7.2.2复数的乘、除运算 作业与测评- 2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册Word含答案

7．2.2　复数的乘、除运算
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的乘法运算
1.设复数z＝1＋i，则z2－2z等于(　　)
A．－3
B．3
C．－3i
D．3i
2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)
A．6－4i
B．－6－4i
C．6＋4i
D．－6＋4i
3．已知复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为________．
知识点二　复数的除法运算
4.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．若z＝，则复数＝(　　)
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
6．若复数(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－2
B．4
C．－6
D．6
7．复数z满足(1＋i)z＝|i|，其中i为虚数单位，则z的实部与虚部之和为(　　)
A．1
B．0
C.
D.
8．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　)
A．i
B．－i
C．±1
D．±i
9．复数z＝的共轭复数是(　　)
A．1－i
B．1＋i
C．－1＋i
D．－1－i
知识点三　在复数范围内解方程
10.已知＋i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝________，b＝________.
11．在复数范围内求解下列方程：
(1)3x2＋x＋2＝0；
(2)x2＋ax＋4＝0(a∈R)．
知识点四　虚数单位i的幂的周期性
12.已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝－z1z2＋i5在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
13．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
2．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　)
A．－1024
B．1024
C．0
D．512
3．已知(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝(　　)
A．1
B．2
C．－1
D．－2
4．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝(　　)
A．2
B.
C.
D．1
5．(多选)对于两个复数α＝－＋i，β＝－－i，下列结论正确的是(　　)
A．αβ＝1
B.＝1
C.＝1
D．α3＋β3＝2
二、填空题
6．已知复数z＝，是z的共轭复数，则的模等于________．
7．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
8．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，则a＝________，b＝________.
三、解答题
9．计算＋2020＋.
10．已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|.
(1)求z；
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
7．2.2　复数的乘、除运算
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的乘法运算
1.设复数z＝1＋i，则z2－2z等于(　　)
A．－3
B．3
C．－3i
D．3i
答案　A
解析　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i－2－2－2i＝－3.
2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)
A．6－4i
B．－6－4i
C．6＋4i
D．－6＋4i
答案　D
解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
3．已知复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为________．
答案　
解析　∵z2＝2＝－a2－ai，
∴－a2－ai＝－i，则
解得a＝.
知识点二　复数的除法运算
4.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　B
解析　＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i＝－＋i，对应点在第二象限．
5．若z＝，则复数＝(　　)
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
答案　D
解析　z＝2＋＝2－i，＝2＋i.故选D.
6．若复数(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－2
B．4
C．－6
D．6
答案　C
解析　∵＝＝为纯虚数，∴∴a＝－6.
7．复数z满足(1＋i)z＝|i|，其中i为虚数单位，则z的实部与虚部之和为(　　)
A．1
B．0
C.
D.
答案　B
解析　由(1＋i)z＝|i|＝1，得z＝＝＝－i，∴z的实部与虚部分别为，－，和为0.故选B.
8．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　)
A．i
B．－i
C．±1
D．±i
答案　D
解析　令z＝x＋yi(x，y∈R)，则得或不难得出＝±i.故选D.
9．复数z＝的共轭复数是(　　)
A．1－i
B．1＋i
C．－1＋i
D．－1－i
答案　D
解析　z＝＝＝＝－1＋i，所以其共轭复数为＝－1－i.选D.
知识点三　在复数范围内解方程
10.已知＋i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝________，b＝________.
答案　1　－
解析　把＋i代入方程，得a2＋b＋1＝0，即＋i＝0，所以即解得
11．在复数范围内求解下列方程：
(1)3x2＋x＋2＝0；
(2)x2＋ax＋4＝0(a∈R)．
解　(1)因为Δ＝1－4×3×2＝－23<0，
所以方程3x2＋x＋2＝0的解为
x1＝－＋i，x2＝－－i.
(2)因为Δ＝a2－16，
所以当Δ＝a2－16>0，即a<－4或a>4时，
原方程的解为x1＝，x2＝.
当Δ＝0，即a＝±4时，
若a＝4，则原方程的解为x1＝x2＝－2；
若a＝－4，则原方程的解为x1＝x2＝2.
当Δ<0，即－4x1＝－＋i，x2＝－－i.
知识点四　虚数单位i的幂的周期性
12.已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝－z1z2＋i5在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　A
解析　因为z1＝＋i，z2＝－＋i，所以z＝－·＋i5＝1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.
13．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　A
解析　i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，i5＋i6＋i7＋i8＝i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2021＝i.所以z＝＝＝＋i，所以对应点在第一象限，故选A.
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
答案　C
解析　z－1＝＝1－i，∴z＝2－i.
2．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　)
A．－1024
B．1024
C．0
D．512
答案　C
解析　(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
3．已知(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝(　　)
A．1
B．2
C．－1
D．－2
答案　A
解析　因为＝＝为纯虚数，所以1－a＝0且1＋a≠0，得a＝1.
4．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝(　　)
A．2
B.
C.
D．1
答案　B
解析　∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴＝|1－ai|＝＝2，解得a＝或a＝－(舍去)．
5．(多选)对于两个复数α＝－＋i，β＝－－i，下列结论正确的是(　　)
A．αβ＝1
B.＝1
C.＝1
D．α3＋β3＝2
答案　ACD
解析　αβ＝＝＋＝1，≠1，＝＝1，α3＋β3＝3＋3＝1＋1＝2.故选ACD.
二、填空题
6．已知复数z＝，是z的共轭复数，则的模等于________．
答案　1
解析　由z＝＝＝＝－i，得||＝|z|＝|－i|＝1.
7．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
答案　
解析　＝＝＝
＝，∵为纯虚数，∴
∴a＝.
8．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，则a＝________，b＝________.
答案　－　－1
解析　z＝(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4得a2＋b2＝4，　①
因为复数0，z，对应的点构成正三角形，
所以|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.　②
又因为z对应的点在第一象限，所以a<0，b<0.
由①②，得
三、解答题
9．计算＋2020＋.
解　原式＝＋1010＋
＝i＋(－i)1010＋＝i－1＋0＝－1＋i.
10．已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|.
(1)求z；
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
解　(1)∵w－4＝(3－2w)i，∴w(1＋2i)＝4＋3i，
∴w＝＝＝2－i，
∴z＝＋|i|＝＋1＝3＋i.
(2)∵z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，
∴(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，即(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0.
又p，q为实数，∴解得
解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i.
∴实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i.