第三章
不等式
3.1 不等关系与不等式
第1课时 不等关系与比较大小
学习目标
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.(数学抽象、数学建模)2.能用不等式表示不等关系.(数学抽象、数学建模)3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差法比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算、数学建模)
【必备知识·自主学习】
导思
1.我们学过的不等号有哪些?什么是不等式?2.初中学过在数轴上表示大小,那两个实数比较大小还有别的方法吗?
1.不等式的相关概念
(1)不等号:<,≤,>,≥,≠;
(2)不等式:由不等号表示的关系式.
(1)“≤”的含义是什么?
提示:<或=.
(2)不等式a≥b和a≤b有怎样的含义?
提示:①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.
②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是a
2.实数a,b大小的比较
如果a-b是正数,那么a>b
a-b>0?a>b
如果a-b等于零,那么a=b
a-b=0?a=b
如果a-b是负数,那么aa-b<0?a 怎样证明a>b?
提示:证明a-b是正数,即a-b>0.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)不等关系“不大于3”用不等式表示为x<3.
( )
(2)不等式5≥5不成立.
( )
(3)若>1,则a>b.
( )
提示:(1)×.用不等式表示为x≤3.
(2)×.不等式5≥5表示5=5或5>5,因为5=5成立,所以不等式5≥5成立.
(3)×.如=2>1,但是-2<-1.
2.(教材二次开发:习题改编)大桥桥头竖立的“限重60吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足关系为
( )
A.T<60
B.T>60
C.T≤60
D.T≥60
【解析】选C.“限重60吨”即为T≤60.
3.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为 .?
【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),而x<1,
所以x-2<0,x-1<0,所以x2+2-3x>0,所以x2+2>3x.
答案:x2+2>3x
【关键能力·合作学习】
类型一 利用不等式表示不等关系(数学抽象、数学建模)
1.限速40
km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,使汽车速度v不超过40
km/h,用不等关系表示速度的限制为 .?
2.某工厂8月份的产量比9月份的产量少;甲物体比乙物体重;A容器不小于B容器的容积,若前一个量用a表示,后一个量用b表示,则上述事实可表示为 ; ; .?
3.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来.
【解题指南】抓住题干中的关键词,如:不超过、不小于等写出不等式.
【解析】1.“不超过”即“小于或等于”,所以v≤40
km/h
.
答案:v≤40
km/h
2.注意理解题目中的关键词语,并转化为不等关系,8月份的产量比9月份的产量少可表示为ab;A容器不小于B容器的容积可表示a≥b.
答案:ab a≥b
3.图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.
设图(1)面积为S1,则S1=+,图(2)面积为S2,则S2=ab,所以a2+b2>ab.
1.将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言
大于,高于,超过
小于,低于,少于
大于等于,至少,不低于
小于等于,至多,不超过
符号语言
>
<
≥
≤
【补偿训练】
1.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再加入m克糖(m>0),搅拌糖融化后,糖水更甜了,将这个事实用一个不等式表示为 .?
【解析】因为b克糖水中含a克糖(00)克糖,则此时的“甜度”是,又因为糖水会更甜,所以<.
答案:<
2.一辆汽车原来每小时行驶x
km,如果这辆汽车每小时行驶的路程比原来多20
km,那么在4天内它的行程就超过2
200
km,写成不等式为 ;如果它每小时行驶的路程比原来少12
km,那么它原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间,用不等式表示为 .?
【解析】①原来每小时行驶x
km,现在每小时行驶(x+20)km.则不等关系“在4天内它的行程就超过2
200
km”,写成不等式为4×24×(x+20)>2
200,即96(x+20)>2
200.
②原来每小时行驶x
km,现在每小时行驶(x-12)km,
则不等关系“原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间”,写成不等式为8x>9(x-12).
答案:96(x+20)>2
200 8x>9(x-12)
类型二 用不等式组表示不等关系(数学抽象、数学建模)
【典例】某矿山车队有4辆载重为10
t的甲型卡车和7辆载重为6
t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360
t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.
【思路导引】①甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数;
②车队每天至少要运360
t矿石;
③甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆.
【解析】设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,
则即
用不等式组表示不等关系的三注意
(1)适用条件:当问题中同时满足几个不等关系时,应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,则选用几个字母分别表示这些变量即可.
(2)全:解决这类有多个不等关系的问题时,要注意根据题设将所有不等关系都找出来.
(3)读:若有表格、图象等,读懂表格、图象对解决这类问题很关键.
1.某校高一年级的213名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的x辆公共汽车.如果每辆车坐30人,则最后一辆车不空也不满.则题目中所包含的不等关系为 .?
【解析】根据题意得:
答案:
2.某家电生产企业计划在每周工时不超过40
h的情况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如表:
家电名称
空调
彩电
冰箱
工时/h
若每周生产空调x台、彩电y台,试写出满足题意的不等式组.
【解析】由题意,知x≥0,y≥0,
每周生产冰箱(120-x-y)台.
因为每周所用工时不超过40
h,
所以x+y+(120-x-y)≤40,即3x+y≤120.
又每周至少生产冰箱20台,
所以120-x-y≥20,即x+y≤100.
所以满足题意的不等式组为
【拓展延伸】列不等式组表示不等关系
(1)关注限制条件:实际应用问题中往往有2到3个限制条件,应先分析这些限制条件,并用不等式表示;
(2)关注变量范围:要根据实际问题的意义确定变量的范围,并在不等式组中表示出来.
【拓展训练】有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.
【解析】设宿舍x间,则学生(4x+19)人,依题意解得因为x∈N
,所以x=10,11或12,学生人数为:59,63,67.
故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人.
【补偿训练】
1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示为 .?
【解析】“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,所以
答案:
2.用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N
),已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个实例中提炼出一个不等式组为 .?
【解析】依题意得第二次钉子没有全部进入木板第三次全部进入木板所以(k∈N
).
答案:(k∈N
)
类型三 比较大小(逻辑推理、数学运算、数学建模)
角度1 作差法比较大小?
【典例】若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是
( )
A.f(x)B.f(x)=g(x)
C.f(x)>g(x)
D.随x值变化而变化
【思路导引】作差,根据差的正负判断.
【解析】选C.f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)
=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,
所以f(x)>g(x).
本例中若g(x)=3x2+x,试比较f(x)与g(x)的大小关系.
【解析】f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(3x2+x)
=-2x+1,当-2x+1>0,x<时,f(x)>g(x)
;
当-2x+1=0,x=时,f(x)=g(x);
当-2x+1<0,x>时,f(x) 角度2 作商法比较大小?
【典例】已知a>0,b>0且a≠b,
比较aabb与(ab的大小.
【思路导引】作商,利用指数运算的性质变形,判断商与1的关系.
【解析】因为a>0,b>0且a≠b,
所以==,
当
a>b>0时,>1,>0,>1,
此时aabb>(ab;
当
b>a>0时,<1,<0,>1,
此时aabb>(ab,综上所述aabb>(ab.
1.关于作差法比较大小
对差式的变形是判断差式正负的关键,常用的变形有配方、通分、因式分解、分母有理化等.
2.关于作商法比较大小
多用于指数式的比较,对商式一般利用指数的运算性质,通过约分、化同次等方法,比较与1的大小.
1.已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小.
【解析】因为-(a+b)
=-b+-a=+
=(a2-b2)=(a2-b2)
=,又因为a>0,b>0,a≠b,
所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0.
所以-(a+b)>0,所以+>a+b.
2.设a>0,b>0,且a≠b,试比较aabb,abba的大小.
【解析】因为=aa-b·bb-a=,
(1)若0故>1,
(2)若01,a-b>0;
故>1.
综上,aabb>abba.
【拓展延伸】
作差法比较大小的一般步骤
第一步:作差;
第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”;
第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论);
最后得结论.
概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.
【拓展训练】已知a,b为正实数,试比较+与+的大小.
【解题指南】注意结构特征,尝试用作差法或者作商法比较大小.
【解析】方法一:(作差法)-(+)=+=+==.
因为a,b为正实数,所以+>0,>0,
(-)2≥0,
所以≥0,
当且仅当a=b时等号成立.
所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).
方法二:(作商法)==
==
==1+≥1,当且仅当a=b时取等号.因为+>0,+>0,
所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).
方法三:(平方后作差)因为=++2,(+)2=a+b+2,
所以-(+)2=.
因为a>0,b>0,所以≥0,当且仅当a=b时取等号.
又+>0,+>0,故+≥+(当且仅当a=b时取等号).
【补偿训练】
(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小;
(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
【解析】(1)-=
==
=.
因为a>b>c>0,所以a-b>0,ab>0,a+b-c>0.
所以>0,即>.
(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.因为≥0,所以+≥>0,
所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,
所以2x2+5x+3>x2+4x+2.
【课堂检测·素养达标】
1.(教材二次开发:习题改编)已知a,b分别对应数轴上的A,B两点坐标,且A在原点右侧,B在原点的左侧,则下列不等式成立的是
( )
A.a-b≤0
B.a+b<0
C.|a|>|b|
D.a-b>0
【解析】选D.a>0,b<0,所以a-b>0.
2.已知a∈R,p=a2-4a+5,q=(a-2)2,则p与q的大小关系为
( )
A.p≤q
B.p≥q
C.pD.p>q
【解析】选D.p-q=a2-4a+5-(a-2)2=1>0,
所以p>q.
3.某地规定本地最低生活保障金x元不低于1
000元,则这种不等关系写成不等式为 .?
【解析】因为最低生活保障金x元不低于1
000元,所以x≥1
000.
答案:x≥1
000
4.某杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.根据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2
000本,若把提价后杂志的单价设为x元,表示销售的总收入不低于20万元的不等式为 .?
【解析】由题意,销售的总收入为x万元,所以“销售的总收入不低于20万元”用不等式可以表示为x≥20.
答案:x≥20
【新情境·新思维】
已知函数f(x)=x2+4x+c,则f(1),f(2),c三者之间的大小关系为 .?
【解析】f(1)=5+c,f(2)=12+c,则c答案:cPAGE第2课时 不等式的性质
学习目标
1.掌握不等式的性质及其成立的条件.(数学抽象、数学建模)2.能利用不等式的性质比较大小、证明不等式.(逻辑推理、数学运算)
【必备知识·自主学习】
导思
不等式有哪些性质?
不等式的性质
名称
式子表示
性质1
对称性
a>b?b性质2
传递性
a>b,b>c?a>c
性质3
可加性
a>b?a+c>b+c
性质4
可乘性
a>b,c>0?ac>bca>b,c<0?ac性质5
同向不等式可加
a>b,c>d?a+c>b+d
性质6
同向同正不等式可乘
?ac>bd
性质7
正数不等式乘方
a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1)
性质8
正数不等式开方
a>b>0?>(n∈N,n≥2)
若a,b∈R,a>b,那么a3>b3一定成立吗?
提示:一定成立,因为函数f(x)=x3在R上是增函数,所以a>b时,a3>b3.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)若a>b,则ac2>bc2.
( )
(2)若a>b,c>d,则ac>bd.
( )
(3)若a>b,则an>bn(n∈N,n≥1).
( )
提示:(1)×.当c=0时不成立.
(2)×.同向同正不等式可乘.
(3)×.当a>b>0时成立.
2.已知a>b,c>d,且cd≠0,则
( )
A.ad>bc
B.ac>bc
C.a-c>b-d
D.a+c>b+d
【解析】选D.a,b,c,d的符号未确定,排除A,B两项;同向不等式相减,结果未必是同向不等式,排除C项,故选D项.
3.(教材二次开发:习题改编)
若|a|<|b|,则 ?(n∈N且n>1).
【解析】因为|b|>|a|≥0,所以由不等式的性质可得<.
答案:<
【关键能力·合作学习】
类型一 利用不等式的性质判断不等式(逻辑推理、数学建模)
1.下列命题中,正确的是
( )
A.若a>b,c>d,则a>c
B.若ac>bc,则a>b
C.若<,则aD.若a>b,则|a|>|b|
2.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是
( )
A.<
B.a2>b2
C.>
D.a|c|>b|c|
3.若<<0,则下列不等式:①a+b|b|;③a【解析】1.选C.因为<,又c2>0,所以a2.选C.若a>b,且ab>0,则<,A中少条件ab>0,
故A不成立.若a>b>0,则a2>b2,B中少条件b>0,故B不成立.因为a>b,且>0,所以>,故C成立.D中少条件c≠0,故D不成立.
3.由<<0,得a<0,b<0,故a+b<0且ab>0,所以a+b,两边同乘|ab|,得|b|>|a|,故②错误;由①②知|b|>|a|,a<0,b<0,那么a>b,故③错误.
答案:1
运用不等式的性质判断真假的技巧
(1)首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质.
(2)解决有关不等式选择题时,也可采用特值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
【补偿训练】
1.若a( )
A.a2B.abC.<
D.ac>bc
【解析】选C.当ab2,故A错误,
当ab2,故B错误,
当a1,则<成立,
当c=0时,ac>bc不成立,故D错误.
2.设a>1>b>-1,b≠0,则下列不等式中恒成立的是
( )
A.<
B.>
C.a>b2
D.a2>2b
【解析】选C.当a=2,b=-时,满足条件.
但<不成立,故A错误;
当a>1>b>0时,<,故B错误;
因为1>b>-1,b≠0,所以0则a>b2,故C正确;
当a=1.1,b=0.9时,满足条件,但a2>2b不成立,故D错误.
类型二 利用不等式的性质证明不等式(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知c>a>b>0,求证:>.
四步
内容
理解题意
条件:c>a>b>0;结论:>.
思路探求
思路1:①如何证明可先证明哪一个不等式.
书写表达
方法一:因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0.由
?<,?
?>;方法二:由c>a>b>0得c-b>c-a>0,又a>b>0,所以a(c-b)>b(c-a)>0,又>0,得>.
题后反思
证明本题关键是分母怎样变换出来,第一步先证明什么.
利用不等式的性质证明不等式的两注意
(1)记准、记熟:利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,
记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)注意条件:应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
1.a>b>0,c<0求证:>.
【证明】因为a>b>0,所以ab>0,>0.
于是a·>b·,即>.
由c<0,得>.
2.已知a>b>0,c.
【证明】因为c-d>0,
又因为a>b>0,所以a+(-c)>b+(-d)>0,
即a-c>b-d>0,所以0<<,
又因为e<0,所以>.
【拓展延伸】利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题
(1)恰当设计解题步骤,合理利用不等式的性质.
(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件,如由a>b及c>d,推不出ac>bd;由a>b,推不出a2>b2等.
【拓展训练】若a>b>0,c求证:>.
【解题指南】结合不等式的性质化简证明.
【证明】因为c-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
则(a-c)2>(b-d)2>0,即<,
又e<0,所以>.
【补偿训练】
若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤.
【证明】
?≥?+1≥+1?≥?≤.
类型三 利用不等式的性质求范围(逻辑推理、数学运算)
角度1 利用性质直接求范围?
【典例】已知-1【思路导引】利用不等式的性质构造a-b求范围.
【解析】因为-1所以-1-1又a答案:(-2,0)
将本例的条件改为“-≤a【解析】因为-≤a又a 角度2 整体构造求范围?
【典例】已知π<α+β<,-π<α-β<-,则2α-β的取值范围是 .?
【思路导引】利用α+β,α-β表示出2α-β后求范围.
【解析】令2α-β=x(α+β)+y(α-β),
即2α-β=(x+y)α+(x-y)β,
所以
解得
因为<<,-<<-,
所以-π<2α-β<.
答案:
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
1.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是
( )
A.-π<2α-β<0
B.-π<2α-β<π
C.-<2α-β<
D.0<2α-β<π
【解析】选C.因为-<α<,所以-π<2α<π,
又-<β<,所以-<-β<,所以-<2α-β<.
又α-β<0,α<,所以2α-β<.故-<2α-β<.
2.若-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,则z=4x+2y的范围是 .?
【解析】设4x+2y=a(x+y)+b(x-y)
=(a+b)x+(a-b)y,则,解得a=3,b=1,即4x+2y=3(x+y)+(x-y),
因为-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,
所以-6≤3(x+y)≤6且-1≤x-y≤1,
则-7≤3(x+y)+(x-y)≤7.
答案:[-7,7]
【课堂检测·素养达标】
1.若a>b且c∈R,则下列不等式中一定成立的是
( )
A.ac>bc
B.a2>b2
C.a+c>b+c
D.ac2>bc2
【解析】选C.对于A,当c<0时不成立;
对于B,当0>a>b时不成立;
对于D,当c=0时不成立;C正确.
2.已知-【解析】因为-因为-π所以-<2A-B<.
答案:
3.(教材二次开发:练习改编)若a>b>0,c>d>0,则 ?.
【解析】因为a>b>0,c>d>0,所以ac>bd,
所以-=>0,则>.
答案:>
4.已知1≤a≤3,-4【解析】因为-4故0≤|b|<4,又1≤a≤3,所以1≤a+|b|<7.
答案:[1,7)
【新情境·新思维】
已知实数a,b满足等式2
017a=2
018b,下列关系式不可能成立的是
( )
A.0B.aC.0D.a=b
【解析】选A.分别画出y=2
017x,y=2
018x的函数图象,
如图所示:
实数a,b满足等式2
017a=2
018b,
可得a>b>0,aPAGE3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法
学习目标
1.通过实例了解一元二次不等式.(数学抽象)2.理解一元二次方程、一元二次不等式及一元二次函数的关系.(直观想象、逻辑推理)3.掌握一元二次不等式的解法.(逻辑推理、数学运算)4.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型并解决问题.(逻辑推理、数学运算、数学建模)
【必备知识·自主学习】
导思
1.类比学过的一元一次不等式,思考一元二次不等式的定义是什么?2.一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程有何关系?如何解一元二次不等式?
1.一元二次不等式的定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
(1)关于x的不等式ax2+bx+c>0一定是一元二次不等式吗?
提示:不一定,如果a=0,则不是一元二次不等式.
(2)不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗?
提示:
此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式.
2.一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),方程ax2+bx+c=0(a>0)的判别式Δ=b2-4ac
判别式
Δ>0
Δ=0
Δ<0
方程f(x)=0的根
有两个不等的实数根x1,x2
有两个相等的实数根x1,x2
没有实数根
函数y=f(x)的图象
f(x)>0的解集
{x|xx2}
{x|x≠-}
R
f(x)<0的解集
{x|x1?
?
一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根有什么关系?
提示:一元二次不等式的解集的端点为一元二次方程的根,若一元二次方程没有根,则解集可能是R,也可能是?.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)不等式mx2+x+1>0是一元二次不等式.
( )
(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0无根,则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R.
( )
(3)若a>0,ax2+1≥0的解集是R.
提示:(1)×.当m=0时是一元一次不等式.
(2)×.当a<0时,不等式无解.
(3)√.若a>0,ax2+1≥0恒成立,解集为R.
2.(教材二次开发:练习改编)不等式x2-2x>0的解集为
( )
A.(2,+∞)
B.(-∞,2)
C.(0,2)
D.(-∞,0)∪(2,+∞)
【解析】选D.不等式x2-2x>0化为x(x-2)>0,
解得x<0或x>2,
所以不等式的解集为(-∞,0)∪(2,+∞).
3.不等式2x2-x-1<0的解集是 .?
【解析】不等式化为(2x+1)(x-1)<0,
解得-答案:
【关键能力·合作学习】
类型一 一元二次不等式的解法(逻辑推理、数学运算)
1.不等式x2( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-1,2)
D.(-2,1)
【解题指南】先化为标准的一元二次不等式形式,再求解.
【解析】选C.不等式化为x2-x-2<0,
解方程x2-x-2=0,得x=-1或2.
所以原不等式的解集为(-1,2).
2.不等式3x2-2x+1>0的解集为
( )
A.
B.
C.?
D.R
【解题指南】先求判别式再求解集.
【解析】选D.因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0,所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R.
3.在下列不等式中,解集是?的是
( )
A.x2-3x+5>0
B.x2+4x+4≤0
C.4-4x-x2<0
D.-2+3x-2x2>0
【解析】选D.A的解集为R;B的解集是{x|x=-2};C的解集为{x|x>-2+2或x<-2-2};D,不等式可化为2x2-3x+2<0得Δ=-7,故2x2-3x+2<0的解集为?.
解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形,使一端为零且二次项的系数大于零;
(2)解相应方程:
①若有解,则根据根的大小、相应二次函数的图象写出解集;
②若方程无解,则根据图象写出解集.
【补偿训练】
1.(2020·全国Ⅰ卷)设集合A=,B=,且A∩B=,则a=
( )
A.-4
B.-2
C.2
D.4
【解析】选B.解一元二次不等式x2-4≤0可得:
A=,
解一元一次不等式2x+a≤0可得B=.
由于A∩B=,故-=1,解得:a=-2.
2.下列不等式的解集是空集的是
( )
A.x2-x+1>0
B.-2x2+x+1>0
C.2x-x2>5
D.x2+x>2
【解析】选C.根据题意,依次分析选项,
对于A,x2-x+1=+,
则x2-x+1>0恒成立,其解集为R,A不符合题意;
对于B,-2x2+x+1>0?2x2-x-1<0,有Δ>0,其解集不是空集,B不符合题意;
对于C,2x-x2>5?x2-2x+5<0,有Δ=-16<0,其解集为?,符合题意;
对于D,x2+x>2?x2+x-2>0,有Δ>0,其解集不是空集,D不符合题意.
3.(2019·天津高考)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 .?
【解析】3x2+x-2<0,即(x+1)(3x-2)<0,
即-1答案:
类型二 一元二次不等式的实际应用(数学建模、逻辑推理、数学运算)
【典例】
有一长为24米的篱笆,一面利用墙(墙最大长度是10米)围成一个矩形花圃,设该花圃一边AB为x米,面积是y平方米,
(1)求出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围.
(2)因种植需要,花圃的面积不小于54平方米,则花圃一边AB应为多少?
四步
内容
理解题意
条件:(1)长为24米,(2)一面利用墙,(3)墙最大长度是10米,(4)围成一个矩形花圃,(5)花圃的面积不小于54平方米结论:(1)求出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围.(2)花圃一边AB应为多少.
思路探求
(1)用x表示出矩形的一边,得到面积,再利用墙的最大长度求范围;(2)构造一元二次不等式求范围.
书写表达
(1)如图所示:,因为0<24-2x≤10,所以7≤x<12,所以y=x(24-2x)=-2x2+24x(7≤x<12).(2)令y=-2x2+24x≥54,即x2-12x+27≤0,解得3≤x≤9,又7≤x<12,所以7≤x≤9所以花圃一边AB应控制在[7,9]米即可.
题后反思
本题关键是找出不等关系列出不等式,并且注意x的范围.
构造一元二次不等式模型的策略
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系,来列不等式.
某单位打算对一个长800
m、宽600
m的草坪进行绿化,如图,中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围.
【解析】设花坛的宽度为x
m,则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m.
根据题意得(800-2x)·(600-2x)≥×800×600,
整理得x2-700x+60
000≥0,
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100,
由题意知x>0,所以0当x在(0,100]内取值时,绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.
【拓展延伸】
解不等式应用题的四步骤
(1)审:认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)设:引进数学符号,用不等式表示不等关系.
(3)求:解不等式.
(4)答:回答实际问题.
特别提醒:确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.
【拓展训练】汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40
km/h以内的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了,事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12
m,乙车的刹车距离略超过10
m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问:超速行驶应负主要责任的是谁?
【解析】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1
200>0,解得x>30或x<-40(不符合实际意义,舍去),这表明甲车的车速超过30
km/h.但根据题意刹车距离略超过12
m,由此估计甲车车速不会超过限速40
km/h.
对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2
000>0,解得x>40或x<-50(不符合实际意义,舍去),
这表明乙车的车速超过40
km/h,即超过规定限速,
所以乙车的驾驶人应负主要责任.
【补偿训练】
某摩托车生产企业,上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1
000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
【解析】(1)依题意,得y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×1
000×(1+0.6x)=1
000(-0.06x2+0.02x+0.2).
所以所求关系式为y=1
000(-0.06x2+0.02x+0.2)(0(2)依题意,得1
000(-0.06x2+0.02x+0.2)>(1.2-1)×1
000.
化简,得3x2-x<0.解得0所以投入成本增加的比例x的范围是0类型三 三个“二次”的关系的应用(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
角度1 一元二次不等式、方程的关系?
【典例】若关于x的不等式ax2+bx+3>0的解集为,其中a,b为常数,则不等式3x2+bx+a<0的解集是
( )
A.(-2,-1)
B.(-1,2)
C.
D.
【思路导引】不等式的解集?方程的根?求系数?解不等式.
【解析】选B.关于x的不等式ax2+bx+3>0的解集为,则方程ax2+bx+3=0的两实数根为-1和,且a<0,则,解得a=-6,b=-3,
所以不等式3x2+bx+a<0可化为3x2-3x-6<0,
即x2-x-2<0,解得-1所以所求不等式的解集是(-1,2).
将本例中的条件改为“解集为(α,β),α<0,β>0”,试求不等式的解集.
【解析】关于x的不等式ax2+bx+3>0的解集为(α,β),
则方程ax2+bx+3=0的两实数根为α和β,
则
且a<0.所以不等式3x2+bx+a<0化为
x2+x+1>0,即αβx2-(α+β)x+1>0,
解αβx2-(α+β)x+1=0,得x=或,
因为α<0<β,所以<,所以所以原不等式的解集为.
【补偿训练】
已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2【解析】由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2由根与系数的关系可知=-5,=6.由a<0知c<0,=,故不等式cx2+bx+a<0,即x2+x+>0,即x2-x+>0,解得x<或x>,所以不等式cx2+bx+a<0的解集为∪.
角度2 一元二次不等式、函数的关系?
【典例】如果关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c应有
( )
A.f(5)B.f(2)C.f(-1)D.f(2)【思路导引】利用一元二次不等式的解集,得出一元二次函数的开口、对称轴,利用其对称性、单调性比较大小.
【解析】选D.因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},
所以a>0,函数的对称轴为x=1,
所以f(-1)=f(3),函数在(1,+∞)上单调递增,
所以f(2) 三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,关系如下:
1.设f(x)=x2+bx+1,且f(-1)=f(3),则f(x)>0的解集是
( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.R
C.{x|x≠1}
D.{x|x=1}
【解析】选C.因为f(x)=x2+bx+1且f(-1)=f(3),
所以-=,解得b=-2.
所以f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,
所以f(x)>0的解集为{x|x≠1}.
2.关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是.求不等式cx2+bx+a<0的解集.
【解析】方法一:由ax2+bx+c≥0的解集为
知a<0.
又×2=<0,则c>0.
又-,2为方程ax2+bx+c=0的两个根,
所以-=,所以=-.
又=-,所以b=-a,c=-a,
所以不等式变为x2+x+a<0,
即2ax2+5ax-3a>0.又因为a<0,所以2x2+5x-3<0,
所求不等式的解集为.
方法二:由已知得a<0
且+2=-,×2=知c>0,设方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1,x2(x1则x1+x2=-,x1·x2=,其中==-,-===-,
所以
所以
所以不等式cx2+bx+a<0(c>0)的解集为
.
【课堂检测·素养达标】
1.
(教材二次开发:习题改编)不等式3+5x-2x2≤0的解集为
( )
A.
B.
C.
D.R
【解析】选C.3+5x-2x2≤0?2x2-5x-3≥0?
(x-3)(2x+1)≥0?x≥3或x≤-.
2.关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为
( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选B.由不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),可知方程x2+px-2=0的根为q,1.
所以,
解得.所以p+q=1-2=-1.
3.在一幅长60
cm,宽40
cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积不大于2
816
cm2,设金色纸边的宽为x
cm,那么x满足的不等式是
( )
A.(60+2x)(40+2x)≤2
816
B.(60+x)(40+x)≥2
816
C.(60+2x)(40+x)>2
816
D.(60+x)(40+2x)<2
816
【解析】选A.“不大于”就是“≤”,所以根据题意可列出不等式为(60+2x)(40+2x)≤2
816.
4.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是xx<-2或x>-,则ax2-bx+c>0的解集为 .?
【解析】由题意,-2,-是方程ax2+bx+c=0的两个根且a<0,故
解得a=c,b=c.
所以不等式ax2-bx+c>0,即为2x2-5x+2<0,解得0的解集为.
答案:
5.解不等式:(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
【解析】(1)方程2x2-3x-2=0的
解是x1=-,x2=2.
因为函数y=2x2-3x-2是开口向上的抛物线(如草图(1)
),
所以不等式的解集是.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0.
因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+.
因为函数y=3x2-6x+2是开口向上的抛物线(如草图(2)),
所以不等式的解集是.
(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,函数y=4x2-4x+1是开口向上的抛物线(如草图(3))
,
所以原不等式的解集是.
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线(如草图(4)),
所以原不等式的解集为R.
【新情境·新思维】
1.对于实数x,当且仅当n≤x( )
A.[2,7]
B.[2,8]
C.[2,8)
D.
【解析】选C.不等式化为(2[x]-15)(2[x]-3)<0,
解得<[x]<.又n≤x则不等式的解集为[2,8).
2.某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路,该产品广告效应y(单位:万元)是产品的销售额与广告费x(单位:万元)之间的差,如果销售额与广告费x的算术平方根成正比,根据对市场的抽样调查,付出1万元的广告费时,所得销售额是100万元.
(1)求出广告效应y与广告费x之间的函数关系式.
(2)若该企业制定的年度广告效应是不低于1
600万元,则广告费最低投入多少?
【解析】(1)设销售额为t万元,
由题意知t=k,x≥0,
又因为当x=1时,t=100,故k=100;
所以t=100,所以y=100-x,
所以广告效应y与广告费x之间的函数关系式是:
y=100-x(x≥0).
(2)令=m则y=100m-m2=-(m-50)2+2
500,
令y=100m-m2=-(m-50)2+2
500≥1
600,m2-100m+1
600≤0,解得20≤m≤80,所以400≤x≤6
400.
故广告费最低为400万元.
PAGE第2课时
一元二次不等式及其解法习题课
学习目标
1.会利用一元二次不等式的解法解分式不等式.(逻辑推理、数学运算)2.掌握含参数的一元二次不等式的解法.(逻辑推理、数学运算)3.会解决一元二次不等式恒成立问题.(逻辑推理、数学运算)
【关键能力·合作学习】
类型一 分式不等式的简单应用(逻辑推理、数学运算)
1.不等式≥-1的解集为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.根据题意≥-1?≥0
?(3x-2)(x-3)≥0,且x-3≠0,
解得x≤或x>3,即原不等式的解集为.
2.不等式>0的解集是 .?
【解析】不等式>0等价于(x-2)(x+4)<0.
解得-4答案:{x|-43.不等式≥5的解集是 .?
【解析】原不等式?≥?≤0?解得0答案:
利用一元二次不等式解分式不等式
(1)变形:移项使右侧为0,左侧通分成分式,x的系数为正;
(2)等价转化:
①>0?f(x)g(x)>0;<0?f(x)g(x)<0;
②≥0?
≤0?
【补偿训练】
1.不等式≤0的解集是
( )
A.0B.(-∞,1]∪(3,+∞)
C.[1,3)
D.[1,3]
【解析】选C.不等式≤0,等价于,解得1≤x<3,所以不等式的解集是[1,3).
2.不等式≥1的解集是
( )
A.[2,3]
B.(2,3]
C.(-∞,2)∪[3,+∞)
D.(-∞,2]∪[3,+∞)
【解析】选B.根据题意,≥1?≥0?≥0?(x-3)(x-2)≤0且x≠2,解得:2即不等式的解集为(2,3].
3.若关于x的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a= .?
【解析】>0?(x+1)(x-a)>0?(x+1)(x-4)>0,所以a=4.
答案:4
类型二 含参数的一元二次不等式的解法(逻辑推理、数学运算)
【典例】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
四步
内容
理解题意
条件:
ax2-(a+1)x+1<0.结论:解不等式.
思路探求
①对于二次项的系数a是否分a=0,a<0,a>0三类进行讨论?②当a≠0时,是否还要比较两根的大小?
书写表达
当a=0时,原不等式可化为x>1.当a≠0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0.当a<0时,不等式可化为(x-1)>0,因为<1,所以x<或x>1.当a>0时,原不等式可化为(x-1)<0.若<1,即a>1,则1,即01};当01时,原不等式的解集为
题后反思
本题关键是找准讨论的切入点
对于含参数的一元二次不等式常常要分情况讨论,分类讨论的标准有:
(1)二次项系数(若二次项系数中含有字母);
(2)判别式Δ;
(3)两根x1,x2的大小关系.
在解题时,要根据题目合理选择.
解下列关于x的不等式.
(1)x2-(a+2)x+2a>0;
(2)x2+2x+a>0.
【解析】(1)x2-(a+2)x+2a>0
可化为(x-2)(x-a)>0.
当a=2时,原不等式化为(x-2)2>0,得x≠2.
当a>2时,不等式的解集为{x|x>a或x<2}.
当a<2时,不等式的解集为{x|x2}.
综上所述,当a=2时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2},
当a>2时,原不等式的解集为{x|x<2或x>a},当a<2时,原不等式的解集为{x|x2}.
(2)因为x2+2x+a>0中的Δ=4-4a.
当Δ=0,即a=1时,原不等式可化为(x+1)2>0,
得x≠-1.当Δ=4-4a<0,即a>1时,x2+2x+a>0恒成立,原不等式的解集为R.
当Δ=4-4a>0,即a<1时,因为x2+2x+a=0的两根
x1=-1+,x2=-1-,所以原不等式的解集为
{x|x>-1+或x<-1-}.
综上所述,当a=1时,原不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞),
当a>1时,原不等式的解集为R,当a<1时,原不等式的解集为(-∞,-1-)∪(-1+,+∞).
【拓展延伸】解含参数的一元二次不等式的一般步骤
注:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
【拓展训练】解关于x的不等式ax2-x-≥0(a∈R).
【解析】当a=0时,-x-≥0,解得x≤-;
当a≠0时,Δ=(-1)2-4a×=1+a;
当a<-1时,Δ<0,不等式的解集为?;
当a=-1时,Δ=0,不等式的解集为;
当-10,不等式的解集为
;
当a>0时,Δ>0,不等式的解集为
.
综上所述,当a<-1时,不等式的解集为?;
当a=-1时,不等式的解集为;
当-1;
当a=0时,不等式的解集为;
当a>0时,不等式的解集为
.
【补偿训练】
1.解关于x的不等式
x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
【解析】原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0.
所以当a<0时,aa2};
当a=0时,a2=a,解集为{x|x≠0};
当0a};
当a=1时,a2=a,解集为{x|x≠1};
当a>1时,aa2}.
综上所述,当a<0或a>1时,解集为{x|xa2};
当0a};
当a=0时,解集为{x|x≠0};
当a=1时,解集为{x|x≠1}.
2.解关于x的不等式:(a+1)x2-(2a+3)x+2<0.
【解析】(1)当a=-1时,
原不等式变为-x+2<0,即x>2;
(2)当a>-1时原不等式可转化为(x-2)<0,若-12,所以2若a=-,则=2,所以x∈?;
若a>-,则<2,所以(3)当a<-1时原不等式可转化为(x-2)>0;因为a<-1,所以<2,所以x<或x>2.
综上可知原不等式的解集为
当a>-时,解集为;
当a=-时,解集为?;
当-1当a=-1时,解集为{x|x>2}.
当a<-1时,解集为.
类型三 不等式恒成立问题(逻辑推理、数学运算)
角度1 在实数集R上的恒成立问题?
【典例】若不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为
( )
A.a<-或a>
B.a>或a<0
C.a>
D.-【思路导引】转化为不等式的解集为R,列方程组求范围.
【解析】选C.不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,即不等式的解集为R,a=0时不满足;
则,即,解得a>,
所以实数a的取值范围是a>.
将本例中的条件改为“ax2-x+a<0”,其他条件不变,试求实数a的范围.
【解析】不等式ax2-x+a<0对一切实数x都成立,即不等式的解集为R,
则
即
解得a<-.
角度2 在定区间上的恒成立问题?
【典例】1.当x∈[1,4]时,不等式x2-4x-2-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是
( )
A.(-∞,-2]
B.[-2,+∞)
C.[-6,+∞)
D.(-∞,-6]
【思路导引】利用不等式对应函数的最值解题.
【解析】选D.令f(x)=x2-4x-2-a,x∈[1,4],
f(x)=x2-4x-2-a=(x-2)2-6-a,
所以f(x)min=-6-a≥0,所以a≤-6.
2.已知不等式x2+2(a-2)x-4<0在[-3,1]上恒成立.则实数a的取值范围是 .?
【思路导引】转化为相应的函数图象解题.
【解析】令f(x)=x2+2(a-2)x-4,
若对任意x∈[-3,1]时,f(x)<0恒成立,
f(x)的图象如图所示.
由图象可知,此时a应该满足
即
解得答案: 处理恒成立问题的方法
(1)转化为一元二次不等式的解集为R
ax2+bx+c>0?
ax2+bx+c<0?
(2)利用函数的图象
令f(x)=ax2+bx+c,区间D=[m,n],
①a>0,ax2+bx+c<0在D上恒成立?
②a<0,ax2+bx+c>0在D上恒成立?
1.若函数f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)<0恒成立,则实数a的取值范围是
( )
A.a≤0
B.a<-4
C.-4D.-4【解析】选D.当a=0时f(x)=-1在R上满足f(x)<0恒成立;当a≠0时,因为f(x)在R上满足f(x)<0恒成立,所以解得-4综上所述,实数a的取值范围是-42.已知f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
【解析】设函数f(x)=x2+ax+3-a在x∈[-2,2]时的最小值为g(a),则
(1)当对称轴x=-<-2,即a>4时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0,解得a≤,与a>4矛盾,不符合题意.
(2)当-∈[-2,2],即-4≤a≤4时,g(a)=3-a-≥0,解得-6≤a≤2,此时-4≤a≤2.
(3)当->2,即a<-4时,g(a)=f(2)=7+a≥0,
解得a≥-7,此时-7≤a<-4.
综上,a的取值范围为-7≤a≤2.
【拓展延伸】恒成立问题的解题技巧——分离参数法
分离参数时,经常要用到以下简单结论
(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立?a>f(x)max;
(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a【拓展训练】设x2-2x+a-8≤0对于任意x∈(1,3)恒成立,则a的取值范围是 .?
【解析】原不等式x2-2x+a-8≤0转化为a≤-x2+2x+8对任意x∈(1,3)恒成立,设f(x)=-x2+2x+8,易知f(x)在[1,3]上的最小值为f(3)=5.所以a∈(-∞,5].
答案:
(-∞,5]
【补偿训练】
设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;
(2)对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
【解析】(1)要使mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,显然-1<0,满足题意;
若m≠0,?-4所以-4(2)方法一:要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立.
就要使m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
令g(x)=m+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以0当m=0时-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以g(x)max
=g(1)=m-6<0,得m<6,所以m<0.
综上所述:m<.
方法二:当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,
即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.
因为x2-x+1=+>0,
又m(x2-x+1)-6<0,
所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
【课堂检测·素养达标】
1.不等式>0的解集是
( )
A.(-3,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-3)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(3,+∞)
【解析】选C.不等式>0可化为(x-2)(x+3)>0得,x>2或x<-3.
2.对任意的x∈R,x2-ax+1>0恒成立,则实数a的取值范围是
( )
A.(-2,2)
B.(-∞,2)∪(2,+∞)
C.[-2,2]
D.(-∞,2]∪[2,+∞)
【解析】选A.由题意可知Δ=a2-4<0,解得-23.不等式≤-2的解集为 .?
【解析】原不等式可化为≤0,故(4x+5)(x+3)≤0且x≠-3,故解集为.
答案:
4.若不等式-x2+2x-a≤0恒成立,则实数a的取值范围是 .?
【解析】由题意得Δ=4-4a≤0,所以a≥1.
答案:a≥1
5.解下列不等式:
(1)≥0;
(2)>1.
【解析】(1)原不等式可化为解得
所以x<-或x≥,
所以原不等式的解集为.
(2)方法一:原不等式可化为
或解得或
所以-3所以原不等式的解集为.
方法二:原不等式可化为>0,
化简得>0,
即<0,所以(2x+1)(x+3)<0解得-3所以原不等式的解集为.
【新情境·新思维】
若不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,则实数m的取值范围为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,
所以Δ=1-4m2>0,-所以实数m的取值范围是.
PAGE3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
第1课时 二元一次不等式表示的平面区域
学习目标
1.了解二元一次不等式的概念.(数学抽象)2.会从实际情景中抽象出二元一次不等式,并判断二元一次不等式表示的平面区域.(数学抽象、直观想象、数学建模)3.会画出二元一次不等式表示的平面区域.(直观想象、逻辑推理)
【必备知识·自主学习】
导思
1.类比一元一次不等式的定义,二元一次不等式的定义是什么?2.什么是二元一次不等式表示的平面区域?如何确定?
1.二元一次不等式
(1)定义:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数是1的不等式.
(2)解集:满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式的解集.
解集的几何意义:可以看成直角坐标系内的点构成的集合.
二元一次不等式解集中的点构成什么样的图形?
提示:构成直线一侧的平面区域.
2.二元一次不等式表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax+By+C>0
直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线,边界画成虚线
Ax+By+C≥0
包括边界直线,边界画成实线
(1)y≥ax+b所表示的平面区域与y>ax+b表示的平面区域有什么不同?如何体现这种区别?
提示:前者表示的平面区域含有对应直线上的点,后者表示的平面区域不含对应直线上的点.画图时用实线表示前者,用虚线表示后者.
(2)x>a,y>b能表示区域吗?如果能,分别表示什么区域?
提示:能.x>a表示直线x=a右侧的区域,y>b表示直线y=b上方的区域.
3.二元一次不等式表示的平面区域的确定依据和方法
依据
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它们的坐标(x,y)代入Ax+By+C所得符号都相同
方法
在直线Ax+By+C=0的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号可以断定Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域
选测试点判断平面区域时,常常选用哪些特殊点为测试点?
提示:常常选用原点、坐标轴上的点作为测试点.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)不等式x-1<0表示直线x-1=0下方的区域.
( )
(2)点(2,1)在不等式x+y-1<0表示的平面区域内.
( )
(3)不等式x-y-1>0表示直线x-y-1=0左上方的区域.
( )
提示:(1)×.不等式x-1<0表示直线x-1=0左侧的区域.
(2)×.因为2+1-1=2>0,所以点(2,1)不在不等式表示的区域内.
(3)×.因为(0,0)不满足不等式,因此不等式表示的平面区域是直线的右下方.
2.(教材二次开发:例题改编)二元一次不等式2x-3y-6≥0表示的平面区域是
( )
【解析】选A.画直线2x-3y-6=0,
把(0,0)代入,使得2x-3y-6<0,
所以不等式2x-3y-6≥0表示的平面区域在直线2x-3y-6=0的右下方.
3.直线x+2y-1=0右上方的平面区域可用不等式 表示.?
【解析】用右上方特殊点(1,1)代入x+2y-1得结果为2>0.所以所求为x+2y-1>0.
答案:x+2y-1>0
【关键能力·合作学习】
类型一 二元一次不等式表示平面区域(直观想象、数学建模)
1.在不等式x+2y-1>0表示的平面区域内的点是
( )
A.(1,-1)
B.(0,1)
C.(1,0)
D.(-2,0)
【解析】选B.因为不等式x+2y-1>0,1-2-1=-2<0,0+2-1=1>0,1+2×0-1=0,-2+0-1=-3<0,所以点(0,1)在不等式x+2y-1>0表示的平面区域内.
2.不等式2x-y-6<0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的
( )
A.左上方
B.右上方
C.左下方
D.右下方
【解析】选A.不等式2x-y-6<0表示的平面区域如图所示:
根据点(0,0)在区域内,可知不等式2x-y-6<0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的左上方.
3.画出下面二元一次不等式表示的平面区域.
(1)x-2y+4≥0;
(2)y>2x.
【解析】(1)画出直线x-2y+4=0,
因为0-2×0+4=4>0,
所以x-2y+4>0表示的区域为含(0,0)的一侧,
因此所求为如图所示的区域,包括边界.
(2)画出直线y-2x=0,因为0-2×1=-2<0,
所以y-2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧,因此所求为如图所示的区域,不包括边界.
两点确定二元一次不等式表示平面区域
第一步:直线定界.画出直线ax+by+c=0,不等式为ax+by+c>0(<0)时直线画虚线,不等式为ax+by+c≥0(≤0)时画成实线;
第二步:特殊点定域.在平面内取一个特殊点,当c≠0时,常取原点(0,0).若原点(0,0)满足不等式,则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域;若原点不满足不等式,则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域.当c=0时,可取(1,0)或(0,1)作为测试点.
简记为:直线定界,特殊点定域.
【补偿训练】
1.点(a,b)在直线2x-y+3=0的右下方,则
( )
A.2a-b+3<0 B.2a-b+3>0
C.2a-b+3=0
D.以上都不成立
【解析】选B.点(a,b)在直线2x-y+3=0的右下方,
则2a-b+3>0.
2.下列选项中与点(1,2)位于直线2x-y+1=0的同一侧的是
( )
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-1,0)
D.(1,0)
【解析】选D.因为直线2x-y+1=0,所以2-2+1>0,
所以点(1,2)满足2x-y+1>0,
因为-2-1+1=-2<0,2×0-1+1=0,-2-0+1
=-1<0,2×1-0+1=3>0,
所以(1,0)和点(1,2)位于直线2x-y+1=0的同一侧.
3.不等式4x-y≥0表示的平面区域是
( )
【解析】选B.取测试点(2,0),满足4x-y≥0,可排除A,D.再根据直线y=4x的斜率k=4>1,故可排除C.
4.画出不等式3x+2y+6>0表示的平面区域.
【解析】画出满足条件的平面区域,如图所示:
类型二 已知平面区域求二元一次不等式(直观想象、逻辑推理、数学运算)
1.图中阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是
( )
A.x-y-1≥0
B.x-y+1≥0
C.x-y-1≤0
D.x-y+1≤0
2.如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为 .?
【解析】1.选A.直线对应的方程为x-y-1=0,
对应的区域在直线的下方,
当x=0,y=0时,0-0-1<0,
即原点在不等式x-y-1<0对应的区域内,
则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是x-y-1≥0.
2.由图知直线过点(-1,0),(0,3),由截距式可得+=1,即y-3x-3=0.
用(0,0)代入验证,可得平面区域(阴影部分)用不等式表示为y-3x-3<0.
答案:y-3x-3<0
用不等式表示平面区域的步骤
(1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程.
(2)将平面区域内的特殊点代入直线方程,判断不等号的方向.
(3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式.
【补偿训练】
1.图中的平面区域(阴影部分),用不等式表示为 .?
【解析】直线过(4,0),两点,所以直线为2x+3y-8=0,则阴影部分表示为2x+3y-8≥0.
答案:2x+3y-8≥0
2.如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为 .?
【解析】由截距式可得直线方程为+=1,即y=-x+1.因为0<-×0+1,且原点在阴影部分中,故阴影部分可用不等式y<-x+1,即x+2y-2<0表示.
答案:x+2y-2<0
3.写出表示下列平面区域的二元一次不等式:
【解析】①x+y-1≤0;②x-2y+2<0;③x+y≥0.
类型三 二元一次不等式表示平面区域的应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)
角度1 求参数的范围?
【典例】若点A(1,1),B(2,-1)位于直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围为 .?
【思路导引】将点A,B的坐标代入直线的左边,符号相反.
【解析】因为点A(1,1),B(2,-1)位于直线x+y-a=0的两侧,
所以(1+1-a)(2-1-a)<0,
即(2-a)(1-a)<0,
则(a-1)(a-2)<0,解得1答案:(1,2)
将本例的条件改为“位于直线的同侧”,试求a的范围.
【解析】因为点A(1,1),B(2,-1)位于直线x+y-a=0的同侧,
所以(1+1-a)(2-1-a)>0,
即(2-a)(1-a)>0,
则(a-1)(a-2)>0,解得a<1或a>2.
角度2 求参数的值?
【典例】若点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且在不等式2x+y-3>0表示的平面区域内,则点P的横坐标是
( )
A.7或-3
B.7
C.-3
D.-7或3
【思路导引】先求出a的范围,利用点到直线的距离求出a.
【解析】选B.把(a,3)代入2x+y-3>0,得2a+3-3>0,得a>0,点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,
则=4,得a=-3或a=7,所以a=7.
平面内任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)与直线Ax+By+C=0位置关系(不在直线上)的判断方法
(1)P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧?(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0.
(2)P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧?(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.
1.若点A(2,0),B(a,4)在直线y=3x+7的两侧,则a的取值范围是
( )
A.a<-1
B.a>-1
C.a>19
D.a<19
【解析】选A.因为点A(2,0),B(a,4)在直线y=3x+7的两侧,
所以(2×3+7)(3a-4+7)<0,
即3a+3<0,解得a<-1.
2.点P(m,1)不在不等式x+y-2<0表示的平面区域内,则实数m的取值范围是
( )
A.m<1
B.m≤1
C.m≥1
D.m>1
【解析】选C.点P(m,1)不在不等式x+y-2<0表示的平面区域内,
则m+1-2≥0,解得m≥1.
【课堂检测·素养达标】
1.(教材二次开发:习题改编)点P(1,3)在直线l:x-2y+1=0的
( )
A.左上方
B.左下方
C.右上方
D.右下方
【解析】选A.作出直线x-2y+1=0和点P,由图象可知点P位于直线l的左上方.
2.已知点P1(0,1),P2(2,1),P3(-1,2),P4(3,3),则在4x-5y+1≤0表示的平面区域内的点的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.经验证,P1,P3,P4均在区域内.
3.点P(m,n)不在不等式5x+4y-1>0表示的平面区域内,则m,n满足的条件是 .?
【解析】由题意知P在不等式5x+4y-1≤0表示的平面区域内,则5m+4n-1≤0.
答案:5m+4n-1≤0
4.点(3,4)不在不等式y≤3x+b表示的区域内,而点(4,4)在此区域内,则实数b的取值范围是 .?
【解析】因为点(3,4)不在不等式y≤3x+b表示的区域内,而点(4,4)在此区域内,
所以,即,
得-8≤b<-5,即实数b的取值范围是[-8,-5).
答案:[-8,-5)
【新情境·新思维】
点A(2,-3),B(3,2),已知直线l:y=-ax-2与线段AB有交点,则实数a的取值范围是
( )
A.-≤a≤
B.-≤a≤
C.a≤-或a≥
D.a≤-或a≥
【解析】选B.根据题意,直线l:y=-ax-2,
即ax+y+2=0与线段AB有交点,
则A,B在直线l的两侧或在直线上,
则有(2a-3+2)(3a+2+2)≤0,
解可得-≤a≤.
PAGE第2课时 二元一次不等式组表示的平面区域
学习目标
1.能画出二元一次不等式组表示的平面区域.(直观想象、逻辑推理)2.能写出平面区域表示的二元一次不等式组.(直观想象、逻辑推理)3.用二元一次不等式组表示平面区域解决简单的实际问题.(逻辑推理、数学运算、数学建模)
必备知识·自主学习
导思
1.上一节学习了二元一次不等式,那么什么是二元一次不等式组?2.二元一次不等式组表示的平面区域如何表示?如何确定?
1.二元一次不等式组的有关概念
(1)定义:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
(2)解集:所有满足二元一次不等式组的x和y的取值构成的有序数对(x,y)构成的集合.
2.二元一次不等式组表示的平面区域
各个不等式表示的平面区域的交集,即各个不等式表示的平面区域的公共部分.
二元一次不等式组的解与所表示的平面区域内的点的关系是什么?
提示:以不等式组的解为坐标的点都在平面区域内;平面区域内点的坐标都是不等式组的解.不等式组的解与区域内的点一一对应.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)二元一次不等式组中的不等式必须是二元一次不等式.( )
(2)二元一次不等式组表示的平面区域都是封闭的区域.( )
(3)点(1,1)不在不等式(x+y-1)(x+y+1)>0表示的区域内.( )
提示:(1)×.也可以有一元一次不等式.
(2)×.也可以是半封闭的区域.
(3)×.因为(1+1-1)(1+1+1)>0成立,故点在不等式表示的区域内.
2.下面给出的四个点中,位于表示的平面区域内的点是( )
A.(0,2)
B.(-2,0)
C.(0,-2)
D.(2,0)
【解析】选C.验证法,把四个点分别代入不等式组进行验证知,只有(0,-2)在平面区域内.
3.(教材二次开发:例题改编)不等式组,表示的平面区域是( )
【解析】选B.因为不等式组,
可以取(0,0),在不等式的区域内,故A、C、D错误;B正确.
关键能力·合作学习
类型一 二元一次不等式组表示的平面区域(数学抽象、数学建模)
1.不等式组表示的平面区域为( )
【解析】选B.因为不等式x<2y,表示直线x=2y的上半部分.y<-3x+12,表示直线y=-3x+12的下半部分,根据二元一次不等式组表示平面区域,得到不等式组的对应区域的图象为:
2.在平面直角坐标系中,满足不等式x2-y2≥0的点(x,y)组成的图形(用阴影部分来表示)是( )
【解析】选B.由x2-y2≥0,得(x+y)(x-y)≥0,
即或画出图形如图所示.
3.(1)画出不等式组表示的平面区域.
(2)画出不等式组表示的平面区域.
【解析】(1)不等式x+y≤5表示直线x+y-5=0及左下方的区域.不等式x-2y>3表示直线x-2y-3=0右下方的区域.不等式x+2y≥0表示直线x+2y=0及右上方的区域.
所以不等式组表示的平面区域如图所示.
(2)不等式x-y-1<0表示直线x-y-1=0左上方的平面区域.画出直线2x-y-3=0(实线),
不等式2x-y-3≥0表示直线2x-y-3=0及右下方的平面区域.
所以不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分.
画平面区域的三步骤
(1)画线——画出不等式对应的方程所表示的直线;
(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律,确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;
(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的,则在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区域的公共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.
【补偿训练】
1.不等式组表示的平面区域是( )
【解析】选B.x-2y+4≥0表示在直线x-2y+4=0的下方及直线上,x-y+2<0,表示在直线x-y+2=0的上方,则对应的区域为B.
2.画出不等式组
表示的平面区域.
【解析】不等式x-y<2表示直线x-y=2左上方的区域;
不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1及其右上方的区域;
不等式x+y<2表示直线x+y=2左下方的区域,
故不等式组表示的区域如图所示.
类型二 已知平面区域求不等式组(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,平面区域(阴影部分)对应的不等式组是( )
A.
B.
C.
D.
【思路导引】先求出直线方程,再判断不等号的方向.
【解析】选A.经过(2,0),(0,2)点的直线方程为+=1,即x+y-2=0,
经过(2,0),(0,-2)点的直线方程为-=1,即x-y-2=0,
经过(-1,0),(0,2)点的直线方程为-x+=1,即2x-y+2=0,
则阴影部分在x+y-2=0的下方,即对应不等式为x+y-2≤0,
阴影部分在2x-y+2=0的下方,即对应不等式为2x-y+2≥0,
阴影部分在x-y-2=0的上方,即对应不等式为x-y-2≤0,即对应不等式组为.
根据平面区域求不等式组四步骤
(1)求直线:根据区域边界上的点求出边界的直线方程;
(2)定方向:取区域内的特殊点,代入直线方程的左侧,计算所得的值为正,则为“>”,否则为“<”;
(3)定等号:根据区域的边界的虚实确定不等号是否含有等号;
(4)写结论:将各个不等式联立成不等式组.
1.观察如图区域,它对应的不等式组是 .?
【解析】由图可求三边对应的直线方程分别为x+y-3=0;x-2y=0;x-y+1=0,由图知不等式组为
答案:
2.表示图中阴影部分所示平面区域的不等式组是 .?
【解析】由题图易知,点(3,1)在相应的平面区域内,将点(3,1)的坐标分别代入3x+2y-6、2x-3y-6、2x+3y-12中,分别使得3x+2y-6>0、2x-3y-6<0、2x+3y-12<0,注意到包括各边界,故题图中阴影部分所示平面区域的不等式组是
答案:
类型三 二元一次不等式组表示平面区域的应用(逻辑推理、数学运算)
角度1 求平面区域的面积?
【典例】不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A.1
B.
C.
D.
【思路导引】画出约束条件表示的可行域,求出交点坐标,然后求出可行域的面积.
【解析】选D.作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的三角形ABC,由题意可得C(1,0),B(2,0),
由可得A,=×1×=.
1.(变条件)若将例题中的条件变为“”求所表示区域的面积.
【解析】如图所示,其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域.
由得A(1,3).
同理得B(-1,1),C(3,-1).
所以|AC|==2,
而点B到直线2x+y-5=0的距离为d==,所以=|AC|·d=×2×=6.
2.(变条件)若将例题中的条件变为“”求所表示的平面区域的面积.
【解析】可将原不等式组分解成如下两个不等式组:
①或②上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示,所围成的面积S=×4×2-×2×1=3.
角度2 二元一次不等式组表示的平面区域与参数?
【典例】若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )
A.a≥
B.0C.1≤a≤
D.0【思路导引】先画出不含参数a的不等式组的平面区域,再依据直线x+y=a的平移确定参数a的取值范围.
【解析】选D.不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分).
由得A;
由得B(1,0).
若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a中的a的取值范围是0在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( )
A.-5
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.不等式组表示的平面区域如图所示,其中A(1,0),C(0,1),
由得
=|a+1|×1==2,得a=3或a=-5(舍).
角度3 二元一次不等式组在实际中的应用?
【典例】一工厂生产甲、乙两种产品,生产每吨产品的资源需求如下表:
品种
电力/千瓦时
煤/吨
工人/人
甲
2
3
5
乙
8
5
2
该厂有工人200人,每天只能保证160千瓦时的用电额度,每天用煤不得超过150吨,请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围.
【思路导引】若设生产甲产品x吨,乙产品y吨,根据资源需求及条件限制,可用二元一次不等式组表示出来,然后画出二元一次不等式组表示的平面区域即可.
【解析】设每天分别生产甲、乙两种产品x吨和y吨.生产x吨甲产品和y吨乙产品的用电量是(2x+8y)千瓦时,根据条件,有2x+8y≤160;
用煤量为(3x+5y)吨,根据条件,有3x+5y≤150;
需要工人数(5x+2y)人,根据条件,有5x+2y≤200;
另外,还有x≥0,y≥0.
综上所述,x,y应满足不等式组
甲、乙两种产品的产量范围是不等式组表示的平面区域,即如图所示的阴影部分(含边界).
1.关于不等式组表示的平面区域的面积
首先作出平面区域,其次根据平面区域的形状确定面积的求法.常常用到点到直线的距离求高,平面区域分割求和等方法.
2.平面区域的参数问题
是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合分类讨论的思想,针对图象分析满足条件的参数的取值范围.
3.用平面区域来表示实际问题的基本方法
(1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量,用字母表示.
(2)把问题中有关的量用这两个字母表示.
(3)把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来.
(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.
易错警示:易忽视实际问题中对未知数的要求,如为正数或正整数等.
1.不等式组表示的平面区域D的面积为 .?
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:
方法一:由得,即C(-1,-2),
又B(1,0),A(0,1),
所以S△ABC=|AB|·|BC|=××2=2.
方法二:当y=0时,由y=3x+1=0得x=-,
即D,则BD=,
由得,即C(-1,-2),
则平面区域的面积
S=S△ABD+S△CBD=××1+××2=2.
答案:2
2.某工厂生产A、B两种产品,计划每种产品的生产量不少于15千克,已知生产A产品1千克要用煤9吨,电力4千瓦时,3个工作日;生产B产品1千克要用煤4吨,电力5千瓦时,10个工作日.现在工厂只有煤360吨,电力200千瓦时,300个工作日.设A、B产品分别生产x千克,y千克,列出满足生产条件的不等式组,并画出相应的平面区域.
【解析】满足的不等式组为
,
作出以上不等式组的可行域,如图所示:
【拓展延伸】
求区域面积或区域内整点的坐标
在应用平面区域时,准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键.
(1)求区域面积时,要先确定好平面区域的形状,注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标,这样易求底与高.必要时分割区域为特殊图形.
(2)整点是横、纵坐标都是整数的点,求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点,以免出现错误.
【拓展训练】
已知不等式组
(1)画出不等式组表示的平面区域;
(2)求不等式组所表示的平面区域的面积;
(3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标.
【解析】(1)不等式4x+3y≤12表示直线4x+3y=12上及其左下方的点的集合;x>0表示直线x=0右方的所有点的集合;y>0表示直线y=0上方的所有点的集合,故不等式组表示的平面区域如图(1)所示.
(2)如图(1)所示,不等式组表示的平面区域为直角三角形,其面积S=×4×3=6.
(3)当x=1时,代入4x+3y≤12,得y≤,
所以整点为(1,2),(1,1).当x=2时,代入4x+3y≤12,得y≤,所以整点为(2,1).所以区域内整点共有3个,其坐标分别为(1,1),(1,2),(2,1).如图(2).
【补偿训练】
1.设x,y满足则平面区域中的整点的个数为 .?
【解析】不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分,由得
所以A(5,2),当x=0时,整点个数有(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(0,7),共7个;
当x=1时,整点个数有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),共6个;
当x=2时,整点个数有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),共5个;
当x=3时,整点个数有(3,2),(3,3),(3,4),共3个;
当x=4时,整点个数有(4,2),(4,3),共2个;
当x=5时,整点有(5,2),共1个,
所以共有7+6+5+3+2+1=24(个).
答案:24
2.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是 .?
【解析】画出不等式组所表示的平面区域D,如图中阴影部分所示.
由解得
所以A(2,9),当指数函数y=ax的图象经过点A(2,9)时,9=a2,
又a>0且a≠1,所以a=3.
由图象可知,若指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是(1,3].
答案:(1,3]
3.向量=(1,0),=(1,1),O为坐标原点,动点P(x,y)满足则点Q(x+y,y)构成图形的面积为 .?
【解析】因为动点P(x,y),所以=(x,y),
则·=x,
·=x+y,
因为
所以
设点Q(x+y,y)的坐标为(a,b),
则满足即所以
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):则A(0,-1),C(2,1),D(2,2),则阴影部分的面积为1×2=2.
答案:2
4.某工艺厂有铜丝5万米,铁丝9万米,准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售,已知一只花篮需要用铜丝200米,铁丝300米;编制一只花盆需要铜丝100米,铁丝300米,该厂准备用这些原料编制x个花篮,y个花盆.试列出x,y满足的关系式,并画出相应的平面区域.
【解析】由已知,得x,y满足的关系式为
即,
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分中的整点所示:
课堂检测·素养达标
1.设不等式组所表示的平面区域是W,则下列各点在区域W内的是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.根据题意,依次分析选项:
对于A、不满足y≥0,不符合题意;
对于B、不满足x-y≥0,不符合题意;
对于C、不满足y≥0,不符合题意;
对于D、,有x=,y=,满足,符合题意.
2.(教材二次开发:习题改编)不等式组所表示的平面区域大致为哪一个( )
【解析】选C.根据题意,不等式组中,x+2y+4≤0表示直线x+2y+4=0及直线下方的区域,x-y+1≤0表示直线x-y+1=0及直线上方的区域,
则不等式组所表示的平面区域为直线x+2y+4=0及直线下方和直线x-y+1=0及直线上方的区域,分析可得,C符合.
3.不等式组表示的区域为D,已知P1(0,-2),P2(0,0),则( )
A.P1?D,P2?D
B.P1?D,P2∈D
C.P1∈D,P2?D
D.P1∈D,P2∈D
【解析】选C.根据题意,将P1(0,-2)代入不等式组中,分析可得三个不等式都成立,则P1∈D,将P2(0,0)代入不等式组中,其不满足第一个不等式y4.已知实数x,y满足不等式组,则该不等式组表示的平面区域的面积为 .?
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:
则A(0,2),B(-1,0),C(2,0),
则三角形ABC的面积S=×3×2=3.
答案:3
5.画出不等式组所表示的平面区域,并求其面积.
【解析】如图所示,图中的阴影部分便是不等式组表示的平面区域.
由于x-y-1=0与x-y+1=0互相平行,且两条直线间的距离d1==,
同理得x+y+1=0与x+y-1=0互相平行,两条平行线间的距离d2=,
又直线l1:x+y+1=0的斜率为k1=-1,直线l2:x-y+1=0的斜率为k2=1,k1k2=-1,
所以l1⊥l2,所以阴影部分为正方形.
故S阴影=×=2.
【新情境·新思维】
不等式组的解集记为D,若对任意(x,y)∈D,则( )
A.x+2y≥-2
B.x+2y≥2
C.x-2y≥-2
D.x-2y≥2
【解析】选A.作出不等式组所表示的图象知A正确.
PAGE3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题
学习目标
1.了解线性规划的意义,能根据线性约束条件画出可行域,能建立目标函数.(数学抽象、直观想象、数学建模)2.理解并初步运用线性规划的图解法解决简单的线性规划问题.(直观想象、逻辑推理、数学运算)3.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系.(直观想象、逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.什么是线性规划?线性规划的基本概念有哪些?2.如何求目标函数的最值?
1.线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x,y组成的不等式组
线性约束条件
由x,y的一次不等式组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的函数解析式
线性目标函数
关于x,y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x,y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
(1)线性目标函数的最优解一定存在吗?
提示:不一定.当可行域是开放区域,可行域的边界取不到时可能没有最优解.
(2)可行域右上方的顶点一定是最优解吗?
提示:不一定.要根据目标函数对应的直线特点,即在y轴上的截距的意义确定.
(3)在线性约束条件下,最优解唯一吗?
提示:不一定,可能只有一个,可能有多个,也可能有无数个.
2.线性目标函数的最值
线性目标函数z=ax+by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y=-x+,它表示斜率为-,在y轴上的截距是的一条直线,当z变化时,方程表示一组互相平行的直线.
当b>0,截距最大时,z取得最大值,截距最小时,z取得最小值;
当b<0,截距最大时,z取得最小值,截距最小时,z取得最大值.
(1)若将目标函数z=x+y看成直线方程时,z具有怎样的几何意义?
提示:把目标函数整理可得y=-x+z,z为直线在y轴上的截距.
(2)z值的大小与直线2x-y-z=0的纵截距有何关系?
提示:z随直线的纵截距的增大而变小.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)若线性规划问题存在最优解,它只能在可行域的某个顶点达到.( )
(2)线性目标函数的最优解是唯一的.( )
(3)若目标函数为z=x-y,则z的几何意义是直线z=x-y的截距. ( )
提示:(1)×.存在最优解,但不一定只在顶点达到.
(2)×.最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.
(3)×.z的几何意义是直线z=x-y的截距的相反数.
2.设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是( )
A.-15
B.-9
C.1
D.9
【解析】选A.画出约束条件
所表示的可行域如图所示,
将z=2x+y化为y=-2x+z,得到斜率为-2,
在y轴上的截距为z的一族平行直线.
由图可知,当直线经过可行域上的点C时,截距z最小,
由解得
所以C(-6,-3),
所以zmin=2×(-6)-3=-15.
3.(教材二次开发:习题改编)若则z=x-y的最大值为 .?
【解析】根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示.
令z=0,作直线l:y-x=0.
当直线l向下平移时,所对应的z=x-y的函数值随之增大,
当直线l经过可行域的顶点M时,z=x-y取得最大值.
顶点M是直线x+y=1与直线y=0的交点,解方程组得顶点M的坐标为(1,0),
代入z=x-y,得zmax=1.
答案:1
关键能力·合作学习
类型一 线性目标函数的最值问题(直观想象、逻辑推理、数学运算)
1.(2019·浙江高考)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是( )
A.-1
B.1
C.10
D.12
2.若x,y满足约束条件则z=4x+2y的最小值为( )
A.-17
B.-13
C.
D.20
3.(2020·全国Ⅲ卷)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .?
【解析】1.选C.由线性约束条件可得可行域为图中阴影部分所示:
由解得所以A(2,2),
所以zmax=3×2+2×2=10.
2.选B.该可行域是一个以A,B(4,2),
C为顶点的三角形区域(包括边界).
当动直线y=-2x+过点C时,z取得最小值,
此时z=4×+2×=-13.
3.不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界),
因为z=3x+2y,所以y=-+,易知截距越大,则z越大,平移直线y=-,
当y=-+经过A点时截距最大,此时z最大,
由,得,A(1,2),
所以zmax=3×1+2×2=7.
答案:7
解线性规划问题的一般步骤
(1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by);
(2)移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;
(3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值;
(4)答:给出正确答案.
【补偿训练】
1.若实数x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是( )
A.0
B.1
C.6
D.7
【解析】选C.作出实数x,y满足的约束条件
对应的平面区域如图:(阴影部分).
由z=x+y得y=-x+z,平移直线y=-x+z,
由图象可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大.
由解得A.
代入目标函数z=x+y得z=+=6.
即目标函数z=x+y的最大值为6.
2.已知(x0,y0)为线性区域内的一点,若2x0-y0-c<0恒成立,则c的取值范围是( )
A.(2,+∞)
B.[2,+∞)
C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
【解析】选A.由已知得到可行域D如图,由图可知,
对任意(x0,y0)∈D,不等式2x0-y0-c<0恒成立,
即c>2x-y恒成立,即c>(2x-y)max,
当直线z=2x-y经过图中B(1,0)时,z最大为2,所以c>2.
3.(2018·北京高考)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是 .?
【解析】x+1≤y≤2x等价于不等式组画出可行域如图,令z=2y-x,化为斜截式得y=x+z,直线斜率为,在y轴上的截距为z,
直线越往下,z越小,z越小,
由得最优解为(1,2),
所以z=2y-x的最小值为3.
答案:3
类型二 线性规划中的参数问题(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
【典例】1.x,y满足约束条件,若z=kx+y取得最大值的最优解有无数个,则实数k的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.-1或0
2.若x,y满足且2x+y的最小值为1,则实数m的值为( )
A.-5
B.-1
C.1
D.5
【思路导引】1.利用目标函数与可行域边界平行求解.
2.作出可行域,用m表示最优解,利用最小值求m的值.
【解析】1.选A.不等式组对应的平面区域如图:
由z=kx+y得y=-kx+z,
当k=0时,直线y=-kx+z=z,此时取得最大值的最优解只有一个,不满足条件;
当-k>0时,直线y=-kx+z截距取得最大值时,z取得最大值,直线与x=y重合时,最大值有无数个,则-k=1,解得k=-1;当-k<0时,目标函数的最优解只有一个,不满足题意.
2.选B.画出满足条件的平面区域,如图所示:
由,解得A(2m+3,m),
设z=2x+y,则y=-2x+z,
显然直线过A(2m+3,m)时,z最小,
所以4m+6+m=1,解得:m=-1.
数形结合求解参数问题
首先要熟练线性规划问题的求解步骤和确定最优解的方法,其次要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界处取得,对边界直线的斜率与目标函数对应的直线的斜率要对照分析.
1.已知x,y满足约束条件若目标函数z=mx+y的最大值为-2,则实数m的值为( )
A.3
B.-3
C.3或-3
D.0或3
【解析】选B.不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.
由题意得m+1=-2,得m=-3.
2.设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=( )
A.-5
B.3
C.-5或3
D.5或-3
【解析】选B.当a=-5时,作出不等式组表示的可行域,如图甲(阴影部分).
由得交点A(-3,-2),
则目标函数z=x-5y过A点时取得最大值.
zmax=-3-5×(-2)=7,不满足题意,排除A,C选项.
当a=3时,作出不等式组表示的可行域,如图乙(阴影部分).
由得交点B(1,2),
则目标函数z=x+3y过B点时取得最小值.zmin=1+3×2=7,满足题意.当a=5时,同理可求当过C(2,3)时,z最小为17,不符合题意故排除D.
3.如图所示的平面区域,若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值为 .?
【解析】因为z可看作是z=ax+y在y轴上的截距,
由可行域可知,当z=ax+y与AC重合时,使z取得最大值的点有无穷多个,又kAC==-,所以-a=-,a=.
答案:
【拓展延伸】
1.含参数的线性目标函数问题的求解策略
(1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的,应分情况作出可行域,结合条件求出不同情况下的参数值.
(2)目标函数中含有参数:此时目标函数对应的直线是可变的,如果斜率一定,则对直线作平移变换;如果斜率可变,则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置,从而求出参数的值.
2.直线的斜率k与倾斜角α的关系
(1)0(2)k1即当斜率同为正或同为负时,均满足斜率越大,倾斜角越大,可以通过斜率来比较目标函数与边界倾斜程度的大小,从而确定最优解的位置.
【拓展训练】
(1)设x,y满足不等式组若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由约束条件作出可行域如图所示,
则A(1,1),B(2,4),
由z=ax+y得y=-ax+z,直线y=-ax+z是斜率为-a,y轴上的截距为z的直线,
因为z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,
所以直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,
经过点A时取得最小值为a+1,
若a=0,则y=z,此时满足条件;
若a>0,则目标函数斜率k=-a<0,
要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满足-a≥kAC=-2,即0若a<0,则目标函数斜率k=-a>0,
要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满足-a≤kBC=,
即-≤a<0,
综上-≤a≤2.
(2)已知约束条件且目标函数z=a2x+(a-2-a2)y取得最小值的最优解唯一,为(2,2),则a的取值范围是 .?
【解析】线性约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示.
由于目标函数y的系数a-2-a2=--<0,x的系数a2≥0,
故平行直线系z=a2x+(a-2-a2)y的斜率>0.
由于是最小值问题且最优解唯一,为图中的点A(2,2),
从而只需<,解得答案:
【补偿训练】
(1)若x,y满足约束条件且z=ax+y的最大值为2a+6,则a的取值范围是( )
A.[-1,+∞)
B.(-∞,-1]
C.(-1,+∞)
D.(-∞,-1)
【解析】选A.作出不等式组对应的平面区域如图,(阴影部分).
由z=ax+y,得y=-ax+z,平移直线y=-ax+z,要使z=ax+y的最大值为2a+6,
即直线y=-ax+z经过点A(2,6)时,截距最大,
则目标函数的斜率-a满足-a≤1,解得a≥-1.
(2)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k= .?
【解析】作出可行域如图阴影部分所示:
由图可知当0≤-k<时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时,z最大,
所以4k+4=12,解得k=2(舍去);
当-k≥时,直线y=-kx+z经过点(0,2)时,z最大,
此时z的最大值为2,不合题意;
当-k<0时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时,z最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合题意.
综上可知,k=2.
答案:2
类型三 非线性目标函数的最优解问题(逻辑推理、数学运算、数学建模)
角度1 转化为距离问题
【典例】设x,y满足约束条件,则z=(x+1)2+y2的最大值为( )
A.41
B.5
C.25
D.1
【思路导引】z=(x+1)2+y2=,转化为求(x,y),(-1,0)两点之间的距离的平方.
【解析】选A.根据x,y满足约束条件,画出可行域:
z=(x+1)2+y2=表示D(-1,0)到可行域内某点的距离的平方,由解得A(3,5),
当点D与点A(3,5)连线时,AD距离最大,
则z=(x+1)2+y2的最大值是A(3,5)到D(-1,0)的距离的平方为41.
本例的条件不变,试求z=(x+1)2+y2的最小值.
【解析】由本例中的可行域可知,z=(x+1)2+y2的最小值为点(-1,0)到直线x+y=0距离的平方,
故所求的最小值为=.
角度2 转化为斜率问题
?
【典例】已知实数x,y满足不等式组则z=的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
【思路导引】作出不等式组对应的平面区域,把所求问题转化为(x,y),(-3,0)两点之间的斜率即可得到结论.
【解析】选C.如图,阴影部分为可行域,
目标函数z=表示可行域中点(x,y)与(-3,0)连线的斜率,由图可知点P(1,3)与(-3,0)连线的斜率最大,故z的最大值为.
已知实数x,y满足,则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选D.作出实数x,y满足对应的平面区域如图:
的几何意义是区域内的点到定点D(-3,0)的斜率,由图象知DA的斜率最大,
由得A(-2,1),
则DA的斜率k==1,则的最大值为1.
角度3 转化为点到直线的距离问题
【典例】已知求z=|x+2y-4|的最大值.
【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
方法一:z=|x+2y-4|=×,其几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.
由得点C的坐标为(7,9),显然点C到直线x+2y-4=0的距离最大,此时zmax=21.
方法二:由图可知,阴影区域(可行域)内的点都在直线x+2y-4=0的上方,显然此时有x+2y-4>0,
于是目标函数等价于z=x+2y-4,
显然当直线经过点C时,z取得最大值,由得点C的坐标为(7,9),此时zmax=21.
非线性目标函数的最值的求解策略
(1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)距离的平方;特别地,z=x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.
(2)z=型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.
(3)z=|Ax+By+C|可转化为点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的倍.
易错警示:目标函数z=x2+y2的几何意义易错误理解为可行域内的点到原点的距离.
1.已知实数x,y满足约束条件,则目标函数z=的最小值为( )
A.-
B.-
C.-
D.-
【解题指南】变形:=,转化为两点连线的斜率求最小值.
【解析】选B.作出不等式组对应的平面区域如图:
目标函数z=的几何意义为可行域内的动点M(x,y)和定点D(-1,2)连线的斜率,
当M位于A时,DA的斜率最小,
此时zmin==-.
2.实数x,y满足不等式组则W=的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示,
目标函数W=表示阴影部分的点与定点A(-1,1)的连线的斜率,
由图可知点(-1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值,最大值趋近于1,但永远达不到1,故-≤W<1.
3.已知实数x,y满足约束条件则z=|3x-4y-12|的最小值等于 .?
【解析】实数x,y满足约束条件其可行域为如图所示的阴影部分.
由z=|3x-4y-12|的几何意义是可行域内的点到直线3x-4y-12=0的距离的5倍,
由可行域可知,B到直线3x-4y-12=0的距离最小,且B(2,0),则z=|3x-4y-12|的最小值为:|3×2-4×0-12|=6.
答案:6
课堂检测·素养达标
1.(教材二次:开发练习改编)若x,y满足则z=x+3y的最小值为( )
A.-6
B.-1
C.3
D.4
【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域:
得到如图的阴影部分,
其中A(2,-1),设z=F(x,y)=x+3y,
将直线l:z=x+3y进行平移,观察直线在y轴上的截距的变化,可得当l经过点A时,目标函数z达到最小值.所以z最小值=F(2,-1)=-1.
2.已知实数x,y满足则z=x+2y的最大值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示,
由目标函数z=x+2y的几何意义,得平移直线x+2y=0经过点(0,2)时,z=x+2y取得最大值,
所以zmax=4.
3.已知实数x,y满足,则z=x2+y2的最大值等于( )
A.2
B.2
C.4
D.8
【解析】选D.根据实数x,y满足,画出可行域:
z=x2+y2表示O(0,0)到可行域内的点的距离的平方,由解得B(2,2),
则z=x2+y2的最大值是B(2,2)到O(0,0)的距离的平方为8.
4.已知点(x,y)满足不等式组,若z=2x-y的最大值为5,则a= .?
【解析】当a<1时,不等式组,
表示的区域不存在;当a≥1时,不等式组,表示的区域如图所示,
目标函数化为y=2x-z,z取最大值时,截距-z最小.对比斜率,可得z取最大值时的最优解为(a,a),代入,得2a-a=5,可得a=5.
答案:5
5.设z=2y-2x+5,其中x,y满足约束条件
求z的最大值和最小值.
【解析】作出满足约束条件的可行域,如图中阴影部分所示,
平移直线2y-2x=0,
当其经过点A(-1,-1)时,
z取得最大值,zmax=2×(-1)-2×(-1)+5=5,
当其经过点C(0,-2)时,z取得最小值,
zmin=2×(-2)-2×0+5=1.
【新情境·新思维】
设点Q为所表示的平面区域内的动点,若在上述区域内满足x2+y2最小时所对应的点为P,则与(O为坐标原点)的夹角的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.作出不等式组所对应的可行域(如图阴影),
过原点作直线x+y-1=0的垂线,垂足即为点P,
由图可得,与(O为坐标原点)的夹角的最大值为∠AOP=或者∠BOP=,最小值为0,所以与(O为坐标原点)的夹角的取值范围为.
PAGE第2课时 简单线性规划的应用
学习目标
1.能从实际问题中抽象出线性规划问题,并加以解决.(数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算)2.会求解线性规划的最优整数解问题.(数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算).
关键能力·合作学习
类型一 线性规划的实际应用问题(数学抽象、数学建模、数学运算)
【典例】某家具厂有木料90
m3,五合板600
m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要木料0.1
m3,五合板2
m2,生产每个书橱需要木料0.2
m3,五合板1
m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.怎样安排生产可使所获利润最大.
【思路导引】可先设出变量,写出目标函数和约束条件,转化为线性规划问题来求解.
【解析】设生产书桌x张,生产书橱y个,利润为z元,则目标函数为z=80x+120y,根据题意知,
约束条件为即画出可行域为如图所示对应的整数点,
作直线l:80x+120y=0,并平移直线l,
由图可知,当直线l过点C时,z取得最大值,
解得C(100,400),
所以zmax=80×100+120×400=56
000,
即生产100张书桌,400个书橱,可获得最大利润.
(变结论)例题中的条件不变,如果只安排生产书桌可获利润多少?如果只安排生产书橱呢?
【解析】(1)若只生产书桌,则y=0,此时目标函数z=80x,
由例题解析图可知zmax=80×300=24
000,
即只生产书桌,可获利润24
000元.
(2)若只生产书橱,则x=0,此时目标函数z=120y,
由例题解析图可知zmax=120×450=54
000,
即只生产书橱,可获利润54
000元.
线性规划的实际问题的数学模型
(1)列表定条件:需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件.
(2)定目标函数:写出所研究的目标函数.
(3)数形结合求最值:解线性规划应用题时,先转化为简单的线性规划问题,再按作图、平移、求值的步骤完成即可.
【补偿训练】
某公司生产A,B两种产品,其中生产每吨A产品,需要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨,生产每吨B产品,需要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨,如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/吨,设公司计划一天内安排生产A产品x吨,B产品y吨.
(1)用x,y列出满足条件的数学关系式,并在如图所示的坐标系中画出相应的平面区域;
(2)该公司每天需生产A,B产品各多少吨可获得最大利润,最大利润是多少?
【解析】(1)由题意可得,
可行域如图所示.
(2)设利润z=300x+200y,
由可得x=40,y=10,
结合图形可得x=40,y=10时,zmax=14
000.
答:该公司每天需生产A,B产品分别为40吨,10吨可获得最大利润,最大利润为14
000元.
【拓展延伸】
解答线性规划应用题的一般步骤
(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的变量比较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来理顺.
(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.
(3)求解——利用线性规划求解.
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答.
【拓展训练】
某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个.现有两种规格的原料,甲种规格每张3
m2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个;乙种规格每张2
m2,可做文字标牌2个,绘画标牌1个,求这两种规格的原料各用多少张,才能使得总用料面积最小.
【解题指南】可先设出变量,写出目标函数和约束条件,转化为线性规划问题来求解.
【解析】设需要甲种原料x张,乙种原料y张,则可做文字标牌(x+2y)个,绘画标牌(2x+y)个,
由题意可得
所用原料的总面积为z=3x+2y,可行域为如图阴影部分对应的整数点.
在一组平行直线z=3x+2y中,经过可行域内的点且在y轴上截距最小的直线过直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点(2,1),所以最优解为x=2,y=1.
所以使用甲种规格原料2张,乙种规格原料1张,可使总的用料面积最小.
类型二 线性规划中的最优整数解问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】某校今年计划招聘女教师x人,男教师y人,若x,y满足
(1)在如图所示的坐标系中作出可行域;
(2)求该学校今年计划招聘的教师人数最多多少人?最少多少人?
四步
内容
理解题意
条件:已知线性约束条件,结论:(1)作出可行域;(2)计划招聘的教师人数最多多少人?最少多少人?
思路探求
作出可行域,求出可行域内满足条件的整点.
书写表达
(1)作出不等式组对应的平面区域为如图阴影部分对应的整数点:(注:图中直线2x-y=5和x=6为虚线)(2)设z=x+y,则y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大.但此时z最大值取不到,由图象可知当直线经过整点E(5,4)时,z=x+y取得最大值,经过点F(4,2)时,z=x+y取得最小值.代入目标函数z=x+y,得zmax=5+4=9,zmin=4+2=6.故该学校今年计划招聘的教师人数最多9人,最少6人.
题后反思
当边界的交点不是可行域内的点时,需要另外求区域内的整数解,一般在交点的附近.
寻找整点最优解的三种方法
(1)平移找解法:先打网格,描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点便是最优整点解,这种方法应充分利用整点最优解的信息,结合精确的作图才行,当可行域是有限区域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.
(2)小范围搜寻法:将求出的非整点最优解附近的整点都求出来,代入目标函数,直接求出目标函数的最大(小)值.
(3)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再调整最优值,最后筛选出整点最优解.
某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车,4辆载重量为10吨的B型卡车,有9名驾驶员.在建筑某段高速公路的工程中,此公司承包了每天运送360吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返次数为:A型车8次,B型车6次,每辆卡车每天往返的成本费为:A型车160元,B型车280元.每天派出A型车与B型车各多少辆时,公司花的成本费最低?
【解析】设公司每天所花成本费为z元,
每天派出A型车x辆,B型车y辆,
则z=160x+280y,x,y满足的约束条件为
作出不等式组的可行域为如图阴影部分对应的整数点.
作直线l:160x+280y=0,即l:4x+7y=0.
将l向右上方移至l1位置时,直线l1经过可行域上的M点,由图可知此时z取得最小值.
由方程组解得
但y=0.4不是整数,故取x=7,y=1,此时z取得最小值.所以,当每天派出A型车7辆、B型车1辆时,公司所花费用最低.
【拓展延伸】
在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等),而直接根据约束条件得到的不一定是整数解,可以运用枚举法验证求最优整数解,或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个,应具体情况具体分析.
调整优值法时,先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程知识调整最优值,最后筛选出最优解.
【拓展训练】
某人有楼房一幢,室内面积共180
m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间18
m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房间每间15
m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间需1
000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8
000元用于装修,且游客能住满客房,则他应隔出大房间和小房间各多少间,才能获得最大收益?
【解析】设隔出大房间x间,小房间y间,获得收益为z元,则即
则目标函数为z=200x+150y=50(4x+3y),
作出不等式组表示的平面区域,即可行域,
如图中阴影部分内的整点.
作直线l:4x+3y=0,
当直线l经过平移过点A时,4x+3y取得最大值,
由于A点的坐标不是整数,而x,y∈N,所以点A不是最优解.调整最优解:
由x,y∈N,知4x+3y≤37.
令4x+3y=37,即y=,
代入约束条件①②,解得≤x≤3.
由于x∈N,得x=3,但此时y=?N.
再次调整最优解:令4x+3y=36.即y=,
代入约束条件①②,解得0≤x≤4(x∈N).
当x=0时,y=12;
当x=1时,y=10;
当x=2时,y=9;
当x=3时,y=8;
当x=4时,y=6.
所以最优解为(0,12)和(3,8),这时zmax=1
800.
答:应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间,可以获得最大收益.
【补偿训练】
两类药片有效成分如表:
成分药品
阿司匹林/mg
小苏打/mg
可卡因/mg
每片价格/元
A(1片)
2
5
1
0.1
B(1片)
1
7
6
0.2
若要求至少提供12
mg阿司匹林,70
mg小苏打,28
mg可卡因,两类药的最小总数是多少?怎样搭配价格最低?
【解析】设需用A和B两种药品分别为x片和y片,药品总数为z片,价格为L元.
由题意,得约束条件
线性目标函数为:药品总数z=x+y.
价格L=0.1x+0.2y.
由不等式组作可行域如图,取阴影部分的整点,
作直线l0:x+y=0,平移直线l0到l位置,l经过点A时z有最小值.由
解得点A坐标为.
而点A不是整数点,故不能作为最优解.
此时,过点A的直线为lA:x+y=,可行域内与直线lA距离最近的整点有(1,10),(2,9),(3,8),使zmin=11,即药品总数为11片,而相应价格为L1=0.1×1+0.2×10=2.1,L2=0.1×2+0.2×9=2.0,
L3=0.1×3+0.2×8=1.9,其中的L3最小,
所以Lmin=1.9(元),所以药品最小总数为11片,其中3片A种药、8片B种药搭配的价格最低.
类型三 线性规划的综合应用(数学抽象、逻辑推理、数学建模)
角度1 与向量相关的问题
【典例】已知向量a=(1,3),b=(x,y),且变量x,y满足则z=a·b的最大值为 .?
【思路导引】利用向量运算确定目标函数后求最值.
【解析】由变量x,y满足作出可行域如图,
联立
解得A,
因为向量a=(1,3),b=(x,y),
所以z=a·b=x+3y,
化为y=-x+,由图可知,
当直线y=-x+过A时,
直线在y轴上的截距最大,z有最大值为6.
答案:6
本例中若a=(2,1),试求z=a·b的最小值.
【解析】z=a·b=2x+y,即y=-2x+z,
则当直线l:y=-2x+z平移到点(0,0)时,z取得最小值zmin=2×0+0=0.
角度2 与方程的根有关的问题?
【典例】一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则a+2b-3的值域为 .?
【思路导引】根据一元二次方程根的分布,利用对应的函数在区间端点处取值正负确定限制条件,再利用线性规划求值域.
【解析】根据题意,令f(x)=x2+ax+b,
由方程x2+ax+b=0的一个根在(0,1)内,
另一个根在(1,2)内,
则有画出对应的可行域,
如图所示,
△ABC的区域(不含边界).
其中,A(-1,0)、B(-2,0)、C(-3,2),令z=a+2b-3,
当a=-2,b=0时,z=(-2)-3=-5,取得最小值,
当a=-3,b=2时,z=(-3)+2×2-3=-2,取得最大值;故a+2b-3的值域为(-5,-2).
答案:(-5,-2)
已知一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在[-2,-1]内,另一个根在[1,2]内,求a+b的取值范围.
【解析】设f(x)=x2+ax+b,因为一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在[-2,-1]内,另一个根在[1,2]内,
所以即
作出不等式组对应的平面区域如图:
则以a,b为坐标轴的点(a,b)的存在区域为四边形ABCD及其内部,设z=a+b,
即b=-a+z,
平移直线b=-a+z,
由图象知当直线b=-a+z经过点B(0,-4)时,直线b=-a+z的截距最小,此时z最小,z=0-4=-4,当直线b=-a+z与直线CD:a+b+1=0重合时,
直线b=-a+z的截距最大,此时z=-1,
即-4≤z≤-1,即a+b的取值范围是[-4,-1].
1.与向量有关的问题
向量一般作为工具,利用向量的运算可得目标函数或限制条件,再利用线性规划知识解题.
2.与方程的根有关的问题
若已知一元二次方程根的分布,可利用对应的二次函数求约束条件,方程的根即函数的零点,根据零点的位置,转化为区间端点处函数的正负,即为约束条件.
1.设x,y满足约束条件向量a=(2x,1),b=(1,m-y),则满足a⊥b的实数m的最小值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.由向量a=(2x,1),b=(1,m-y),a⊥b,得m=y-2x,根据约束条件画出可行域,
因为m=y-2x,所以y=2x+m,将m的最小值转化为直线y=2x+m在y轴上的截距,
当直线y=2x+m经过点A时,m最小,
由解得A,所以满足a⊥b的实数m的最小值为:-2×+=-.
2.已知α,β是方程x2+ax+2b=0的两根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a,b∈R,求的最大值和最小值.
【解析】因为所以
因为0≤α≤1,1≤β≤2,所以1≤α+β≤3,0≤αβ≤2,
所以
建立平面直角坐标系aOb,则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.
令k=,可以看成动点P(a,b)与定点A(1,3)的连线的斜率.
因为kAB=,kAC=,
所以≤≤.
故的最大值是,最小值是.
课堂检测·素养达标学
1.(教材二次开发:例题改编)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1
600元/辆和
2
400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( )
A.31
200元
B.36
000元
C.36
800元
D.38
400元
【解析】选C.设租用A型车x辆,B型车y辆,目标函数为z=
1
600x+2
400y,则约束条件为
作出可行域,如图中阴影部分所示,
可知目标函数过点(5,12)时,有最小值zmin=36
800(元).
2.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表:
a
b/万吨
c/百万元
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为 百万元.?
【解析】设购买A,B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨,购买铁矿石的费用为z百万元,则z=3x+6y.由题意,约束条件为
作出可行域,如图所示,由图可知,目标函数z=3x+6y在点A(1,2)处取得最小值zmin=3×1+6×2=15.
答案:15
3.已知点A(3,-1),点P(x,y)满足线性约束条件O为坐标原点,则在方向上的投影的取值范围为 .?
【解析】因为A(3,-1),P(x,y),
所以在方向上的投影为||cos<,>==(3x-y).
由约束条件作出可行域如图,
令z=3x-y,平移直线y=3x过C(0,5)时,z有最小值为-5,平移直线y=3x过B(2,1)时,z有最大值为5,
所以在方向上的投影的取值范围为.
答案:
4.某加工厂准备生产甲、乙两种产品,已知生产一件甲产品需用原料A和原料B的量分别为4
kg和3
kg,生产一件乙产品需用原料A和原料B的量分别为5
kg和10
kg.若生产一件甲产品可获利700元,生产一件乙产品可获利1
200元.该厂月初一次性购进原料A,B的量分别为200
kg和300
kg.问该厂生产甲、乙两种产品各多少件才能使该厂月利润最大,最大利润为多少?
【解析】设甲、乙两种产品分别生产x,y件,工厂获得的利润为z元,由已知条件可得二元一次不等式组:
目标函数为z=700x+1
200y,作出可行域如图,
由可得A(20,24),利用线性规划可得x=20,y=24时,该厂的月利润最大为z=700×20+1
200×24=
42
800(元),
该厂生产甲、乙两种产品分别为20件,24件才能使该厂月利润最大,最大利润为42
800元.
【新情境·新思维】
若实数x,y满足约束条件则z=ln
y-ln
x的最大值是 .?
【解析】由实数x,y满足约束条件作出可行域如图,
联立,解得A(1,3),
由z=ln
y-ln
x=ln,而的最大值为kOA=3,
所以z=ln
y-ln
x的最大值是ln
3.
答案:ln
3
PAGE3.4 基本不等式:≤
第1课时 基本不等式
必备知识·自主学习
导思
1.重要不等式指的是什么?2.什么是基本不等式?
1.重要不等式
(1)范围:a,b∈R;
(2)公式:a2+b2≥2ab;
(3)等号成立:当且仅当a=b时,等号成立.
(1)你能证明重要不等式吗?
提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
(2)如果a>0,b>0,用,分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎样的不等式?
提示:a+b≥2.
2.基本不等式
范
围
a>0,b>0
公 式
≤
等号成立
当且仅当a=b时,等号成立
文字叙述
正数a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数
(1)为什么基本不等式中规定a,b∈(0,+∞)?
提示:若a,b中至少含有一个0,则无研究的意义;
若一正一负,则无意义;
若两个都是负的,则为负,为正,不等式不成立.
(2)≥与≥ab是等价的吗?
提示:不等价,前者条件是a>0,b>0,后者是a,b∈R.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)对于任意的实数a,b,一定有a2+b2≥(a+b)2.( )
(2)当x∈(0,π),函数f(x)=sin
x+的最小值为6.( )
(3)函数f(x)=x2+的最小值为18.( )
提示:(1)√.2a2+2b2=a2+b2+(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,所以原不等式成立.
(2)×.sin
x=,sin2x=9不成立,故函数的最小值不为6.
(3)√.f(x)=x2+≥2=18,当且仅当x2=,x=±3时,等号成立.
2.(教材二次开发:练习改编)已知x>0,则x+的最小值为( )
A.
B.1
C.
D.
【解析】选D.因为x>0,所以x+≥2=,
当且仅当x=,即x=时取“=”.
所以x+的最小值为.
3.当且仅当x=________时,函数y=4x+(x>0)取得最小值.?
【解析】由于x>0,由基本不等式可得y=4x+≥2=4,
当且仅当4x=(x>0),即当x=时,等号成立.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 对基本不等式的理解(数学抽象、逻辑推理)
1.给出下面四个推导过程:
①因为a>0,b>0,所以+≥2=2;
②因为x>0,y>0,所以lg
x+lg
y≥2;
③因为a∈R,a≠0,所以+a≥2=4;
④因为x,y∈R,xy<0,所以+=
-≤-2·=-2.
其中正确的推导为( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
【解析】选D.①由于a,b均为正实数,所以,均为正实数,符合基本不等式的条件,故①推导正确;②虽然x,y均为正实数,但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时,lg
x或lg
y是负数,所以②的推导过程错误;③由于a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,所以+a≥2=4错误;④由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,,均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.
2.给出下列命题:
(1)若x≠0,则x+≥2;
(2)若0x+≥2;
(3)若a<0,b<0,则ab+≥2;
(4)不等式+≥2成立的条件是x>0且y>0.
其中正确命题的序号是________.?
【解析】只有当x>0时,才能由基本不等式得到x+≥2=2,故(1)错;当0x>0,且cos
x·=1,cos
x+≥2=2,
当且仅当cos
x=,即x=0时取等号,但因为00,由基本不等式可得ab+≥2=2,当且仅当ab=1时取等号,故(3)正确;由基本不等式可知,当>0,>0时,有+≥
2=2成立,这时只需x与y同号即可,故(4)错误.
答案:(3)
关于基本不等式的应用
(1)考查是否满足公式应用条件,即a>0,b>0;
(2)若涉及最值,则需验证等号是否成立.
(3)在理解基本不等式时,要从形式到内含中理解,特别要关注条件.
【补偿训练】
下列四个推导过程,正确的是________.?
①对于x≠0,都有+≥2=2;
②因为+≥2=2,故最小值为2;
③因为7x+7-x≥2=2,故最小值为2;
④若ab>0,则+≥2=2故最小值为2.
【解析】对于①:当x<0时,不成立;
对于②:+≥2,
当且仅当=,
即求出x2+2=1,此时x无解,故②不成立;
对于③:7x+7-x≥2=2,
当且仅当7x=7-x,即x=0时取等号,成立;
对于④:因为ab>0,则>0,>0,
所以+≥2=2,当且仅当a=b时取等号,成立.
答案:③④
类型二 利用基本不等式求最值(逻辑推理、数学运算、数学建模)
【典例】1.已知x>-1,则x+的最小值是( )
A.1
B.3
C.4
D.5
2.若x<0,函数f(x)=12x+的最大值为________.?
3.已知a,b∈R,且a+3b-2=0,则2a+8b的最小值为______.?
【思路导引】1.构造定值后利用基本不等式.
2.将x变成正数后利用基本不等式求最值.
3.先利用基本不等式,再利用已知条件代入.
【解析】1.选B.x>-1,即x+1>0,
则x+=(x+1)+-1
≥2-1=3,
当且仅当x=1时,取得等号,可得最小值为3.
2.因为x<0,所以-x>0,
所以f(x)=12x+=-
≤-2=-12,
当且仅当-12x=,x=-时,等号成立.
答案:-12
3.因为a+3b-2=0,所以a+3b=2,
所以2a+8b≥2=2=4,
当且仅当a=1,b=时取等号.
答案:4
利用基本不等式求最值的策略
1.已知a>0,则a+的最小值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.a>0,则a+=a+-1≥2-1=3,当且仅当a=即a=2时取等号,此时取得最小值3.
2.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( )
A.最大值为0
B.最小值为0
C.最大值为-4
D.最小值为-4
【解析】选C.因为x<0,
所以f(x)=--2≤-2-2=-4,
当且仅当-x=,即x=-1时取等号.
3.函数y=x2+的最小值是________.?
【解析】y=x2+=x2+1+-1
≥2-1=2-1,
当且仅当x2=-1时取等号.
答案:2-1
【拓展延伸】利用基本不等式求解最值及恒成立问题时,注意最值求解与恒成立问题的相互转化.
【拓展训练】
设a>0,若关于x的不等式x+≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为______.?
【解析】在(1,+∞)上,x+=x-1++1≥
2+1=2+1,当且仅当x=1+时取等号,由题意知2+1≥5.所以≥2,即a≥4,即a的最小值为4.
答案:4
【补偿训练】
1.若对任意的x∈(0,+∞),都有x+≥a,则a的取值范围是( )
A.(-∞,2)
B.(-∞,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
【解析】选B.由x∈(0,+∞),可得x+≥2,故a≤2.
2.已知x>0,y>0,若不等式(2x+y)≥18恒成立,则正数m的最小值
是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.因为x>0,y>0,m>0;
所以(2x+y)
=2m+2++≥2m+2+4,
因为不等式(2x+y)≥18恒成立,
所以2m+2+4≥18,即(+4)(-2)≥0,
解得≥2,所以m≥4.
类型三 基本不等式的灵活应用(数学抽象、逻辑推理、数学建模)
角度1 基本不等式变形式的应用?
【典例】1.已知实数x,y满足2x+y=4,则xy的最大值是( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【思路导引】由已知可得,y=4-2x,代入xy=×2x(4-2x),然后利用基本不等式即可求解.
【解析】选D.2x+y=4,则y=4-2x,xy=×2x(4-2x)≤×=2,当且仅当2x=4-2x即x=1时取等号,此时取得最大值2.
2.已知0【思路导引】对式子变形使和为定值.
【解析】因为00,
y=×2x(1-2x)≤=×=,
所以当且仅当2x=1-2x,
即x=时取等号,此时ymax=.
1.已知0A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为0当且仅当5x=3-5x即x=时取最大值.
2.已知0【解析】由x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×=,当且仅当3x=3-3x,即x=时等号成立.
答案:
角度2 重要不等式及其应用?
【典例】已知实数a,b满足a2+b2=4,则ab的取值范围是( )
A.[0,2]
B.[-2,0]
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.[-2,2]
【思路导引】利用重要不等式求|ab|的范围.
【解析】选D.因为a2+b2=4;所以根据重要不等式得,4=a2+b2≥2|ab|,所以|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,所以ab的取值范围是[-2,2].
基本不等式的变形应用
(1)基本不等式的变形式ab≤可用来求乘积式的最大值.
(2)重要不等式a2+b2≥2ab可视为a2+b2≥2|ab|,
另外变形式≤≤≤(当且仅当a=b时等号成立)应用也很广.
1.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
A.a2+b2≥
B.2a-b>
C.log2a+log2b≥-2
D.+≤
【解析】选ABD.因为a+b=1,所以由2(a2+b2)≥(a+b)2(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2≥,故A项正确;由题意可得0,故B项正确;因为a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤,所以log2a+log2b≤log2=-2,故C项错误;由2(a+b)≥(当且仅当a=b时,等号成立),得+≤,故D项正确.
2.已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个数中最大的数是( )
A.
B.+
C.
D.
【解析】选B.a,b为互不相等的正实数,则+>,<=<,<=<,所以四个数中最大的数是+.
3.已知正实数x,y满足x+2y=4,则的最大值为________.?
【解析】因为x+2y=4,所以x+2y+2=6,
所以2x(y+1)=x(2y+2)≤=9,当且仅当x=2y+2时,即x=3,y=时取等号,
所以≤3,即的最大值为3.
答案:3
【拓展延伸】
(1)在使用基本不等式≤(a>0,b>0)时,要注意不等式的双向性:
①从左到右:常使用基本不等式的变形公式ab≤;
②从右到左:常使用a+b≥2.
(2)运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.
(3)特殊值法是解决不等式问题的一个有效方法,但要使特殊值具有一般性.
【拓展训练】
已知0【解析】方法一:因为a>0,b>0,所以a+b≥2,a2+b2≥2ab,所以四个数中最大的数应为a+b或a2+b2.又因为0方法二:令a=b=,则a+b=1,2=1,a2+b2=,2ab=2××=,
再令a=,b=,a+b=+=,
2=2=,所以a+b最大.
【补偿训练】
1.已知m=a+(a>2),n=22-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是______.?
【解析】因为a>2,所以a-2>0,又因为m=a+=(a-2)++2,所以m≥2+2=4,由b≠0,得b2≠0,
所以n=22-b2<4,
综上可知m>n.
答案:m>n
2.若a>b>1,P=,Q=(lg
a+lg
b),R=lg,则P,Q,R的大小关系是________.?
【解析】因为a>b>1,所以lg
a>lg
b>0,
所以Q=(lg
a+lg
b)>=P;
Q=(lg
a+lg
b)=lg+lg=lg答案:P3.已知a,b,c为不全相等的正实数.
求证:a+b+c>++.
【证明】因为a>0,b>0,c>0,所以a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0,所以2(a+b+c)≥2(++),即a+b+c≥++.
由于a,b,c为不全相等的正实数,故等号不成立.
所以a+b+c>++.
课堂检测·素养达标
1.不等式(x-2y)+≥2成立的条件为( )
A.x≥2y,当且仅当x-2y=1时取等号
B.x>2y,当且仅当x-2y=1时取等号
C.x≤2y,当且仅当x-2y=1时取等号
D.x<2y,当且仅当x-2y=1时取等号
【解析】选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x-2y>0,即x>2y,且等号成立时(x-2y)2=1,即x-2y=1.
2.设x>0,则y=3-3x-的最大值是( )
A.3
B.3-2
C.3-2
D.-1
【解析】选C.y=3-3x-=3-
≤3-2
=3-2,
当且仅当3x=,即x=时取等号.
3.
函数y=(x>-1)的值域为( )
A.R
B.(-∞,-9]∪[9,+∞)
C.[9,+∞)
D.[10,+∞)
【解析】选C.函数y==(x+1)++5≥2+5=9.当且仅当x=1时取等号,所以函数y的最小值为9,得其值域为[9,+∞).
4.已知函数f(x)=sin
x+,x∈,则函数f(x)最小值为( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选D.令t=sin
x,由x∈可得t∈,又y=t+≥2,当且仅当t=即t=1时取等号,所以函数f(x)的最小值为2.
5.若lg
x-lg
=2,则+的最小值是________.?
【解析】lg
x-lg
=2,即lg
x+lg
y=2,所以xy=100,
所以+≥2·=,当且仅当x=y=10时取等号.
答案:
6.(1)已知x<,求y=4x-2+的最大值;
(2)当x>3时,求函数y=的最小值;
(3)已知x>0,求f(x)=的最大值.
【解析】(1)因为x<,所以5-4x>0,
所以y=4x-2+
=-+3≤-2+3=1,
当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.
(2)令t=x-3,由于x>3,所以t>0,且x=t+3,所以有y==2≥2(2+6)=24,当且仅当t=3,即x=6时,函数取得最小值24.
(3)f(x)==.
因为x>0,所以x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时等号成立,
所以f(x)max=1.
PAGE第2课时 基本不等式的应用
键能力·合作学习
类型一 “1”代换求最值(逻辑推理、数学运算、数学建模)
1.已知mn>0,2m+n=1,则+的最小值是( )
A.4
B.6
C.8
D.16
【解析】选C.因为mn>0,2m+n=1,则+=(2m+n)=4++≥4+2=8,当且仅当=且2m+n=1即m=,n=时取等号,此时取得最小值8.
2.已知x+2y=xy(x>0,y>0),则2x+y的最小值为( )
A.10
B.9
C.8
D.7
【解析】选B.由x+2y=xy(x>0,y>0),可得+=1,则2x+y=(2x+y)=5++≥5+4=9,当且仅当=且+=1,即x=3,y=3时取等号,此时取得最小值9.
3.已知实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,则+的最小值是______.?
【解析】因为实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,
所以8a·2b=2,
所以23a+b=2,解得3a+b=1.
则+=(3a+b)=5++≥5+2=5+2,当且仅当b=a=-2时取等号.
答案:5+2
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为“1”.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
【补偿训练】
1.若a>0,b>0,2a+b=6,则+的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为a>0,b>0,2a+b=6,
则+=(2a+b)
=≥×(4+4)=,
当且仅当=且2a+b=6,
即a=,b=3时取得最小值.
2.已知x>0,y>0,2x-=-y,则2x+y的最小值为( )
A.
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.由x>0,y>0,2x-=-y,
可得2x+y=+,
即有(2x+y)2=(2x+y)
=10++≥10+2=18,
即有2x+y≥3,当且仅当y=2,x=时等号成立,故2x+y的最小值为3.
3.设正实数x,y满足x+2y=1,则+的最小值为( )
A.4
B.6
C.7
D.8
【解析】选B.由正实数x,y满足x+2y=1,得+=+=2++≥2+2=6,当且仅当=,即x=,y=时取等号,故+的最小值为6.
类型二 基本不等式的实际应用(数学运算、逻辑推理、数学建模)
【典例】某机械附件厂去年的年产量为10万件,每件产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件产品的固定成本g(n)元与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=.
若产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.
(1)求出f(n)的表达式;
(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?
四步
内容
理解题意
条件:(1)去年的年产量为10万件,每件产品的销售价格为100元,固定成本为80元.(2)今年起,工厂投入100万元科技成本.(3)计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.(4)预计产量每年递增1万件,每件产品的固定成本g(n)元与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=.结论:(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?
思路探求
(1)分别列出销量、每件产品的利润、科技成本投入后可得出f(n);(2)利用基本不等式求最值.
书写表达
(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为元,科技成本投入为100n万元.所以年利润为f(n)=(10+n)-100n(n∈N
).(2)由(1)知f(n)=(10+n)-100n,f(n)=1
000-80≤1
000-80×6=520(万元).当且仅当=,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.
题后反思
一般要理清销售量、售价、成本或其他投入;或者是销售量、每件产品的利润、其他投入.
应用基本不等式解决实际问题的思路和方法
(1)设:先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;
(2)建:建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;
(3)求:在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)写:正确写出答案.
某厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用m(万元)(m≥0)满足x=3-(k为常数),如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将2020年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大,并求出最大利润.
【解析】(1)由题意可知当m=0时,x=1,
所以1=3-k,所以k=2,所以x=3-,
每件产品的销售价格为1.5×,
所以2020年的利润y=x-(8+16x+m)
=4+8x-m=4+8-m
=-+29(m≥0).
(2)当m≥0时,+(m+1)≥2=8,
所以y≤-8+29=21,当且仅当=m+1,
即m=3时,ymax=21.
即该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.
【拓展延伸】基本不等式失效时求最值
在求最值的一些问题中,由于其中的等号取不到,此时不能应用基本不等式求最值,这时通常可以借助函数y=x+(k>0)的单调性求得函数的最值.对于函数y=x+(k>0),可以证明x∈(0,]及[-,0)上均为减函数,在[,+∞)及(-∞,-]上都是增函数.求此函数的最值时,若所给的范围含±,可用基本不等式,不包含±就用函数的单调性.
【拓展训练】
新余到吉安相距120千米,汽车从新余匀速行驶到吉安速度不超过120
km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示成速度v(km/h)的函数;并求出当a=50,b=时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;
(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当a=,b=,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.
【解析】(1)由题意可知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为,全程成本为y=(bv2+a)·=120(bv+),v∈(0,120];当a=50,b=时,
y=120≥240·=120(当且仅当v=100时取等号).
所以汽车应以100
km/h的速度行驶,能使得全程运输成本最小.
(2)当a=,b=时,y=120.
由对勾函数的单调性可知,当v=120时,y有最小值.
所以汽车应以120
km/h的速度行驶,才能使得全程运输成本最小.
类型三 基本不等式的综合应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)
角度1 转化为不等式求范围?
【典例】若a,b∈(0,+∞),ab=a+b+8,试求ab的范围.
【思路导引】利用a+b≥2,构造关于ab的不等式.
【解析】因为a,b∈(0,+∞),
所以ab=a+b+8≥2+8,即ab-2-8≥0,解得≥4,所以ab≥16.当且仅当a=b=4时取等号.
本例的条件不变,试求a+b的范围.
【解析】因为a,b∈(0,+∞),
所以a+b+8=ab≤,
即(a+b)2-4(a+b)-32≥0,解得a+b≥8,
当且仅当a=b=4时等号成立.
角度2 代入、构造求最值?
【典例】1.已知实数a>0,b>0,a+b=2,则+的最小值为( )
A.
B.
C.2
D.
【思路导引】利用a+b=2,把式子+中的b用a表示,再对式子变形.
【解析】选D.a>0,b>0,a+b=2,
则+=+=+-2,
=-2,
=-2≥×(5+4)-2=,
当且仅当=,即a=,b=时取等号,此时取得最小值.
2.已知正数a,b满足+=1,则+的最小值是( )
A.6
B.12
C.24
D.36
【思路导引】根据题意可以将+=1转化成a+b=ab,再将+通分转化即可得到9b+4a-13,最后利用1的代换求出9b+4a的最小值即可.
【解析】选B.因为a,b为正数,且+=1,所以a+b=ab,
所以+==
=9b+4a-13,因为9b+4a=(9b+4a)×1=(9b+4a)×=++13≥2+13=25,
当且仅当=,即a=,b=时取等号,
所以+=9b+4a-13≥12.
3.已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则的最大值为________.?
【解析】由a2-2ab+9b2-c=0,可得c=a2-2ab+9b2,
所以==
=≤=,
当且仅当=时,即当a=3b时,等号成立,
答案:
1.转化为解不等式求范围
涉及与ab、a+b等相关的式子,可以利用基本不等式转化为一元二次不等式,通过解不等式求范围,体现了整体转化思想的应用.
2.构造定值求最值
综合已知条件、要求的因式的特点,适当变形,构造出与要求因式相关的定值,再利用“1”的代换,整体构造等方法求最值.
1.已知正数x、y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是( )
A.1
B.3
C.6
D.12
【解析】选B.因为x2+2xy-3=0,所以y=,
所以2x+y=2x+=
=+≥2=3.
当且仅当=即x=1时取等号.
2.已知a>2,b>2,则+的最小值为( )
A.2
B.4
C.6
D.16
【解析】选D.令x=b-2,y=a-2,
则原式=+≥2
=2≥2
=2≥2
=2=16.
当且仅当x=y=2,即a=b=4时取等号.
3.设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为______.?
【解析】因为x+2y=4,x>0,y>0,
所以x+2y=4≥2(当且仅当x=2,y=1时取等号),
所以≥,
所以==1+≥1+8=9(当且仅当x=2,y=1时取等号).
答案:9
课堂检测·素养达标
1.函数y=log2(x>1)的最小值为( )
A.-3
B.3
C.4
D.-4
【解析】选B.因为x++5=(x-1)++6
≥2+6=8.
所以log2≥3,所以ymin=3.
当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.
2.(教材二次开发:例题改编)如图所示,矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上,另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4,则围成矩形ABCD所需要篱笆的( )
A.最小长度为8
B.最小长度为4
C.最大长度为8
D.最大长度为4
【解析】选B.设BC=a,CD=b,则ab=4,所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a+b=2a+≥2=4,当且仅当2a=,即a=时取等号,此时长度取得最小值4.
3.周长为+1的直角三角形面积的最大值为________.?
【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b,则+1=a+b+≥2+,解得ab≤,当且仅当a=b=时取“=”,所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为.
答案:
4.某种汽车,购车费用是10万元,每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少.
【解析】设使用x年,由条件知,汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列.因此,汽车使用x年总的维修费用为x万元.设汽车的年平均费用为y万元,则有y===1++≥1+2=3.
当且仅当=,即x=10时,y取最小值.
即这种汽车使用10年时,它的年平均费用最少.
【新情境·新思维】
高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,函数y=[x](x∈R)称为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域是( )
A.{0,1}
B.(0,1]
C.(0,1)
D.{-1,0,1}
【解析】选A.f(x)==,
因为2x+≥2,所以0则函数y=[f(x)]的值域为{0,1}.
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