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4.若点A(－2,0)，B(3,4)，C(2，a)共线，则a＝_____.
因为A，B，C三点共线，
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5.已知向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线，

则λ＝______.
解析　因为向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，
所以2a＋b＝(4,2λ＋1)，
由2a＋b与c共线得－8－(2λ＋1)＝0，
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)平面向量数乘运算的坐标表示.
(2)两个向量共线的坐标表示.
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
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1.已知平面向量a＝(－2,0)，b＝(－1，－1)，则 －2b等于
A.(1,2) B.(－1，－2)
C.(－1,2) D.(1，－2)
√
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2.已知向量a＝(3,5)，b＝(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于
√
3.如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于
A.±2 B.－2
C.2 D.0
√
解析　∵a与b共线且方向相反，
∴存在实数λ(λ<0)，使得b＝λa，
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4.(多选)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是
A.存在实数x，使a∥b
B.存在实数x，使(a＋b)∥a
C.存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D.存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
√
√
√
解析　只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.
5.若三点A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是
A.2m－n＝3 B.n－m＝1
C.m＝3，n＝5 D.m－2n＝3
√
解析　因为三点A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，
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6.已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝_______，b＝____________.
(3,5)　 (－2，－2)
解析　由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，
所以2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，
所以a＝(3,5)，2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，
所以b＝(－2，－2).
7.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝______.
7
解析　由于p＝ma＋nb
即(9,4)＝(2m，－3m)＋(n,2n)＝(2m＋n，－3m＋2n)，
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___________.
∴x1＝－7，y1＝7，即C(－7,7).
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9.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值，并判断ma＋4b与a－2b是同向还是反向？
解　ma＋4b＝(2m,3m)＋(－4,8)＝(2m－4,3m＋8)，
a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
因为ma＋4b与a－2b共线，
所以4(3m＋8)－(－1)×(2m－4)＝0，得m＝－2.
当m＝－2时，ma＋4b＝(－8,2)，
所以ma＋4b＝－2(a－2b)，
所以ma＋4b与a－2b方向相反.
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10.已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，点P在直线AB上，且 ，求点P的坐标.
解　设点P的坐标为(x，y)，
解得x＝－1，y＝－2，
∴P(－1，－2).
解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6).
综上可得，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6).
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综合运用
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11.向量a＝(2，－1)，|b|＝3|a|，a∥b，则b可能是
A.(6,3) B.(3,6)
C.(－6，－3) D.(－6,3)
√
解析　由a∥b可排除A，B，C，故选D.
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12.(多选)在下列向量组中，不能把向量a＝(－3,7)表示出来的是
A.e1＝(0,1)，e2＝(0，－2)
B.e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10)
C.e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1)
D.e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8)
√
√
√
解析　因为A，B，D中都是两个共线向量，而C中两向量不共线，故C可以把向量a＝(－3,7)表示出来.
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√
解析　因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，
所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.
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拓广探究
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15.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，

则直线AC与BD交点P的坐标为__________.
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又cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，
∴－2≤cos2α＋2sin α≤2，
∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，
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本课结束