2020-2021学年九年级数学北师大版下册：3.3 垂径定理 同步练习题(word版，含答案）

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章
3.3
垂径定理
同步练习题
A组(基础题)　　　
1．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(
)
A．5
B．7
C．9
D．11
2．如图，⊙O的半径为10，M是弦AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于(
)
A．8
B．10
C．12
D．16
3．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(
)
A．8
B．12
C．16
D．2
4．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论错误的是(
)
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.＝
D．△OCE≌△ODE
5．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是______．
6．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”(1尺＝10寸)．则CD＝______．
7．如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点D，AC＝6，CB＝8.求AD的长．
8．如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3
m，弓形的高EF＝1
m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在⊙O的半径r.
B组(中档题)
9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F.若BD＝8
cm，AE＝2
cm，则OF的长是______cm.
10．已知⊙O的半径为10
cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16
cm，CD＝12
cm，则弦AB和CD之间的距离是______cm.
11.如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．
12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
13．如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2
m，拱高CD为2.4
m.
(1)求拱桥的半径；
(2)现有一艘宽3
m，船舱顶部为长方形并高出水面2
m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
C组(综合题)
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于点D，E，F，G.
(1)求证：CD＝EF；
(2)若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
参考答案
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章
3.3
垂径定理
同步练习题
A组(基础题)　　　
1．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(A)
A．5
B．7
C．9
D．11
2．如图，⊙O的半径为10，M是弦AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于(D)
A．8
B．10
C．12
D．16
3．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(C)
A．8
B．12
C．16
D．2
4．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论错误的是(B)
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.＝
D．△OCE≌△ODE
5．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是3．
6．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”(1尺＝10寸)．则CD＝26寸．
7．如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点D，AC＝6，CB＝8.求AD的长．
解：作CE⊥AD于点E，
∵∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，
∴AB＝＝10.
∵CE·AB＝AC·BC，
∴CE＝＝.
在Rt△ACE中，AE＝＝＝.
∵CE⊥AD，∴AE＝DE.
∴AD＝2AE＝.
8．如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3
m，弓形的高EF＝1
m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在⊙O的半径r.
解：∵弓形的跨度AB＝3
m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB.
∴AF＝AB＝
m.
∵所在⊙O的半径为r，弓形的高EF＝1
m，
∴AO＝r，OF＝r－1.
在Rt△AOF中，AO2＝AF2＋OF2，
即r2＝()2＋(r－1)2.解得r＝.
答：所在⊙O的半径r为
m.
B组(中档题)
9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F.若BD＝8
cm，AE＝2
cm，则OF的长是cm.
10．已知⊙O的半径为10
cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16
cm，CD＝12
cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm.
11.如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．
12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
解：(1)证明：过点O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE，
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
(2)由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD，
连接OC，OA.
∵OE＝6，
∴CE＝＝＝2，
AE＝＝＝8.
∴AC＝AE－CE＝8－2.
13．如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2
m，拱高CD为2.4
m.
(1)求拱桥的半径；
(2)现有一艘宽3
m，船舱顶部为长方形并高出水面2
m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
解：(1)连接OB.
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点．
∵AB＝7.2
m，
∴BD＝AB＝3.6
m.
设OB＝OC＝r，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理，得
r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9.
∴拱桥的半径为3.9
m.
(2)令船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M，N(N在M的右边)，连接ON，连接MN，交CO于点E.
∵CD＝2.4
m，船舱顶部为长方形并高出水面2
m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m)．
∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．
在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96(m2)，
∴EN＝
m，
MN＝2EN＝2×≈3.44(m)＞3
m.
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
C组(综合题)
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于点D，E，F，G.
(1)求证：CD＝EF；
(2)若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
解：(1)证明：作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，OH⊥CG于点H，连接OE，OD，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON.
∵OE＝OD＝OC，
∴Rt△OME≌Rt△OND(HL)．
∴ME＝ND.
∵EF＝2ME，CD＝2ND，
∴CD＝EF.
(2)∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON＝OH.
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ONCH是正方形．
∴CN＝CH＝CD＝CG＝EF.
∵OC＝4，
∴CH＝OC＝4.
∴EF＝CD＝CG＝8.
易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，
∴AC＝10.
设BM＝BH＝x，则BC＝x＋4，AB＝x＋6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2＋BC2，即(6＋x)2＝102＋(4＋x)2，
解得x＝20.
∴AB＝26.