2020-2021学年湖南师大博才中学七年级(下)入学数学试卷
一.选择题(共12小题).
1.四个数﹣1,0,1,中为负数的是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.
2.计算(﹣2)3+1的结果是( )
A.﹣7 B.﹣5 C.7 D.9
3.下列化简正确的是( )
A.﹣(﹣3)=3 B.﹣|﹣3|=3
C.+(﹣3)=3 D.+|﹣a|=a(a为有理数)
4.下列各式﹣mn,m,8,,x2+2x+6,,,中,整式有( )
A.3个 B.4个 C.6个 D.7个
5.下列各式计算正确的是( )
A.3a+4b=7ab B.4x﹣5x=﹣1
C.(﹣2)2=﹣4 D.﹣(x﹣3)=﹣x+3
6.若(m﹣2)x|2m﹣3|=6是一元一次方程,则m等于( )
A.1 B.2 C.1或2 D.任何数
7.下列说法:①的系数是2;②是多项式;③x2﹣x﹣2的常数项为2;④﹣3ab2和b2a是同类项,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.根据等式的性质,如果a=b,则下列结论正确的是( )
A.2a=b﹣2 B.a﹣2=2+b C.2a=b D.﹣2a=﹣2b
9.如图,下列说法正确的是( )
A.点O在线段AB上
B.点B是直线AB的一个端点
C.射线OB和射线AB是同一条射线
D.图中共有3条线段
10.下列说法正确的是( )
(1)如果互余的两个角的度数之比为1:3,那么这两个角分别为45°和135°
(2)如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角不一定相等
(3)如果两个角的度数分别是73°42'和16°18',那么这两个角互余
(4)一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°,把这枚指针按逆时针方向旋转90°,则结果指针的指向是( )
A.南偏东50°方向 B.北偏西40°方向
C.南偏东40°方向 D.东南方向
12.商场销售某品牌冰箱,若按标价的八折销售,每件可获利200元,其利润率为10%,若按标价的九折销售,每件可获利( )
A.475元 B.875元 C.562.5元 D.750元
二.填空题(每小题3分,共18分)
13.已知m与﹣10互为相反数,则m= .
14.《我和我的家乡》,一部在疫情背景下顽强新生的影片,在国庆期间取得了不错的成绩.截止到2020年10月16日,其票房达到将近2300000000元,其中数据2300000000用科学记数法可表示为 .
15.若一个角的一半比它的补角小30°,则这个角为 .
16.为支持武汉抗击疫情,全国各地加班加点为前线医护人员提供防护面罩和防护服.某车间有30名工人,每人每天生产防护服160件或防护面罩240个,一件防护服和一个防护面罩配成一套,若分配x名工人生产防护服,其他工人生产防护面罩,恰好使每天生产的防护服和防护面罩配套,则所列方程是 .
17.已知a、b、c的位置如图:则化简|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|= .
18.若多项式(m+4)x3+xn﹣1﹣5x﹣6是关于x的二次三项式,则m+n﹣(x﹣2)2的最大值为 .
三.解答题(共6小题)
19.计算:
(1)18+(﹣17)+7+(﹣8);
(2).
20.先化简,再求值:2ab+6(a2b+ab2)﹣[3a2b﹣2(1﹣ab﹣2ab2)],其中a为最大的负整数,b为最小的正整数.
21.解方程:=﹣1.
22.由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路,后三分之一的路是普通公路,高速公路和普通公路交界处是丙地,A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时;B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时,在普通公路上的行驶速度是70千米/时,A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶,在高速公路上距离丙地40千米处相遇,求甲、乙两地之间的距离是多少?
23.如图,已知O是直线AC上一点,OB是一条射线,OD平分∠AOB,OE在∠BOC内,∠BOE=∠EOC,∠DOE=70°,求∠EOC的度数.
24.已知数轴上两点A,B对应的数分别为﹣8和4,点P为数轴上一动点,若规定:点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时,我们就称点P是关于A→B的“好点”.
(1)若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时,求点P表示的数是多少;
(2)①若点P运动到原点O时,此时点P 关于A→B的“好点”(填是或者不是);
②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动,当点P是关于A→B的“好点”时,求点P的运动时间;
(3)若点P在原点的左边(即点P对应的数为负数),且点P,A,B中,其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”,请直接写出所有符合条件的点P表示的数.
参考答案
一.选择题(每小题3分,共36分)
1.四个数﹣1,0,1,中为负数的是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.
【分析】根据负数小于0判断即可.
解:,
负数是﹣1.
故选:A.
2.计算(﹣2)3+1的结果是( )
A.﹣7 B.﹣5 C.7 D.9
【分析】原式先计算乘方运算,再计算加法运算即可求出值.
解:原式=﹣8+1
=﹣7.
故选:A.
3.下列化简正确的是( )
A.﹣(﹣3)=3 B.﹣|﹣3|=3
C.+(﹣3)=3 D.+|﹣a|=a(a为有理数)
【分析】根据绝对值的含义和求法,以及相反数的含义和求法,逐项判断即可.
解:∵﹣(﹣3)=3,
∴选项A符合题意;
∵﹣|﹣3|=﹣3,
∴选项B不符合题意;
∵+(﹣3)=﹣3,
∴选项C不符合题意;
∵a≥0时,+|﹣a|=a,a<0时,+|﹣a|=﹣a,
∴选项D不符合题意.
故选:A.
4.下列各式﹣mn,m,8,,x2+2x+6,,,中,整式有( )
A.3个 B.4个 C.6个 D.7个
【分析】根据整式的定义,结合题意即可得出答案.
解:整式有﹣mn,m,8,x2+2x+6,,,
故选:C.
5.下列各式计算正确的是( )
A.3a+4b=7ab B.4x﹣5x=﹣1
C.(﹣2)2=﹣4 D.﹣(x﹣3)=﹣x+3
【分析】直接利用合并同类项法则以及去括号法则分别化简得出答案.
解:A、3a+4b,无法计算,故此选项错误;
B、4x﹣5x=﹣x,故此选项错误;
C、(﹣2)2=4,故此选项错误;
D、﹣(x﹣3)=﹣x+3,故此选项正确.
故选:D.
6.若(m﹣2)x|2m﹣3|=6是一元一次方程,则m等于( )
A.1 B.2 C.1或2 D.任何数
【分析】若一个整式方程经过化简变形后,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不为0,则这个方程是一元一次方程.据此列出关于m的等式,继而求出m的值.
解:根据一元一次方程的特点可得,
解得m=1.
故选:A.
7.下列说法:①的系数是2;②是多项式;③x2﹣x﹣2的常数项为2;④﹣3ab2和b2a是同类项,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据单项式的系数的定义解答①;根据多项式的定义解答②和③;根据同类项的定义解答④.
解:①的系数是,故原题说法错误;
②是多项式,故原题说法正确;
③x2﹣x﹣2的常数项为﹣2,故原题说法错误;
④﹣3ab2和b2a是同类项,故原题说法正确;
本题正确的有:②和④,共2个.
故选:B.
8.根据等式的性质,如果a=b,则下列结论正确的是( )
A.2a=b﹣2 B.a﹣2=2+b C.2a=b D.﹣2a=﹣2b
【分析】根据等式的性质进行判断.
解:A、在等式a=b的两边应乘以或减去同一个数该等式才成立,原变形错误,故此选项不符合题意;
B、在等式a=b的两边应加上或减去同一个数该等式才成立,原变形错误,故此选项不符合题意;
C、在等式a=b的两边乘以同一个数该等式才成立,原变形错误,故此选项不符合题意;
D、在等式a=b的两边乘以﹣2,等式仍成立,原变形正确,故此选项符合题意;
故选:D.
9.如图,下列说法正确的是( )
A.点O在线段AB上
B.点B是直线AB的一个端点
C.射线OB和射线AB是同一条射线
D.图中共有3条线段
【分析】根据直线、线段、射线的有关知识判断即可.
解:A、点O在线段AB外,选项说法错误,不符合题意;
B、点B是直线AB的一个点,直线没有端点,选项说法错误,不符合题意;
C、射线OB和射线AB不是同一条射线,选项说法错误,不符合题意;
D、图中共有3条线段,选项说法正确,符合题意;
故选:D.
10.下列说法正确的是( )
(1)如果互余的两个角的度数之比为1:3,那么这两个角分别为45°和135°
(2)如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角不一定相等
(3)如果两个角的度数分别是73°42'和16°18',那么这两个角互余
(4)一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据余角和补角的定义,结合度分秒的换算逐项计算可判断求解.
解:(1)如果互余的两个角的度数之比为1:3,那么这两个角分别为22.5°和67.5°,故原说法错误;
(2)如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角一定相等,故原说法错误;
(3)如果两个角的度数分别是73°42'和16°18',那么这两个角互余,故原说法正确;
(4)一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°,故正确.
正确的个数有2个,
故选:B.
11.如图,某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°,把这枚指针按逆时针方向旋转90°,则结果指针的指向是( )
A.南偏东50°方向 B.北偏西40°方向
C.南偏东40°方向 D.东南方向
【分析】根据方位角的概念,画图正确表示出方位角,即可求解.
解:指针按逆时针方向旋转90°,
指针的指向是南偏东40°方向.
故选:C.
12.商场销售某品牌冰箱,若按标价的八折销售,每件可获利200元,其利润率为10%,若按标价的九折销售,每件可获利( )
A.475元 B.875元 C.562.5元 D.750元
【分析】利用进价=利润÷利润率可求出该品牌冰箱的进价,设该品牌冰箱的标价为x元,根据“若按标价的八折销售,每件可获利200元”,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可求出x的值,再将其代入(90%x﹣2000)中即可求出结论.
解:该品牌冰箱的进价为200÷10%=2000(元).
设该品牌冰箱的标价为x元,
依题意得:80%x﹣2000=200,
解得:x=2750,
∴90%x﹣2000=90%×2750﹣2000=475(元).
故选:A.
二.填空题(每小题3分,共18分)
13.已知m与﹣10互为相反数,则m= 10 .
【分析】根据相反数的意义,只有符号不同的数为相反数.
解:因为m与﹣10互为相反数,
所以m=10.
故答案为:10.
14.《我和我的家乡》,一部在疫情背景下顽强新生的影片,在国庆期间取得了不错的成绩.截止到2020年10月16日,其票房达到将近2300000000元,其中数据2300000000用科学记数法可表示为 2.3×109 .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解:数据2300000000用科学记数法可表示为2.3×109.
故答案是:2.3×109.
15.若一个角的一半比它的补角小30°,则这个角为 100° .
【分析】若两个角的和等于180°,则这两个角互补,结合已知条件列方程求解.
解:设这个角是x°,根据题意,
得,
解得:x=100.
即这个角的度数为100°.
故答案为:100°.
16.为支持武汉抗击疫情,全国各地加班加点为前线医护人员提供防护面罩和防护服.某车间有30名工人,每人每天生产防护服160件或防护面罩240个,一件防护服和一个防护面罩配成一套,若分配x名工人生产防护服,其他工人生产防护面罩,恰好使每天生产的防护服和防护面罩配套,则所列方程是 160x=240(30﹣x) .
【分析】若分配x名工人生产防护服,根据“某车间有30名工人,每人每天生产防护服160件或防护面罩240个,一件防护服和一个防护面罩配成一套”列出方程.
解:设分配x名工人生产防护服,则分配(30﹣x)人生产防护面罩,
根据题意,得160x=240(30﹣x).
故答案是:160x=240(30﹣x).
17.已知a、b、c的位置如图:则化简|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|= b﹣2c .
【分析】首先根据图示,可得a<0<b<c,然后根据绝对值的含义和求法求解即可.
解:|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|
=﹣a﹣(c﹣b)+a﹣c
=b﹣2c
故答案为:b﹣2c.
18.若多项式(m+4)x3+xn﹣1﹣5x﹣6是关于x的二次三项式,则m+n﹣(x﹣2)2的最大值为 ﹣1 .
【分析】依据多项式(m+4)x3+xn﹣1﹣5x﹣6是关于x的二次三项式,即可得到m=﹣4,n=3,再根据x﹣2)2≥0,即可得出m+n﹣(x﹣2)2的最大值为﹣4+3﹣0=﹣1.
解:∵多项式(m+4)x3+xn﹣1﹣5x﹣6是关于x的二次三项式,
∴m+4=0,n﹣1=2,
解得m=﹣4,n=3,
又∵(x﹣2)2≥0,
∴m+n﹣(x﹣2)2的最大值为﹣4+3﹣0=﹣1,
故答案为:﹣1.
三.解答题(共6小题)
19.计算:
(1)18+(﹣17)+7+(﹣8);
(2).
【分析】(1)根据加法交换律和结合律简便计算;
(2)先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.
解:(1)18+(﹣17)+7+(﹣8)
=(18﹣8)+(﹣17+7)
=10﹣10
=0;
(2)
=﹣1+(﹣4﹣16)÷(﹣5)
=﹣1﹣20÷(﹣5)
=﹣1+4
=3.
20.先化简,再求值:2ab+6(a2b+ab2)﹣[3a2b﹣2(1﹣ab﹣2ab2)],其中a为最大的负整数,b为最小的正整数.
【分析】直接去括号进而合并同类项,再得出a,b的值代入求出答案.
解:原式=2ab+3a2b+6ab2﹣3a2b+2﹣2ab﹣4ab2
=(2ab﹣2ab)+2+(3a2b﹣3a2b)+(6ab2﹣4ab2)
=2ab2+2,
∵a为最大的负整数,b为最小的正整数,
∴a=﹣1,b=1,
∴原式=2×(﹣1)×1+2
=0.
21.解方程:=﹣1.
【分析】方程去分母,去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解.
解:去分母得:4x﹣2=2x+1﹣6,
移项合并得:2x=﹣3,
解得:x=﹣1.5.
22.由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路,后三分之一的路是普通公路,高速公路和普通公路交界处是丙地,A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时;B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时,在普通公路上的行驶速度是70千米/时,A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶,在高速公路上距离丙地40千米处相遇,求甲、乙两地之间的距离是多少?
【分析】设甲、乙两地之间的距离是x千米,根据当两车相遇时候用的时间相同可以列出方程=+,解得x的值即可.
解:设甲、乙两地之间的距离是x千米.
根据题意得:=+,
解得x=252.
答:甲、乙两地之间的距离是252千米.
23.如图,已知O是直线AC上一点,OB是一条射线,OD平分∠AOB,OE在∠BOC内,∠BOE=∠EOC,∠DOE=70°,求∠EOC的度数.
【分析】设∠BOE=x°,则∠EOC=2x°,由∠DOE=70°及OD平分∠AOB知∠AOD=∠DOB=70°﹣x°,根据∠AOD+∠DOB+∠BOE+∠EOC=180°列出关于x的方程,解之可得.
解:如图,设∠BOE=x°,
∵∠BOE=∠EOC,
∴∠EOC=2x°,
∵OD平分∠AOB,
∴∠AOD=∠DOB=70°﹣x°,
∵∠AOD+∠DOB+∠BOE+∠EOC=180°,
∴70°﹣x°+70°﹣x°+x°+2x°=180°,
∴x=40,
∴∠EOC=80°.
24.已知数轴上两点A,B对应的数分别为﹣8和4,点P为数轴上一动点,若规定:点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时,我们就称点P是关于A→B的“好点”.
(1)若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时,求点P表示的数是多少;
(2)①若点P运动到原点O时,此时点P 不是 关于A→B的“好点”(填是或者不是);
②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动,当点P是关于A→B的“好点”时,求点P的运动时间;
(3)若点P在原点的左边(即点P对应的数为负数),且点P,A,B中,其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”,请直接写出所有符合条件的点P表示的数.
【分析】(1)根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离即可得到结论;
(2)①先根据数轴上两点的距离表示出PA和PB的长,再根据好点的定义即可求解;
②根据题意可得PA=t+8,PB=|4﹣t|,再根据好点的定义即可求解;
(3)分五种情况进行讨论:当点A是关于P→B的“好点”时;当点A是关于B→P的“好点”时;当点P是关于A→B的“好点”时;当点P是关于B→A的“好点”时;当点B是关于P→A的“好点”时,分别代入计算即可.
解:(1)∵数轴上两点A,B对应的数分别为﹣8和4,
∴AB=4﹣(﹣8)=12,
∵点P到点A、点B的距离相等,
∴P为AB的中点,
∴BP=PA=AB=6,
∴点P表示的数是﹣2;
(2)①当点P运动到原点O时,PA=8,PB=4,
∵PA≠3PB,
∴点P不是关于A→B的“好点”;
故答案为:不是;
②根据题意可知:设点P运动的时间为t秒,
PA=t+8,PB=|4﹣t|,
∴t+8=3|4﹣t|,
解得t=1或t=10,
所以点P的运动时间为1秒或10秒;
(3)根据题意可知:设点P表示的数为n,
PA=n+8或﹣n﹣8,PB=4﹣n,AB=12,
分五种情况进行讨论:
①当点A是关于P→B的“好点”时,
|PA|=3|AB|,
即﹣n﹣8=36,解得n=﹣44;
②当点A是关于B→P的“好点”时,
|AB|=3|AP|,
即3(﹣n﹣8)=12,解得n=﹣12;
或3(n+8)=12,解得n=﹣4;
③当点P是关于A→B的“好点”时,
|PA|=3|PB|,
即﹣n﹣8=3(4﹣n)或n+8=3(4﹣n),解得n=10或1(不符合题意,舍去);
④当点P是关于B→A的“好点”时,
|PB|=3|AP|,
即4﹣n=3(n+8),解得n=﹣5;
或4﹣n=3(﹣n﹣8),解得n=﹣14;
⑤当点B是关于P→A的“好点”时,
|PB|=3|AB|,
即4﹣n=36,解得n=﹣32.
综上所述:所有符合条件的点P表示的数是:﹣4,﹣5,﹣12,﹣14,﹣32,﹣44.