3.1回归分析的基本思想及其初步应用 学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版选修2-3第三章
文档属性
| 名称 | 3.1回归分析的基本思想及其初步应用 学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版选修2-3第三章 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 380.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-25 22:05:47 | ||
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文档简介
3．1 回归分析的基本思想及其初步应用
内 容 标 准 学 科 素 养
1.能知道用回归分析处理两个变量之间的不确定关系的统计方法． 2.会利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，会用残差及R2来刻画线性回归模型的拟合效果．
3.能记住建立回归模型的方法和步骤；能知道如何利用线性回归模型求非线性回归模型. 利用数据分析
提升数学建模
及数学运算
授课提示：对应学生用书第51页
[基础认识]
知识点一 线性回归模型
“名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？
某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号 1 2 3 4 5
工作年限x/年 3 5 6 7 9
推销金额y/万元 2 3 3 4 5
请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？
提示：画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量之间的相关关系．
设所求的线性回归方程为＝x＋，
则＝＝＝0.5，
＝－＝0.4.
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为
＝0.5x＋0.4.
知识梳理 1.概念：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
2．步骤：画散点图→求回归方程→用回归方程进行预报．
3．在线性回归方程＝＋x中，＝＝，＝－，其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心．
4．线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．
知识点二 刻画回归效果的方式
(1)具有相关关系的两个变量的回归方程是唯一的吗？
(2)预报变量与真实值y一样吗？
(3)预报值与真实值y之间误差大了好还是小了好？
提示：(1)不一定． (2)不一样． (3)越小越好．
知识梳理 1.残差平方和法
(1)i＝yi－i＝yi－xi－(i＝1,2，…，n)称为相应于点(xi，yi)的残差．
(2)残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．
2．残差图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
3．利用相关指数R2刻画回归效果
其计算公式为：R2＝1－，其几何意义：R2越接近于1，表示回归的效果越好．
知识点三 建立回归模型的基本步骤
知识梳理 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．
画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．
由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)．
按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．
得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
[自我检测]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好．( )
(2)在画两个变量的散点图时，预报变量在x轴上，解释变量在y轴上．( )
(3)R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．如果记录了x，y的几组数据分别为(0,1)，(1,3)，(2,5)，(3,7)，那么y关于x的线性回归直线必过点( )
A．(2,2) B．(1.5,2)
C．(1,2) D．(1.5,4)
答案：D
3．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________．
答案：正相关
授课提示：对应学生用书第52页
探究一 求线性回归方程
[阅读教材P81例1]从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重．
题型：求线性回归方程
方法步骤：(1)画出散点图．
(2)确定身高和体重有很好的线性相关关系．
(3)由和的计算公式得出回归直线方程．
(4)由所给x的值进行预报y的值．
[例1] 某商场经营一批进价是30元/件的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系：
x 35 40 45 50
y 56 41 28 11
(1)y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程．(方程的斜率精确到1)
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预报当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．
[解析] (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．
设回归直线方程为＝x＋，
由题知＝42.5，＝34，
则求得＝≈－3.
＝－≈34－(－3)×42.5＝161.5.
∴＝－3x＋161.5.
(2)依题意有P＝(－3x＋161.5)(x－30)
＝－3x2＋251.5x－4 845
＝－32＋－4 845.
∴当x＝≈42时，P有最大值，约为426.
故预报当销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．
方法技巧 1.求线性回归方程的基本步骤
(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．
(2)计算：，，，，iyi.
(3)代入公式求出＝x＋中参数，的值．
(4)写出线性回归方程并对实际问题作出估计．
2．需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．
跟踪探究 1.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
解析：(1)如图：
(2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，
＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，
＝－ ＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中线性回归方程可知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
探究二 线性回归分析
[阅读教材P84思考]如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？
以例1中的女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据进行分析．
题型：判断模型的拟合效果
方法步骤：
(1)求出残差，并画出残差图进行分析．
(2)求出残差平方和进行分析．
(3)求出R2进行分析．
[例2] 已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
[解析] ＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222
＝1 660，
＝122＋102＋72＋52＋32＝327，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝
＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求回归直线方程是＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以(yi－i)2＝0.3，
(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回归模型的拟合效果很好．
方法技巧 1.解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．
2．刻画回归效果的三种方法
(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．
(2)残差平方和法：残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．
(3)相关指数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好．
跟踪探究 2.关于x与y有如下数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
有如下的两个线性模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.试比较哪一个拟合效果更好．
解析：由(1)可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i －0.5 －3.5 10 －6.5 0.5
yi－ －20 －10 10 0 20
∴(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
∴R＝1－
＝1－＝0.845.
由(2)可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i －1 －5 8 －9 －3
yi－ －20 －10 10 0 20
∴(yi－i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
∴R＝1－＝1－＝0.82.
由于R＝0.845，R＝0.82,0.845＞0.82，
∴R＞R.
∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果．
探究三 非线性回归模型
[阅读教材P86例2]一只红铃虫的产卵数y和温度x有关．现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y关于x的回归方程.
温度x/℃ 21 23 25 27 29 32 35
产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325
题型：非线性回归模型
方法步骤：(1)画出散点图
(2)写出非线性回归方程：y＝c1ec2x.
(3)通过某种变换令z＝ln y，得出线性回归直线z＝bx＋a.
(4)用线性回归方程来建立y与x间的非线性回归方程．
[例3] 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2 (wi－)2 (xi－)·(yi－) (wi－)·(yi－)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
表中wi＝，＝i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x，根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－ .
[解析] (1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝68，
＝－ ＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
方法技巧 求非线性回归方程的步骤
(1)确定变量，作出散点图．
(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．
(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．
(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．
(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．
跟踪探究 3.在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x 0.25 0.5 1 2 4
y 16 12 5 2 1
试建立y与x之间的回归方程．
解析：由数值表可作散点图如图，
根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，
设＝，令t＝，则＝kt，原数据变为：
t 4 2 1 0.5 0.25
y 16 12 5 2 1
由置换后的数值表作散点图如下：
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：
i ti yi tiyi t
1 4 16 64 16
2 2 12 24 4
3 1 5 5 1
4 0.5 2 1 0.25
5 0.25 1 0.25 0.062 5
∑ 7.75 36 94.25 21.312 5
所以＝1.55，＝7.2.
所以＝≈4.134 4，
＝－≈0.8.
所以＝4.134 4t＋0.8.
所以y与x之间的回归方程是＝＋0.8.
授课提示：对应学生用书第54页
[课后小结]
回归分析的步骤：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；
③由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程＝x＋)；
④按一定规则估算回归方程中的参数；
⑤得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等．
[素养培优]
求回归直线方程的方法和技巧
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年 份 2007 2009 2011 2013 2015
需求量/万吨 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2020年的粮食需求量．
教你审题：分别计算，，，，把2020代入所求回归直线方程中．
解析：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据处理如下：
年份－2011 －4 －2 0 2 4
需求量－257 －21 －11 0 19 29
对处理的数据，容易算得＝0，＝3.2.
＝
＝＝6.5，
＝－ ＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝6.5(x－2 011)＋3.2，
即＝6.5(x－2 011)＋260.2.
(2)利用所求得的回归直线方程，可预测2020年的粮食需求量为6.5×(2020－2 011)＋260.2＝318.7(万吨)．
方法点睛 求回归直线方程时，重点考查的是计算能力．若本题用一般方法去解，计算比较繁琐(如年份、需求量不做如上处理)，所以平时训练时遇到数据较大的要考虑有没有更简便的方法解决.
内 容 标 准 学 科 素 养
1.能知道用回归分析处理两个变量之间的不确定关系的统计方法． 2.会利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，会用残差及R2来刻画线性回归模型的拟合效果．
3.能记住建立回归模型的方法和步骤；能知道如何利用线性回归模型求非线性回归模型. 利用数据分析
提升数学建模
及数学运算
授课提示：对应学生用书第51页
[基础认识]
知识点一 线性回归模型
“名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？
某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号 1 2 3 4 5
工作年限x/年 3 5 6 7 9
推销金额y/万元 2 3 3 4 5
请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？
提示：画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量之间的相关关系．
设所求的线性回归方程为＝x＋，
则＝＝＝0.5，
＝－＝0.4.
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为
＝0.5x＋0.4.
知识梳理 1.概念：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
2．步骤：画散点图→求回归方程→用回归方程进行预报．
3．在线性回归方程＝＋x中，＝＝，＝－，其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心．
4．线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．
知识点二 刻画回归效果的方式
(1)具有相关关系的两个变量的回归方程是唯一的吗？
(2)预报变量与真实值y一样吗？
(3)预报值与真实值y之间误差大了好还是小了好？
提示：(1)不一定． (2)不一样． (3)越小越好．
知识梳理 1.残差平方和法
(1)i＝yi－i＝yi－xi－(i＝1,2，…，n)称为相应于点(xi，yi)的残差．
(2)残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．
2．残差图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
3．利用相关指数R2刻画回归效果
其计算公式为：R2＝1－，其几何意义：R2越接近于1，表示回归的效果越好．
知识点三 建立回归模型的基本步骤
知识梳理 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．
画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．
由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)．
按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．
得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
[自我检测]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好．( )
(2)在画两个变量的散点图时，预报变量在x轴上，解释变量在y轴上．( )
(3)R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．如果记录了x，y的几组数据分别为(0,1)，(1,3)，(2,5)，(3,7)，那么y关于x的线性回归直线必过点( )
A．(2,2) B．(1.5,2)
C．(1,2) D．(1.5,4)
答案：D
3．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________．
答案：正相关
授课提示：对应学生用书第52页
探究一 求线性回归方程
[阅读教材P81例1]从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重．
题型：求线性回归方程
方法步骤：(1)画出散点图．
(2)确定身高和体重有很好的线性相关关系．
(3)由和的计算公式得出回归直线方程．
(4)由所给x的值进行预报y的值．
[例1] 某商场经营一批进价是30元/件的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系：
x 35 40 45 50
y 56 41 28 11
(1)y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程．(方程的斜率精确到1)
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预报当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．
[解析] (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．
设回归直线方程为＝x＋，
由题知＝42.5，＝34，
则求得＝≈－3.
＝－≈34－(－3)×42.5＝161.5.
∴＝－3x＋161.5.
(2)依题意有P＝(－3x＋161.5)(x－30)
＝－3x2＋251.5x－4 845
＝－32＋－4 845.
∴当x＝≈42时，P有最大值，约为426.
故预报当销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．
方法技巧 1.求线性回归方程的基本步骤
(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．
(2)计算：，，，，iyi.
(3)代入公式求出＝x＋中参数，的值．
(4)写出线性回归方程并对实际问题作出估计．
2．需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．
跟踪探究 1.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
解析：(1)如图：
(2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，
＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，
＝－ ＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中线性回归方程可知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
探究二 线性回归分析
[阅读教材P84思考]如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？
以例1中的女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据进行分析．
题型：判断模型的拟合效果
方法步骤：
(1)求出残差，并画出残差图进行分析．
(2)求出残差平方和进行分析．
(3)求出R2进行分析．
[例2] 已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
[解析] ＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222
＝1 660，
＝122＋102＋72＋52＋32＝327，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝
＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求回归直线方程是＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以(yi－i)2＝0.3，
(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回归模型的拟合效果很好．
方法技巧 1.解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．
2．刻画回归效果的三种方法
(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．
(2)残差平方和法：残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．
(3)相关指数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好．
跟踪探究 2.关于x与y有如下数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
有如下的两个线性模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.试比较哪一个拟合效果更好．
解析：由(1)可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i －0.5 －3.5 10 －6.5 0.5
yi－ －20 －10 10 0 20
∴(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
∴R＝1－
＝1－＝0.845.
由(2)可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i －1 －5 8 －9 －3
yi－ －20 －10 10 0 20
∴(yi－i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
∴R＝1－＝1－＝0.82.
由于R＝0.845，R＝0.82,0.845＞0.82，
∴R＞R.
∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果．
探究三 非线性回归模型
[阅读教材P86例2]一只红铃虫的产卵数y和温度x有关．现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y关于x的回归方程.
温度x/℃ 21 23 25 27 29 32 35
产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325
题型：非线性回归模型
方法步骤：(1)画出散点图
(2)写出非线性回归方程：y＝c1ec2x.
(3)通过某种变换令z＝ln y，得出线性回归直线z＝bx＋a.
(4)用线性回归方程来建立y与x间的非线性回归方程．
[例3] 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2 (wi－)2 (xi－)·(yi－) (wi－)·(yi－)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
表中wi＝，＝i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x，根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－ .
[解析] (1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝68，
＝－ ＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
方法技巧 求非线性回归方程的步骤
(1)确定变量，作出散点图．
(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．
(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．
(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．
(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．
跟踪探究 3.在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x 0.25 0.5 1 2 4
y 16 12 5 2 1
试建立y与x之间的回归方程．
解析：由数值表可作散点图如图，
根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，
设＝，令t＝，则＝kt，原数据变为：
t 4 2 1 0.5 0.25
y 16 12 5 2 1
由置换后的数值表作散点图如下：
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：
i ti yi tiyi t
1 4 16 64 16
2 2 12 24 4
3 1 5 5 1
4 0.5 2 1 0.25
5 0.25 1 0.25 0.062 5
∑ 7.75 36 94.25 21.312 5
所以＝1.55，＝7.2.
所以＝≈4.134 4，
＝－≈0.8.
所以＝4.134 4t＋0.8.
所以y与x之间的回归方程是＝＋0.8.
授课提示：对应学生用书第54页
[课后小结]
回归分析的步骤：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；
③由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程＝x＋)；
④按一定规则估算回归方程中的参数；
⑤得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等．
[素养培优]
求回归直线方程的方法和技巧
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年 份 2007 2009 2011 2013 2015
需求量/万吨 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2020年的粮食需求量．
教你审题：分别计算，，，，把2020代入所求回归直线方程中．
解析：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据处理如下：
年份－2011 －4 －2 0 2 4
需求量－257 －21 －11 0 19 29
对处理的数据，容易算得＝0，＝3.2.
＝
＝＝6.5，
＝－ ＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝6.5(x－2 011)＋3.2，
即＝6.5(x－2 011)＋260.2.
(2)利用所求得的回归直线方程，可预测2020年的粮食需求量为6.5×(2020－2 011)＋260.2＝318.7(万吨)．
方法点睛 求回归直线方程时，重点考查的是计算能力．若本题用一般方法去解，计算比较繁琐(如年份、需求量不做如上处理)，所以平时训练时遇到数据较大的要考虑有没有更简便的方法解决.