2.4三角形的中位线
1.关于三角形的中位线，下列叙述不正确的是( )
A．三角形的中位线等于边长的一半
B．三角形的中位线平行于第三边
C．经过三角形一边的中点，平行于另一边的直线，必然平分第三边
D．三角形的三条中位线构成的三角形的周长等于原三角形的一半
2.【中考·盐城】如图，点D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点，AC＝3，则DE的长为( )
A．2
B．
C．3
D．
3.【中考·梧州】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是( )
A．5
B．7
C．9
D．11
4.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为( )
A．2
B．2.5
C．3
D．4
6.【中考·河池】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( )
A．∠B＝∠F
B．∠B＝∠BCF
C．AC＝CF
D．AD＝CF
7.如图，直线l1∥l2，点A，B固定在直线l2上，点C是直线l1上一动点，若点E，F分别为CA，CB的中点，对于下列各值：①线段EF的长；②△CEF的周长；③△CEF的面积；④∠ECF的度数，其中不随点C的移动而改变的是( )
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
8.如图，在△ABC(纸片)中，AB＝BC>AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则下列结论成立的有( )
①△BDF是等腰直角三角形；
②∠DFE＝∠CFE；
③DE是△ABC的中位线；
④BF＋CE＝DF＋DE.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9.【中考·苏州】如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF＝2CD，连接DF.若AB＝8，则DF的长为( )
A．3
B．4
C．2
D．3
10.【中考·营口】如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是(
)
A．∠ECD＝112.5°
B．DE平分∠FDC
C．∠DEC＝30°
D．AB＝CD
11.如图，在?ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为_______．
12.如图，在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件________，使△BED与△FDE全等．
13.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为________．
14.【中考·泰州】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D＝α，则∠BEF的度数为_____．(用含α的式子表示)
15.如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求BE的长．
16.如图，E为?ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
17.如图，等边三角形ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DE，CD和EF.
求证：DE＝CF；
(2)求EF的长；
(3)求四边形DEFC的面积．
18.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，与BA，CD的延长线分别交于点M，N.
求证：∠BME＝∠CNE；
(2)如图②，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G.若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求EF的长．
19.(1)如图①，已知BD，CE是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F，G，连接FG，延长AF，AG，分别与直线BC相交于点M，N，求证：FG＝(AB＋BC＋AC)；
(2)若BD，CE是△ABC的内角平分线，(1)中的其余条件不变(如图②)，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
20.(1)如图，已知△ABC，连接△ABC三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，…，以此类推，若第1个三角形ABC的周长C1＝1，则
第2个三角形的周长C2＝______；
第3个三角形的周长C3＝________；…；
第2
021个三角形的周长C2
021＝_______；…；
第n个三角形的周长Cn＝_______．
(2)如图，在图①中，互不重叠的三角形共有4个，在图②中，互不重叠的三角形共有7个，在图③中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在图中，互不重叠的三角形共有多少个(用含k的代数式表示)?2.4三角形的中位线
1.关于三角形的中位线，下列叙述不正确的是( A )
A．三角形的中位线等于边长的一半
B．三角形的中位线平行于第三边
C．经过三角形一边的中点，平行于另一边的直线，必然平分第三边
D．三角形的三条中位线构成的三角形的周长等于原三角形的一半
2.【中考·盐城】如图，点D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点，AC＝3，则DE的长为( D )
A．2
B．
C．3
D．
3.【中考·梧州】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是( B )
A．5
B．7
C．9
D．11
4.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为( B )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
【点拨】∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，
同理得EF∥AB，∴∠ADE＝∠B，∠B＝∠EFC，
∴∠EFC＝∠ADE＝65°.
【答案】B
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为( B )
A．2
B．2.5
C．3
D．4
【点拨】在Rt△ABC中，
AC＝8，BC＝6，根据勾股定理，得AB＝＝10.∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD＝AB＝5.∵BE＝BC，F为DE的中点，
∴BF为△CDE的中位线，∴BF＝CD＝×5＝2.5.
【答案】B
6.【中考·河池】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( B )
A．∠B＝∠F
B．∠B＝∠BCF
C．AC＝CF
D．AD＝CF
7.如图，直线l1∥l2，点A，B固定在直线l2上，点C是直线l1上一动点，若点E，F分别为CA，CB的中点，对于下列各值：①线段EF的长；②△CEF的周长；③△CEF的面积；④∠ECF的度数，其中不随点C的移动而改变的是( B )
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
【点拨】由题意知AB的长为定值，C到AB的距离为定值，根据三角形的中位线的性质与平行线的性质即可判断①③正确，易得出CA＋CB不断发生变化、∠ACB的度数不断发生变化，即可判断②④错误．【答案】B
8.如图，在△ABC(纸片)中，AB＝BC>AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则下列结论成立的有( B )
①△BDF是等腰直角三角形；
②∠DFE＝∠CFE；
③DE是△ABC的中位线；
④BF＋CE＝DF＋DE.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】由题意知AB的长为定值，C到AB的距离为定值，根据三角形的中位线的性质与平行线的性质即可判断①③正确，易得出CA＋CB不断发生变化、∠ACB的度数不断发生变化，即可判断②④错误．【答案】B
9.【中考·苏州】如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF＝2CD，连接DF.若AB＝8，则DF的长为( B )
A．3
B．4
C．2
D．3
【点拨】如图，取BC的中点G，连接EG.
∵E是AC的中点，G是BC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG＝AB＝×8＝4.
设CD＝x，则EF＝BC＝2x，∴BG＝CG＝x，∴EF＝2x＝DG，
∵EF∥GD，∴四边形EGDF是平行四边形，∴DF＝EG＝4.
【答案】B
10.【中考·营口】如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是(
D
)
A．∠ECD＝112.5°
B．DE平分∠FDC
C．∠DEC＝30°
D．AB＝CD
【点拨】由AB＝AC，∠CAB＝45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B＝∠ACB＝67.5°.在Rt△ADC中，∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD＝45°，那么AD＝DC，∠ECD＝∠ACB＋∠ACD＝112.5°，从而判断A正确；根据三角形的中位线定理得到FE＝AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC＝∠BAC＝45°，∠FEC＝∠B＝67.5°，根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD＝AC，DF⊥AC，∠FDC
＝45°，等量代换得到FE＝FD，再求出∠FDE＝∠FED＝22.5°，所以∠CDE＝22.5°＝∠FDE，进而判断B正确；由∠FEC＝∠B＝67.5°，∠FED＝22.5°，求出∠DEC＝∠FEC－∠FED＝45°，从而判断C错误；
在等腰直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AC＝CD，又AB＝AC，等量代换得到AB＝CD，从而判断D正确．
11.如图，在?ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为___8_____．
12.如图，在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件_____点D是BC的中点________，使△BED与△FDE全等．
13.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为___16_____．
【点拨】易知△BAD的周长是△BEO的周长的2倍，且△BCD的周长与△BAD的周长相等，∴△BCD的周长为8×2＝16.
14.【中考·泰州】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D＝α，则∠BEF的度数为___270°－3α____．(用含α的式子表示)
【点拨】∵∠ACD＝90°，∠D＝α，∴∠DAC＝90°－α，
∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC＝90°－α.
∵∠ABC＝90°，E为AC的中点，∴BE＝AE，
∴∠EAB＝∠EBA＝90°－α，∴∠CEB＝180°－2α.
∵E，F分别为AC，CD的中点，∴EF∥AD，∴∠FEC＝∠DAC＝90°－α，∴∠BEF＝∠CEB＋∠FEC＝270°－3α.
【答案】270°－3α
15.如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求BE的长．
(1)证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB.
∴四边形BEFD是平行四边形．
(2)解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，
∴DF＝AB＝3.
∵四边形BEFD是平行四边形，
∴BE＝DF＝3.
16.如图，E为?ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
解：AB∥OF，OF＝AB.
证明：如图，连接BE，∵四边形ABCD
是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝DC，AB∥DE.
又∵CE＝DC，∴AB＝CE.∴四边形ABEC是平行四边形．
∴BF＝CF.又∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线．
∴AB∥OF，OF＝AB.
17.如图，等边三角形ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DE，CD和EF.
求证：DE＝CF；
(2)求EF的长；
(3)求四边形DEFC的面积．
(1)证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．∴DE＝BC.
又∵CF＝BC，∴DE＝CF.
(2)解：由(1)知DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，∵F在BC的延长线上，∴DE∥CF.
又∵DE＝CF，∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CD＝EF.
在等边三角形ABC中，AB＝BC＝2，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，BD＝AB＝1.∴CD＝＝.∴EF＝.
(3)解：过点D作DH⊥BC于H，
∵S△BDC＝BD·CD＝BC·DH，即×1×＝×2×DH，∴DH＝.
∵CF＝DE＝BC＝1，
∴S四边形DEFC＝CF·DH＝.
18.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，与BA，CD的延长线分别交于点M，N.
求证：∠BME＝∠CNE；
(2)如图②，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G.若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求EF的长．
【点拨】当题目中出现线段的中点时，可考虑构造中位线，利用三角形的中位线定理解决问题．
(1)证明：如图①，连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH.
∵E，H分别是AD，BD的中点，∴EH∥AB，EH＝AB，
∴∠BME＝∠HEF.∵F，H分别是BC，BD的中点，
∴FH∥CD，FH＝CD，∴∠CNE＝∠HFE.
∵AB＝CD，∴EH＝FH，
∴∠HEF＝∠HFE，∴∠BME＝∠CNE.
(2)解：如图②，连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH.
∵E，H，F分别是AD，BD，BC的中点，
∴EH＝AB，FH＝CD，FH∥AC，∴∠HFE＝∠FEC＝45°.
∵AB＝CD＝2，∴FH＝EH＝1，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴∠EHF＝180°－∠HFE－∠HEF＝90°.
∴EF＝＝.
19.(1)如图①，已知BD，CE是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F，G，连接FG，延长AF，AG，分别与直线BC相交于点M，N，求证：FG＝(AB＋BC＋AC)；
(2)若BD，CE是△ABC的内角平分线，(1)中的其余条件不变(如图②)，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
(1)证明：∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，∴MB＝AB，
∴AF＝MF.
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG是△AMN的中位线，
∴FG＝MN＝(MB＋BC＋CN)＝(AB＋BC＋AC)．
(2)解：猜想：FG＝(AB＋AC－BC)．
证明：∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，∴MB＝AB，∴AF＝MF.
同理：CN＝AC，AG＝NG，∴FG是△AMN的中位线，
∴FG＝MN，即MN＝2FG.∴BC＝MB＋CN－MN＝AB＋AC－2FG，∴FG＝(AB＋AC－BC)．
20.(1)如图，已知△ABC，连接△ABC三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，…，以此类推，若第1个三角形ABC的周长C1＝1，则
第2个三角形的周长C2＝________；
第3个三角形的周长C3＝________；…；
第2
021个三角形的周长C2
021＝_______；…；
第n个三角形的周长Cn＝_______．
(2)如图，在图①中，互不重叠的三角形共有4个，在图②中，互不重叠的三角形共有7个，在图③中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在图中，互不重叠的三角形共有多少个(用含k的代数式表示)?
【点拨】根据三角形的中位线定理，得每一个三角形的边长是前一个三角形边长的，∴第2个三角形的周长C2是第1个三角形ABC的周长的，即C2＝；第3个三角形的周长C3是第2个三角形周长的，即C3＝；…；C2
021＝；…；Cn＝.
【答案】；；；
(2)解：图①中互不重叠的三角形共有4个，
图②中互不重叠的三角形共有7＝4＋3(个)，
图③中互不重叠的三角形共有10＝4＋3×2(个)，…，
按此规律可知图中互不重叠的三角形共有
4＋3(k－1)＝3k＋1(个)．2.5.2矩形的判定
1.已知平行四边形ABCD，下列条件，不能判定这个平行四边形为矩形的是( B )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件，不能判定□ABCD为矩形的是( C )
A．AC＝BD
B．AB＝6，BC＝8，AC＝10
C．AC⊥BD
D．∠1＝∠2
3.平行四边形的四个内角的平分线相交所构成的四边形一定是( D )
A．一般平行四边形
B．一般四边形
C．对角线垂直的四边形
D．矩形
4.对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( B )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
5.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使?ABCD为矩形，则OB的长度为( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
【点拨】要使?ABCD是矩形，
则OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝3.
6.如图，在?ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( B )
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
7.在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的是( B )
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；
③AC⊥BD；④AC＝BD．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
【点拨】?ABCD的面积最大时，AB⊥BC，即?ABCD是矩形，根据矩形的性质判断．
8.在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD
D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
【点拨】∵∠B＋∠C＝180°，∴AB∥DC，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＋∠A＝180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
而由AC⊥BD，即对角线互相垂直不能判定?ABCD是矩形．
【答案】C
9.在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形？( C )
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
【点拨】此题易因对矩形的判定方法理解错误而出错．在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等或另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形，再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形．
【答案】C
10.如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB的平分线和△ABC的外角的平分线分别交直线DE于点G和点H，连接BG，BH.则下列结论错误的是( C )
A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形
B．若BE＝CE，则四边形BHCG为矩形
C．若HE＝CE，则四边形BHCG为矩形
D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5
【点拨】∵∠ACB的平分线和△ABC的外角的平分线分别交直线DE于点G和点H，∴∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG.
∵DE∥AC，∴∠ACG＝∠HGC＝∠ECG.∴EC＝EG.
同理可得HE＝EC，∴HE＝EC＝EG＝HG.
若CH∥BG，易知∠HCG＝∠BGC＝90°，
易知∠EGB＝∠EBG，∴BE＝EG，∴BE＝EG＝HE＝EC，
∴四边形CHBG是平行四边形．
∵∠HCG＝90°，∴四边形CHBG是矩形，故A正确；
若BE＝CE，∴BE＝CE＝HE＝EG，
∴四边形CHBG是平行四边形．
∵∠HCG＝90°，∴四边形CHBG是矩形，故B正确；
若HE＝EC，无法判定四边形BHCG为矩形，故C错误；
若CH＝3，CG＝4，根据勾股定理可得HG＝5，∴CE＝2.5，故D正确．【答案】C
11.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件
AC＝BD(答案不唯一)
，使得□ABCD是矩形.
12.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则EH＝
5
.
13.在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AC＝12，BD＝9，则四边形ABCD各边中点连线构成的四边形的面积是___27_____．
14.如图，在矩形ABCD中，BC＝20
cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3
cm/s和1
cm/s，则最快____5____s后，四边形ABPQ为矩形．
【点拨】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20
cm.
设最快x
s后，四边形ABPQ为矩形，
∵四边形ABPQ是矩形，∴AQ＝BP.
∴3x＝20－x，∴x＝5.
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．
【点拨】连接AD.∵∠BAC＝90°，BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5.∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°.∴四边形AMDN是矩形．
∴MN＝AD.当AD⊥BC时，AD的值最小．
此时△ABC的面积＝AB·AC＝BC·AD，
∴AD＝＝.∴MN的最小值为.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE，DF是△ABC的中位线，连接EF，CD．
求证：EF＝CD．
证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，∴?DECF是矩形，∴EF＝CD.
17.如图，AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：连接EO.
∵O是AC，BD的中点，∴OA＝OC，OB＝OD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠AEC＝∠BED＝90°，
∴OE＝AC，OE＝BD.
∴BD＝AC.∴?ABCD是矩形.
18.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.
(1)证明：∵AB∥DC，FC＝AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形．
(2)：∵四边形ABCF是矩形，
∴∠AFC＝∠AFD＝90°.
∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.
∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠DAF＝∠CGF.
又∵∠EGA＝∠CGF，∴∠DAF＝∠EGA.
∴EA＝EG.
19.如图，已知点E是□ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；
(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE＝∠ECF，
又∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE(ASA)；
∴AE＝EF，AB＝CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵∠AEC＝2∠ABC＝∠ABC＋∠BAE，
∴∠ABC＝∠BAE，∴AE＝BE.
∵AE＝EF，BE＝CE，∴AF＝BC.
∴平行四边形ABFC是矩形．
(2)：∵△AFD是等边三角形，
∴∠AFC＝60°，AF＝DF＝4，∴CF＝CD＝2，
∵四边形ABFC是矩形，∴∠ACF＝90°，
∴AC＝＝2，
∴四边形ABFC的面积＝AC·CF＝4.
20.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长
AE至G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形
EGCF
是矩形？请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(
SAS)；
(2)解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．
理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，∴同理，CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．
21.如图，在矩形ABCD中，AB＝4
cm，AD＝12
cm；P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4
cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，两点同时出发，待P点到达D点为止，求经过多长时间四边形ABQP为矩形？
解：∵在矩形ABCD中，AD＝12
cm，
∴AD＝BC＝12
cm.
当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ.
①当0＜t＜3时，t＝12－4t，
解得t＝；
②当3≤t＜6时，t＝4t－12，
解得t＝4；
③当6≤t＜9时，t＝36－4t，
解得t＝；
④当9≤t≤12时，t＝4t－36，
解得t＝12.
综上所述，当t为s或4s或
s或12
s时，
四边形ABQP为矩形．
22.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，分别连接DE、EG、GF、FD.
(1)求证：GF∥DE；
(2)若AC＝BC，求证：四边形EDFG是矩形．
(1)证明：∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB且DE＝AB.
∵点F、G分别是BO、AO的中点，
∴FG是△OAB的中位线，
∴FG∥AB且FG＝AB.∴GF∥DE.
(2)：由(1)GF∥DE，GF＝DE，
∴四边形EDFG是平行四边形．
∵AD、BE是BC、AC上的中线，
∴CD＝BC，CE＝AC.
又∵AC＝BC，∴CD＝CE.
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE.
∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠DAB＝∠EBA，
∴OB＝OA.∵点F、G分别是OB、AO的中点，
∴BF＝OB，AG＝OA，∴BF＝AG，
∵BE＝AD，∴EF＝DG，∴四边形EDFG是矩形．
23.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，∠ACD的平分线于点E，F.
(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(2)连接AE，AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
(1)解：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.
∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.
∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°，
∴∠OCE＋∠OCF＝90°，即∠ECF＝90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，
EF2＝CE2＋CF2，∴EF＝＝10，
∴OC＝OE＝EF＝5.
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当点O为AC的中点时，有AO＝CO，由(1)知EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．
24.【中考·连云港】如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
求证：△OEC为等腰三角形；
(2)连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩形？并说明理由．
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵△ABC经过平移得到△DEF，∴AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC，
即△OEC为等腰三角形．
(2)解：如图，当点E为BC的中点时，四边形AECD是矩形．
理由：∵AB＝AC，点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE＝EC.
∵△ABC经过平移得到△DEF，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形．
∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．
25.如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF.请回答下列问题：
四边形ADEF是什么四边形？并说明理由．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
(1)解：四边形ADEF是平行四边形．理由如下：
∵△ABD，△BEC都是等边三角形，∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA.
∴∠DBE＝∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE＝AC.
∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF.∴DE＝AF.
同理可得△ABC≌△FEC，∴EF＝BA＝DA.
∵DE＝AF，DA＝EF，∴四边形ADEF为平行四边形．
(2)【点拨】第(2)问利用逆向思维法来解，即由四边形ADEF是矩形来推断△ABC应满足的条件，利用周角的定义来探究∠BAC的度数即可．
解:若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°.
∵∠DAB＝∠FAC＝60°，
∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝360°－60°－60°－90°＝150°.
∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．
