1.2.1排列的综合应用 学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版选修2-3第一章 Word版
文档属性
| 名称 | 1.2.1排列的综合应用 学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版选修2-3第一章 Word版 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 200.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-25 21:44:47 | ||
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文档简介
第二课时 排列的综合应用
内 容 标 准 学 科 素 养
1.进一步加深对排列概念的理解. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 利用数字抽象
加强数学建模
授课提示：对应学生用书第8页
[基础认识]
知识点一 排列数公式
知识梳理 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝.
A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.
知识点二 排列应用问题
知识梳理 求排列应用题时，正确地理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语．正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是十分重要的．分类时，要注意各类之间不重复、不遗漏．分步时，要注意依次做完各个步骤后，事情才能完成．如果不符合条件的情况较少时，也可以采用排除法．
解简单的排列应用问题首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序，如果是，再进一步分析这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事．
[自我检测]
1．已知A＝132，则n等于( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：A＝n(n－1)＝132，解得，n＝12或－11(舍去)．
答案：B
2．北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．
解析：符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．
答案：12
授课提示：对应学生用书第9页
探究一 无限制条件的排列问题
[阅读教材P18例3](1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
题型：无限制条件的排列问题
方法步骤：(1)一种送法就是三本书的一个排列，故有A＝60种不同的送法．
(2)从5种书中买3本送给3名同学，应分三步完成，共有5×5×5＝125种．
[例1] (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
(2)12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？
[解析] (1)从5个不同的科研小课题中选出3个，由3个学习兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列．
因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60(种)．
(2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有A＝12×11×10＝1 320种不同的获奖情况．
方法技巧 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．
跟踪探究 1.从1,2,3,4这四个数字中任选三个数字，共能排成多少个没有重复数字的三位数．
解析：从1,2,3,4这四个数字中任选三个数字，排成没有重复数字的三位数，就是从这四个元素中任取三个式子的排列，所以共有A＝4×3×2＝24个没有重复数字的三位数．
探究二 有限制条件的排列问题
1．数字排列问题
[阅读教材P19例4]用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
题型：数字排列问题
方法步骤：(1)特殊元素优先法，分含0的三位数和不含0的三位数．
含0的三位数共有AA＝144，
不含0的三位数共有A＝504，
共有144＋504＝648.
(2)特殊位置优先法，分两步：
第一步，填百位有A种，
第二步，填个位和十位有A种．
共有A·A＝648.
(3)间接法，A－A＝648.
A表示0在百位的三位数．
[例2] 用0,1,2,3,4,5这六个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(3)能组成多少个比1 325大的四位数？
[解析] (1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：当0在个位时，有A个；
第二类：当2在个位时，千位从1,3,4,5中选定1个(A种)，十位和百位从余下的数字中选(有A种)，于是有A·A个；
第三类：当4在个位时，与第二类同理，也有A·A个．
由分类计数原理知，符合题意的四位偶数共有A＋A·A＋A·A＝156(个)．
(2)是5的倍数的五位数可分为两类：个位数字是0的五位数有A个；个位数字是5的五位数有A·A个．
故满足条件的五位数共有A＋A·A＝216(个)．
(3)比1 325大的四位数可分为三类：
第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有A·A个；
第二类：形如14□□，15□□，共有A·A个；
第三类：形如134□，135□，共有A·A个．
由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有A·A＋A·A＋A·A＝270(个)．
方法技巧 用分步排位的方法计算排列数，必须注意三个方面
(1)在题设条件的限制下，根据哪些元素可取、哪些元素不可取，对每一步排位；
(2)在某一步排位后，下一步排位可取元素的个数，应视具体情况而定；
(3)若某一步必须分类，则分类后各步都必须按各类分别计算．
2．排队问题
[例3] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：
(1)选5名同学排成一行；
(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；
(5)全体站成一排，男生、女生各站在一起；
(6)全体站成一排，男生必须排在一起；
(7)全体站成一排，男生不能排在一起；
(8)全体站成一排，男生、女生各不相邻；
(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；
(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；
(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变；
(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．
[解析] (1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名即可，则共有N＝A＝7×6×5×4×3＝2 520种不同的排队方案．
(2)(直接分步法)先考虑甲有A种方案，再考虑其余6人全排有A种方案，
故共有N＝AA＝2 160种不同的排队方案．
(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A种方案，再安排其余5人全排有A种方案，
故共有N＝AA＝240种不同的排队方案．
(4)(法一：直接分类法)按甲是否在最右端分两类．
第1类，甲在最右端有N1＝A种不同的排队方案；
第2类，甲不在最右端时，甲有A个位置可选，而乙也有A个位置可选，而其余全排，有N2＝AAA种不同的排队方案．
故共有N＝N1＋N2＝A＋AAA＝3 720种不同的排队方案．
(法二：间接法)无限制条件的排列数共有A种，而甲或乙在左端(右端)的排法有A种，甲在左端且乙在右端的排法有A种，
故共有N＝A－2A＋A＝3 720种不同的排队方案．
(5)相邻问题(捆绑法)
男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法，将男生、女生各视为一个元素，有A种排法．由分步乘法计数原理知，共有AAA＝288种不同的排队方案．
(6)(捆绑法)把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素并全排，故共有N＝AA＝720种不同的排队方案．
(7)即不相邻问题(插空法)，先排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的5个空当中进行排列，有A种排法，故共有N＝AA＝1 440种不同的排队方案．
(8)对比(7)让女生插空，共有N＝AA＝144种不同的排队方案．
(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3人全排，故共有N＝AAA＝960种不同的排队方案．
(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N＝＝2 520种不同的排队方案．
(11)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的，故共有N＝＝840种不同的排队方案．
(12)直接分步完成，共有AA＝5 040种不同的排队方案．
方法技巧 1.处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
2．“在”与“不在”排列问题解题原则及方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．
3．在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：
(1)整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法．
(2)逐一插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．
跟踪探究 2.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数．
(1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？
(2)如果组成的四位数必须大于6 500，那么这样的四位数有多少个？
解析：(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有A种排法；第二步排千、百、十这三个数位上的数字，有A种排法．根据分步乘法计数原理，符合条件的四位数的个数是A·A＝3×6×5×4＝360.故这样的四位数有360个．
(2)因为组成的四位数要大于6 500，所以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类．第一类：千位上排7，有A种不同的排法；第二类：若千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有A·A种不同的排法．根据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是A＋A·A＝160.故这样的四位数有160个．
授课提示：对应学生用书第10页
[课后小结]
求解排列问题的主要方法：
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反，等价转化的方法
[素养培优]
多种方法解决排列问题
有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间，也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)男女相间．
审题视点：这是一个排列问题，一般情况下，从受到限制的特殊元素开始考虑，或从特殊的位置开始考虑．
解析：(1)(法一：元素分析法)
先排甲有6种排法，其余有A种排法，故共有6·A＝241 920种排法．
(法二：位置分析法)
中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有A·A＝336×720＝241 920种排法．
(法三：等机会法)
9个人的全排列数有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A×＝241 920(种)．
(法四：间接法)
共有A－3·A＝6A＝241 920种排法．
(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A·A＝10 080种排法．
(3)(插空法)
先排4名男生，有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A·A＝2 880种排法．
方法点睛 1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法，我们用各种方法解决这个题的目的是：希望通过对本题的感悟，能掌握更多的解决这类问题的方法．
2．元素分析法最基本，位置分析法对重要元素区别对待，间接法一般针对对立面比较容易求解的题目特别实用.
内 容 标 准 学 科 素 养
1.进一步加深对排列概念的理解. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 利用数字抽象
加强数学建模
授课提示：对应学生用书第8页
[基础认识]
知识点一 排列数公式
知识梳理 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝.
A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.
知识点二 排列应用问题
知识梳理 求排列应用题时，正确地理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语．正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是十分重要的．分类时，要注意各类之间不重复、不遗漏．分步时，要注意依次做完各个步骤后，事情才能完成．如果不符合条件的情况较少时，也可以采用排除法．
解简单的排列应用问题首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序，如果是，再进一步分析这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事．
[自我检测]
1．已知A＝132，则n等于( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：A＝n(n－1)＝132，解得，n＝12或－11(舍去)．
答案：B
2．北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．
解析：符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．
答案：12
授课提示：对应学生用书第9页
探究一 无限制条件的排列问题
[阅读教材P18例3](1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
题型：无限制条件的排列问题
方法步骤：(1)一种送法就是三本书的一个排列，故有A＝60种不同的送法．
(2)从5种书中买3本送给3名同学，应分三步完成，共有5×5×5＝125种．
[例1] (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
(2)12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？
[解析] (1)从5个不同的科研小课题中选出3个，由3个学习兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列．
因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60(种)．
(2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有A＝12×11×10＝1 320种不同的获奖情况．
方法技巧 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．
跟踪探究 1.从1,2,3,4这四个数字中任选三个数字，共能排成多少个没有重复数字的三位数．
解析：从1,2,3,4这四个数字中任选三个数字，排成没有重复数字的三位数，就是从这四个元素中任取三个式子的排列，所以共有A＝4×3×2＝24个没有重复数字的三位数．
探究二 有限制条件的排列问题
1．数字排列问题
[阅读教材P19例4]用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
题型：数字排列问题
方法步骤：(1)特殊元素优先法，分含0的三位数和不含0的三位数．
含0的三位数共有AA＝144，
不含0的三位数共有A＝504，
共有144＋504＝648.
(2)特殊位置优先法，分两步：
第一步，填百位有A种，
第二步，填个位和十位有A种．
共有A·A＝648.
(3)间接法，A－A＝648.
A表示0在百位的三位数．
[例2] 用0,1,2,3,4,5这六个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(3)能组成多少个比1 325大的四位数？
[解析] (1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：当0在个位时，有A个；
第二类：当2在个位时，千位从1,3,4,5中选定1个(A种)，十位和百位从余下的数字中选(有A种)，于是有A·A个；
第三类：当4在个位时，与第二类同理，也有A·A个．
由分类计数原理知，符合题意的四位偶数共有A＋A·A＋A·A＝156(个)．
(2)是5的倍数的五位数可分为两类：个位数字是0的五位数有A个；个位数字是5的五位数有A·A个．
故满足条件的五位数共有A＋A·A＝216(个)．
(3)比1 325大的四位数可分为三类：
第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有A·A个；
第二类：形如14□□，15□□，共有A·A个；
第三类：形如134□，135□，共有A·A个．
由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有A·A＋A·A＋A·A＝270(个)．
方法技巧 用分步排位的方法计算排列数，必须注意三个方面
(1)在题设条件的限制下，根据哪些元素可取、哪些元素不可取，对每一步排位；
(2)在某一步排位后，下一步排位可取元素的个数，应视具体情况而定；
(3)若某一步必须分类，则分类后各步都必须按各类分别计算．
2．排队问题
[例3] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：
(1)选5名同学排成一行；
(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；
(5)全体站成一排，男生、女生各站在一起；
(6)全体站成一排，男生必须排在一起；
(7)全体站成一排，男生不能排在一起；
(8)全体站成一排，男生、女生各不相邻；
(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；
(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；
(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变；
(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．
[解析] (1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名即可，则共有N＝A＝7×6×5×4×3＝2 520种不同的排队方案．
(2)(直接分步法)先考虑甲有A种方案，再考虑其余6人全排有A种方案，
故共有N＝AA＝2 160种不同的排队方案．
(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A种方案，再安排其余5人全排有A种方案，
故共有N＝AA＝240种不同的排队方案．
(4)(法一：直接分类法)按甲是否在最右端分两类．
第1类，甲在最右端有N1＝A种不同的排队方案；
第2类，甲不在最右端时，甲有A个位置可选，而乙也有A个位置可选，而其余全排，有N2＝AAA种不同的排队方案．
故共有N＝N1＋N2＝A＋AAA＝3 720种不同的排队方案．
(法二：间接法)无限制条件的排列数共有A种，而甲或乙在左端(右端)的排法有A种，甲在左端且乙在右端的排法有A种，
故共有N＝A－2A＋A＝3 720种不同的排队方案．
(5)相邻问题(捆绑法)
男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法，将男生、女生各视为一个元素，有A种排法．由分步乘法计数原理知，共有AAA＝288种不同的排队方案．
(6)(捆绑法)把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素并全排，故共有N＝AA＝720种不同的排队方案．
(7)即不相邻问题(插空法)，先排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的5个空当中进行排列，有A种排法，故共有N＝AA＝1 440种不同的排队方案．
(8)对比(7)让女生插空，共有N＝AA＝144种不同的排队方案．
(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3人全排，故共有N＝AAA＝960种不同的排队方案．
(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N＝＝2 520种不同的排队方案．
(11)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的，故共有N＝＝840种不同的排队方案．
(12)直接分步完成，共有AA＝5 040种不同的排队方案．
方法技巧 1.处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
2．“在”与“不在”排列问题解题原则及方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．
3．在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：
(1)整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法．
(2)逐一插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．
跟踪探究 2.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数．
(1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？
(2)如果组成的四位数必须大于6 500，那么这样的四位数有多少个？
解析：(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有A种排法；第二步排千、百、十这三个数位上的数字，有A种排法．根据分步乘法计数原理，符合条件的四位数的个数是A·A＝3×6×5×4＝360.故这样的四位数有360个．
(2)因为组成的四位数要大于6 500，所以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类．第一类：千位上排7，有A种不同的排法；第二类：若千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有A·A种不同的排法．根据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是A＋A·A＝160.故这样的四位数有160个．
授课提示：对应学生用书第10页
[课后小结]
求解排列问题的主要方法：
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反，等价转化的方法
[素养培优]
多种方法解决排列问题
有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间，也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)男女相间．
审题视点：这是一个排列问题，一般情况下，从受到限制的特殊元素开始考虑，或从特殊的位置开始考虑．
解析：(1)(法一：元素分析法)
先排甲有6种排法，其余有A种排法，故共有6·A＝241 920种排法．
(法二：位置分析法)
中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有A·A＝336×720＝241 920种排法．
(法三：等机会法)
9个人的全排列数有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A×＝241 920(种)．
(法四：间接法)
共有A－3·A＝6A＝241 920种排法．
(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A·A＝10 080种排法．
(3)(插空法)
先排4名男生，有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A·A＝2 880种排法．
方法点睛 1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法，我们用各种方法解决这个题的目的是：希望通过对本题的感悟，能掌握更多的解决这类问题的方法．
2．元素分析法最基本，位置分析法对重要元素区别对待，间接法一般针对对立面比较容易求解的题目特别实用.