1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版选修2-3第一章

1．3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质
内　容　标　准 学　科　素　养
1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数． 2.理解二项式系数的性质并灵活运用. 利用直观想象
提升数学运算
授课提示：对应学生用书第19页
[基础认识]
知识点　“杨辉三角”与二项式系数的性质
知识梳理　1.杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
2．二项式系数的性质
性质 内容
对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
增减性与最大值 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大
如果n为奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值
各二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
[自我检测]
1．A＝C＋C＋C＋…与B＝C＋C＋C＋…的大小关系是(　　)
A．A＞B　　　　　　　 B．A＝B
C．A＜B D．不确定
答案：B
2．利用杨辉三角，将(a＋b)7展开为________________________________________．
答案：a7＋7a6b＋21a5b2＋35a4b3＋35a3b4＋21a2b5＋7ab6＋b7
3．在(a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为________，在(a＋b)9的展开式中，二项式系数最大的项为________________．
答案：70a4b4　126a5b4与126a4b5
授课提示：对应学生用书第19页
探究一　与杨辉三角有关的问题
[例1]　如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．
[解析]　由题图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝C＋C＋C＋…＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＋C＝C－1＋C＝274.
方法技巧　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
跟踪探究　1.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
第0行1
第1行1　1
第2行1　2　1
第3行1　3　3　1
第4行1　4　6　4　1
第5行1　5　10　10　5　1
…　…　…
解析：设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则C∶C＝2∶3.
∴3C＝2C，即
＝，
得：＝，∴n＝34.
答案：34
探究二　二项展开式的系数和问题
[阅读教材P34例3]试证：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
题型：求二项展开式中某些项的系数的和
方法步骤：(1)将(a＋b)n展开可以看出，
令a＝1，b＝1，得到C＋C＋C＋…＋C的值．
(2)再令a＝1，b＝－1，得到C－C＋C－C＋…＋(－1)nC的值，从而得到C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…的值．
[例2]　设(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018·x2 018(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 018的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 018|的值．
[解析]　(1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 018＝32 018.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 017)＝1－32 018，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 017＝.
(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N*)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 018|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 018＝32 018.
方法技巧　二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪探究　2.设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．
(1)a0；
(2)a1＋a2＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
解析：(1)由(2－x)100展开式中的常数项为C·2100，即a0＝2100(或令x＝0，则展开式可化为a0＝2100)．
(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，①
故a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，
可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100，②
与①联立相减可得
a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
＝(2－)100×(2＋)100＝1.
探究三　求二项展开式中系数或二项式系数最大的项
[阅读教材P35练习1(1)](a＋b)n的各二项式系数的最大值是________．
解析：当n为偶数时，各二项式系数的最大值是Cn.
当n为奇数时，各二项式系数的最大值是Cn＝Cn.
答案：n为偶数时，Cn　n为奇数时，Cn或Cn
[例3]　已知(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
[解析]　T6＝C·(2x)5，T7＝C·(2x)6，依题意有C·25＝C·26，解得n＝8.
∴在(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C·(2x)4＝1 120x4.
设第k＋1项的系数最大，则有
解得5≤k≤6.
∴k＝5或k＝6(∵k∈{0,1,2，…，8})．
∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
方法技巧　1.求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的．求展开式系数最大的项，如求(a＋bx)n(a、b∈R展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大的项．
跟踪探究　3.已知n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．
(1)求该展开式中所有有理项的个数；
(2)求该展开式中系数最大的项．
解析：(1)由题意可知＋1＝6，∴n＝10.
∴Tr＋1＝Cx2rx－2r＝C2rx(0≤r≤10，且r∈N)，要求该展开式中的有理项，只需令∈Z.
∴r＝0,2,4,6,8,10.
∴有理项的个数为6.
(2)设第Tr＋1项的系数最大，
则即
解不等式组得≤r≤.
∵r∈N，∴r＝7.
∴展开式中系数最大的项为T8＝C27x＝15 360x－.
授课提示：对应学生用书第20页
[课后小结]
(1)二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．
(2)求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．
(3)注意以下两点：①区分开二项式系数与项的系数．②求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}的范围．
[素养培优]
1.混淆各项的二项式系数和与各项的系数和致错
在(1－2x)7的展开式中，各项的二项式系数和为________；各项的系数和为________；各项系数的绝对值之和为________．
易错分析：混淆了展开式中各项的二项式系数之和与各项系数之和，产生错误的结果．考查数学抽象、数学运算的学科素养．
自我纠正：各项的二项式系数和为27＝128；令x＝1，则得各项的系数和为(1－2)7＝－1；
令x＝－1，则得各项系数的绝对值之和为(1＋2)7＝2 187.
答案：128　－1　2 187
2．混淆奇(偶)数项系数与奇(偶)次项系数致错
(1－x)6的展开式中，x的奇次项系数之和是(　　)
A．32　　　　　　 B．－32
C．0 D．－64
易错分析：混淆了展开式中奇数项系数与奇次项系数，导致求出错误的结果，考查数学抽象及数学运算的学科素养．
自我纠正：∵(1－x)6＝C－Cx＋Cx2－…＋Cx6，
∴奇次项系数之和为－C－C－C＝－32，故选B.
答案：B