7.2.1复数的加、减运算及其几何意义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（16张PPT））

人教A版高中数学必修第二册
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
广信数学组
课堂引入
在上一节，我们把实数集扩充到了复数集。引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算。下面就来讨论复数集中的运算问题。
首先，我们先看复数的加、减运算及其几何意义。
虚数
有理数Q
整数Z
自然数N
实数R
负整数
分数
无理数
复数C
引入新课
复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下：
设 是任意两个复数，那么

说明: 很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数。特别地，当 都是实数时，把它看作复数时的和就是这两个实数的和 。
可以看出，两个复数相加，类似于两个多项式相加。
课堂探究
1. 设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i.
（1）因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)
=(a1+a2)+(b1+b2)i,
z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i)
=(a1+a2)+(b1+b2)i,
探究 复数的加法满足交换律、结合律吗？
（2） (z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)
=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i,
z1+ (z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]
=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i,
所以（结合律）(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
所以（交换律） z1+z2=z2+z1
由平面向量的坐标运算法则，得
探索新知
探究复数与复平面内与原点为起点的向量一一对应。而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
x
O
设 ， 分别与复数 ， 对应，则 ,
∴向量 就是与复数
对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义
课堂典例
思考
我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：
的复数 叫做复数 减去复数 的差，记作
课堂典例
因此
所以
即
说明：（1）两个复数的差是一个确定的复数 .
（2）两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
根据复数相等的含义，
课堂典例
类比复数加法的几何意义，你能指出复数减法的几何意义？
y
x
O
复数减法的几何意义：
探究
说明：
1.复数的减法可按照向量的减法
来进行（三角形法则）。
2.由向量的几何意义可知 表示在复平面内复数对应的 和 两点之间的距离。
设 ， 分别与复数 ， 对应，则 ,
课堂典例
例1.计算：
解：
课堂典例
解：
例2.根据复数及其运算的几何意义，求复平面内两点 之间的距离
因为复平面内的点 对应的复数分别为
，所以点 之间的距离为
课堂典例
复数模的最值问题
例1. 如果复数 满足 ,那么
的最小值是__.?
2.若复数 满足 ,求 的最大值和最小值.
课堂典例
【解析】1.设复数-i,i,-1-i在复平面内对 应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2, 即|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动, 求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1.所以 |z+i+1|min=1.答案:1
2.如图所示, 所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
难点：设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,
则|z+i|的最小值为 .
课堂典例
已知z1=2-2i,且|z|=1,求|z-z1|的最大值.
解：如图所示,因为|z|=1,所以z的轨迹可看作是
半径为1,圆心为原点的圆,而z1对应坐标系中的点为
(2,-2),所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆
上的点的最大距离,则|z-z1|max=
课堂典例
常见结论:在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对
应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB:
①为平行四边形;
②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;
③若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;
④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
例：已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
(2)|z+2i|
点A到点(1,2)的距离
点A到点(0,－2)的距离
课堂练习
练习. 设A为原点，B、C两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，
则使得A、B、C、D这四点成平行四边形的点D对应的复数是
.

，或
，或
课堂小结
方法技巧
1．复数加减法法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．
失误防范
1．算式中若出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
2．复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运算．