一元二次方程复习导航
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该章是初中数学中十分重要的一个内容，它是一元一次方程应用的继续，又是函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型，是各地中考基本题、中档题和高分题命题的一个热点题源．主要内容包括：一元二次方程及其解法（开平方法、配方法、公式法、因式分解法），运用一元二次方程分析和解决实际问题。近年新出现的需要借助一元二次方程知识解决的，与市场经济、社会重大问题等有关的新颖情境问题层出不穷，已成为中考命题的新方向．
一、思想方法
1.方程思想：是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系，通过适当方程表现出来，然后通过解方程使问题得到解决的思维方式。方程思想是本章中主要的数学思想，主要体现在列方程解应用题，及利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程中的待定系数等方面。
2.转化思想：是指从未知领域发展，通过数学元素之间的联系向已知领域转化，从中找出它们之间的本质联系，解决问题的一种思想方法。利用转化思想可以将复杂问题转化为简单问题，将生疏问题转化为熟悉的问题而加以解决。如在用因式分解法解一元二次方程时，通过将方程的一边进行因式分解，达到将一元二次方程转化为我们所熟悉的一元一次方程来解决的目的。
3．换元思想：是初中数学中的一种重要思想，它在解一元二次方程或分式方程中有着广泛的应用，合理地采用换元法解题，可以把复杂的方程转化为比较简单的方程，从而更为快速地求解。
4．分类讨论思想：对于含有参数的一元二次方程，往往要对系数进行分类讨论来确定方程的性质。如对方程，当时，它是一元二次方程；当时，它是一元一次方程；当m=1时，它是一个恒等式。
二、要点精析：
1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）方程两边都必须是关于未知数x的整式方程；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2.
2.一元二次方程的一般形式及一元二次方程的解
（1）一元二次方程的一般形式是，期中叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫做常数项。需要注意的是在这个一般形式中b,c可以是任意实数，而只能是不为零实数，反之，如已知方程是一元二次方程，则已经隐含了这个条件。
（2）一元二次方程的解：使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。一元二次方程要么有两个解（两个不等的实数解或两个相等的实数解），要么没有实数解。
3.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：即利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法。直接开平方法适用于解形如：形式的方程，如果，就可以利用直接开平方法来求解。
（2）配方法：即首先利用恒等变形，把左边配成一个含有未知数的完全平方式的形式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负常数，就可以利用开平方法解方程的方法。
配方法的一般步骤：①将方程化为一般形式；②方程的两边同除以二次项的系数，把二次项的系数化为1；③移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；④配方：在方程的左右两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方式；⑤用直接开平方法解变形后的方程（如果右边是个负数，则指出原方程无解）。
（3）公式法：即利用求根公式求解。
一般步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③若，则用公式求解；若，则方程吴实数根。
（4）因式分解法：即利用因式分解的手段，求出方程解的方法。
一般步骤：①移项，使方程的右边为零；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③分别令两个因式为零，得到两个一次方程；④解这两个一次方程，得到方程的解。
4.一元二次方程根的判别式：即
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根。
利用一元二次方程根的判别式可以不解方程，就直接判断方程根的情况；或根据根的情况，确定方程中的待定系数；也可以用来证明方程根的情况。
5.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程的两个根为，则有，。特别地，若对于二次项系数为1的一元二次方程：，则有，。需要注意的是，研究一元二次方程根与系数的关系的前提是，所以在利用一元二次方程根与系数关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件。
6.列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，其解题的一般步骤同列一元一次方程解应用题的一般步骤，解题的关键是准确寻找到等量关系。
列一元二次方程解应用题需要注意以下三点：（1）认真审题，理解题意。审题是列方程的基础，只有在透彻理解题意的基础上，分清已知条件和所求的量，弄清量与量之间的关系，才能准确找出相等关系，列出方程。（2）对于一些简单的问题，我们可以直接设未知数，列出方程；而对于有些直接设未知数比较困难或列出的方程比较复杂的，可以考虑间接设未知数，然后再求出我们所要求解的量。（3）对于求解出的量，必须要检验是否符合题目的要求或客观实际，不适合的解要舍去。
三、考点例析
1.一元二次方程的概念
例1 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：要判断一个方程是否为一元二次方程，要根据一元二次方程必须同时满足的三个条件来加以判断。A选项由于没有确定的取值，所以当时，就不是关于x的一元二次方程，选项B化为一般形式后，没有二次项，所以也不是一元二次方程，选项C不是关于x的整式方程，所以只有选项D同时满足三个条件，是一元二次方程，故答案为选项D。
例2 已知方程是关于x的一元二次方程，则m=___。
解析：根据一元二次方程的概念可知且，所以。
2．一元二次方程解的应用
例3 已知m是方程的一个根，则代数式的值为__________。
解析：因为m是方程的一个根，所以，即，所以。
3.配方法的应用
例4 说明关于x的方程不论m取何值，此方程一定是关于x的一元二次方程。
解析：要说明不论m取何值，此方程一定是关于x的一元二次方程，只需证明即可。因为，而，所以，所以不论m取何值，此方程一定是关于x的一元二次方程。
4.一元二次方程的解法
例5 解方程：
分析：因含有一次项，所以不适合用开平方法求解，若将方程化为一般形式，则过程比较复杂。仔细观察方程发现只有两大项，且有相同的因式，故可以考虑通过因式分解法来求解最为合适。
解：
提取公因式，得，
所以，解得。
温馨提示：当方程左边能够进行因式分解,而右边等于零时，通常使用因式分解法求解最为适宜，但需要注意的是方程在求解过程中不能约去某一代数式，否则会造成漏解。
5.一元二次方程根的判别式的应用
例6 一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。
解：因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以且， 即，所以的取值范围为且。
6.一元二次方程根与系数关系的应用
例7 已知方程的两根、是直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的面积及斜边上的高.
解：
所以，即该直角三角形的面积为（或表示为2.25）；
斜边=
7.一元二次方程的应用
例8 某单位于“三 八”妇女节期间组织女职工到颍上县“八里河”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：
邻队：组团去“八里河”旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
邻队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．
该单位按旅行社的收费标准组团浏览“八里河”结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到“八里河”观光旅游的共有多少人？
解析：设该单位这次参加旅游的共有人．
因为，所以该单位这次到“八里河”观光旅游的人数多于25人．
则依题意，课得，整理，得．
解得，．
当时，，符合题意．
当时，，不符合题意，所以应该舍去．所以方程的解为．即该单位这次参加旅游的共有30人．
四、错题剖析
1.错用等式性质导致漏解
例9 解方程
错解：方程两边同时除以得，3x=6，∴x=2。
剖析：等式两边同除以一个非零的数或代数式，等式仍然成立。在不知是否为零的情况下，方程两边同除以，破坏了方程的同解性，遗失了一个根：。
正解：原方程可化为：，
提取公因式，得
∴，
∴.
2．开平方法运用有误导致漏解
例10 解方程.
错解：原方程可化为：,
两边开平方，得
∴.
剖析：在开平方时，由于只取了一个正解，从而造成了方程漏解。
正解：原方程可化为：,
两边开平方，得
∴
∴.
3．因式分解法理解有误而出错
例11 解方程。
错解：∵，
∴，
∴。
剖析：两个数的积为3，这两个数不一定就分别是3和1，因此上面的解法是错误的，应把方程化为一般形式再解。
正解：原方程可化为：，
∴，
∴。
4．对方程的根表示不当而出错
例12 解方程。
错解：原方程可化为：,
两边开平方，得
∴.
剖析：一元二次方程如果有实数根的话，则必定是两个，故解得的结果不能表示成。
正解：原方程可化为：,
两边开平方，得
∴.
该章是初中数学中十分重要的一个内容，它是一元一次方程应用的继续，又是函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型，是各地中考基本题、中档题和高分题命题的一个热点题源．主要内容包括：一元二次方程及其解法（开平方法、配方法、公式法、因式分解法），运用一元二次方程分析和解决实际问题。近年新出现的需要借助一元二次方程知识解决的，与市场经济、社会重大问题等有关的新颖情境问题层出不穷，已成为中考命题的新方向．
一、思想方法
1.方程思想：是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系，通过适当方程表现出来，然后通过解方程使问题得到解决的思维方式。方程思想是本章中主要的数学思想，主要体现在列方程解应用题，及利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程中的待定系数等方面。
2.转化思想：是指从未知领域发展，通过数学元素之间的联系向已知领域转化，从中找出它们之间的本质联系，解决问题的一种思想方法。利用转化思想可以将复杂问题转化为简单问题，将生疏问题转化为熟悉的问题而加以解决。如在用因式分解法解一元二次方程时，通过将方程的一边进行因式分解，达到将一元二次方程转化为我们所熟悉的一元一次方程来解决的目的。
3．换元思想：是初中数学中的一种重要思想，它在解一元二次方程或分式方程中有着广泛的应用，合理地采用换元法解题，可以把复杂的方程转化为比较简单的方程，从而更为快速地求解。
4．分类讨论思想：对于含有参数的一元二次方程，往往要对系数进行分类讨论来确定方程的性质。如对方程，当时，它是一元二次方程；当时，它是一元一次方程；当m=1时，它是一个恒等式。
二、要点精析：
1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）方程两边都必须是关于未知数x的整式方程；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2.
2.一元二次方程的一般形式及一元二次方程的解
（1）一元二次方程的一般形式是，期中叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫做常数项。需要注意的是在这个一般形式中b,c可以是任意实数，而只能是不为零实数，反之，如已知方程是一元二次方程，则已经隐含了这个条件。
（2）一元二次方程的解：使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。一元二次方程要么有两个解（两个不等的实数解或两个相等的实数解），要么没有实数解。
3.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：即利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法。直接开平方法适用于解形如：形式的方程，如果，就可以利用直接开平方法来求解。
（2）配方法：即首先利用恒等变形，把左边配成一个含有未知数的完全平方式的形式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负常数，就可以利用开平方法解方程的方法。
配方法的一般步骤：①将方程化为一般形式；②方程的两边同除以二次项的系数，把二次项的系数化为1；③移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；④配方：在方程的左右两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方式；⑤用直接开平方法解变形后的方程（如果右边是个负数，则指出原方程无解）。
（3）公式法：即利用求根公式求解。
一般步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③若，则用公式求解；若，则方程吴实数根。
（4）因式分解法：即利用因式分解的手段，求出方程解的方法。
一般步骤：①移项，使方程的右边为零；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③分别令两个因式为零，得到两个一次方程；④解这两个一次方程，得到方程的解。
4.一元二次方程根的判别式：即
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根。
利用一元二次方程根的判别式可以不解方程，就直接判断方程根的情况；或根据根的情况，确定方程中的待定系数；也可以用来证明方程根的情况。
5.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程的两个根为，则有，。特别地，若对于二次项系数为1的一元二次方程：，则有，。需要注意的是，研究一元二次方程根与系数的关系的前提是，所以在利用一元二次方程根与系数关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件。
6.列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，其解题的一般步骤同列一元一次方程解应用题的一般步骤，解题的关键是准确寻找到等量关系。
列一元二次方程解应用题需要注意以下三点：（1）认真审题，理解题意。审题是列方程的基础，只有在透彻理解题意的基础上，分清已知条件和所求的量，弄清量与量之间的关系，才能准确找出相等关系，列出方程。（2）对于一些简单的问题，我们可以直接设未知数，列出方程；而对于有些直接设未知数比较困难或列出的方程比较复杂的，可以考虑间接设未知数，然后再求出我们所要求解的量。（3）对于求解出的量，必须要检验是否符合题目的要求或客观实际，不适合的解要舍去。
三、考点例析
1.一元二次方程的概念
例1 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：要判断一个方程是否为一元二次方程，要根据一元二次方程必须同时满足的三个条件来加以判断。A选项由于没有确定的取值，所以当时，就不是关于x的一元二次方程，选项B化为一般形式后，没有二次项，所以也不是一元二次方程，选项C不是关于x的整式方程，所以只有选项D同时满足三个条件，是一元二次方程，故答案为选项D。
例2 已知方程是关于x的一元二次方程，则m=___。
解析：根据一元二次方程的概念可知且，所以。
2．一元二次方程解的应用
例3 已知m是方程的一个根，则代数式的值为__________。
解析：因为m是方程的一个根，所以，即，所以。
3.配方法的应用
例4 说明关于x的方程不论m取何值，此方程一定是关于x的一元二次方程。
解析：要说明不论m取何值，此方程一定是关于x的一元二次方程，只需证明即可。因为，而，所以，所以不论m取何值，此方程一定是关于x的一元二次方程。
4.一元二次方程的解法
例5 解方程：
分析：因含有一次项，所以不适合用开平方法求解，若将方程化为一般形式，则过程比较复杂。仔细观察方程发现只有两大项，且有相同的因式，故可以考虑通过因式分解法来求解最为合适。
解：
提取公因式，得，
所以，解得。
温馨提示：当方程左边能够进行因式分解,而右边等于零时，通常使用因式分解法求解最为适宜，但需要注意的是方程在求解过程中不能约去某一代数式，否则会造成漏解。
5.一元二次方程根的判别式的应用
例6 一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。
解：因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以且， 即，所以的取值范围为且。
6.一元二次方程根与系数关系的应用
例7 已知方程的两根、是直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的面积及斜边上的高.
解：
所以，即该直角三角形的面积为（或表示为2.25）；
斜边=
7.一元二次方程的应用
例8 某单位于“三 八”妇女节期间组织女职工到颍上县“八里河”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：
邻队：组团去“八里河”旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
邻队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．
该单位按旅行社的收费标准组团浏览“八里河”结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到“八里河”观光旅游的共有多少人？
解析：设该单位这次参加旅游的共有人．
因为，所以该单位这次到“八里河”观光旅游的人数多于25人．
则依题意，课得，整理，得．
解得，．
当时，，符合题意．
当时，，不符合题意，所以应该舍去．所以方程的解为．即该单位这次参加旅游的共有30人．
四、错题剖析
1.错用等式性质导致漏解
例9 解方程
错解：方程两边同时除以得，3x=6，∴x=2。
剖析：等式两边同除以一个非零的数或代数式，等式仍然成立。在不知是否为零的情况下，方程两边同除以，破坏了方程的同解性，遗失了一个根：。
正解：原方程可化为：，
提取公因式，得
∴，
∴.
2．开平方法运用有误导致漏解
例10 解方程.
错解：原方程可化为：,
两边开平方，得
∴.
剖析：在开平方时，由于只取了一个正解，从而造成了方程漏解。
正解：原方程可化为：,
两边开平方，得
∴
∴.
3．因式分解法理解有误而出错
例11 解方程。
错解：∵，
∴，
∴。
剖析：两个数的积为3，这两个数不一定就分别是3和1，因此上面的解法是错误的，应把方程化为一般形式再解。
正解：原方程可化为：，
∴，
∴。
4．对方程的根表示不当而出错
例12 解方程。
错解：原方程可化为：,
两边开平方，得
∴.
剖析：一元二次方程如果有实数根的话，则必定是两个，故解得的结果不能表示成。
正解：原方程可化为：,
两边开平方，得
∴.