1.3.1 二项式定理 学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版选修2-3第一章 Word版

1．3　二项式定理
1．3.1　二项式定理
内　容　标　准 学　科　素　养
1.能用计数原理证明二项式定理． 2.理解二项式定理及二项展开式的特征，掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．
3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式，运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数．
4.能解决与二项式定理有关的简单问题. 利用数学抽象
提升数学运算
授课提示：对应学生用书第16页
[基础认识]
知识点　二项式定理及其相关概念
　知识梳理　
二项式定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理
二项式系数 C(k＝0,1，…，n)
通项 Tk＋1＝Can－kbk
二项式定理的特例 (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn
[自我检测]
1．(2x＋1)4的展开式为________________．
答案：16x4＋32x3＋24x2＋8x＋1
2．(x＋2)8的展开式中的第6项为________，其二项式系数为________．
答案：1 792x3　56
授课提示：对应学生用书第17页
探究一　二项式定理的正用、逆用
[阅读教材P30例1]求6的展开式．
题型：二项式定理的应用
方法步骤：(1)先将二项式整理为(2x－1)6.
(2)再用二项式定理将(2x－1)展开并化简即得到展开式．
[例1]　(1)求4的展开式．
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
[解析]　(1)法一：4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二：4＝
＝
＝＝81x2＋108x＋54＋＋.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
方法技巧　1.(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数和等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
跟踪探究　1.化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
解析：原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
探究二　二项展开式通项的应用
[阅读教材P31例2](1)求(1＋2x)7的展开式的第4项的系数；
(2)求9的展开式中x3的系数．
题型：二项展开式通项公式的应用
方法步骤：对于(1)直接用通项公式写出T4从而得出该项系数．
对于(2)，写出Tr＋1并整理由x3项得到r的值，从而求出该项系数．
[例2]　若n展开式中前三项系数成等差数列，求：
(1)展开式中含x的一次项；
(2)展开式中所有的有理项．
[解析]　(1)由已知可得C＋C·＝2C· ，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．
Tk＋1＝C()8－k·k
＝C·2－k·x4－k，
令4－k＝1，得k＝4.所以x的一次项为T5＝C2－4x＝x.
(2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0,4,8，所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.
方法技巧　1.利用二项式的通项求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；
(2)求含xk的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪探究　2.在8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)x2的系数．
解析：(1)T5＝T4＋1＝C(2x2)8－44＝C·24·x，
所以第5项的二项式系数是C＝70，
第5项的系数是C·24＝1 120.
(2)8的通项是C(2x2)8－rr＝(－1)rC·28－r·x16－r.
由题意，得16－r＝2，解得r＝6，
因此，x2的系数是(－1)6C·28－6＝112.
探究三　利用二项式定理解决整除和余数问题
[阅读教材P37习题1.3 B组1(2)]用二项式定理证明：
9910－1能被1 000整除．
证明：9910－1＝(100－1)10－1
＝C10010－C1009＋C1008－…－C100＋C－1
＝C10010－C1009＋C1008－…－1 000，
每一项均能被1 000整除．
所以9910－1能被1 000整除．
[例3]　试判断7777－1能否被19整除．
[解析]　7777－1＝(76＋1)77－1
＝7677＋C×7676＋C×7675＋…＋C×76＋C－1
＝76×(7676＋C×7675＋C×7674＋…＋C)．
由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．
方法技巧　用二项式定理解决an＋b整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r＜m)的形式，利用二项展开式求解．
跟踪探究　3.230－3除以7的余数为________．
解析：∵230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3
＝C×710＋C×79＋…＋C×7＋C－3
＝7×(C79＋C78＋…＋C)－2.
又余数不能为负数(需转化为正数)，
∴230－3除以7的余数为5.
答案：5
授课提示：对应学生用书第18页
[课后小结]
(1)二项展开式的特点
①展开式共有n＋1项．
②各项的次数和都等于二项式的幂指数n.
③字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.
(2)对通项公式的四点说明
①通项公式Tr＋1＝Can－rbr是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，这里r＝0,1，…，n.
②二项式(a＋b)n的第r＋1项Can－rbr和(b＋a)n的展开式的第r＋1项Cbn－rar是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的．
③注意二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是在(a＋b)n这个标准形式下而言的，而(a－b)n的二项展开式的通项公式是Tr＋1＝(－1)rCan－rbr(只需把－b看成b代入二项式定理)，这与Tr＋1＝Can－rbr是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的，都是C，但项的系数一个是(－1)rC，一个是C，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念．
[素养培优]
1.对展开式的通项记不清是第几项致错
(x－1)5的展开式中第4项的系数是(　　)
A．5　　　　　　 B．－10
C．20 D．－20
易错分析：第4项的系数为C()(－1)4＝5，故选A.考查数学抽象、数学运算的学科素养．
自我纠正：由展开式的通项，得T4＝C·(x)2·(－1)3＝－10×2x2＝－20x2，所以第4项的系数为－20.
答案：D
2．因混淆二项展开式中项的系数与二项式系数而致错
设(x－)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为1∶2，试求含x2的项．
易错分析：把二项展开式中项的系数与二项式系数混淆了．考查直观想象及数学运算的学科素养．
自我纠正：(x－)n展开式的第2项与第4项分别为Cxn－1(－)＝－nxn－1，Cxn－3(－)3
＝－2Cxn－3.
依题意得＝?n2－3n－4＝0，解方程并舍去不合题意的负根，得n＝4.
3．颠倒公式(a＋b)n中a，b的顺序致错
若n展开式中，第3项是常数，则中间项是第几项？
易错分析：解析时易把看作a，把看作b致错．考查数学抽象及数学运算的学科素养．
自我纠正：T3＝C·x·2＝C·x，
因为第3项是常数，
所以令＝0，解得n＝8.
故展开式总共有9项，中间项是第5项．