7.2.2复数的乘、除运算 作业与测评- 2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册Word含答案

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名称 7.2.2复数的乘、除运算 作业与测评- 2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册Word含答案
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-03-26 22:47:52

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文档简介

7.2.2 复数的乘、除运算
 
                  
知识点一 复数的乘法运算
1.设复数z=1+i,则z2-2z等于(  )
A.-3
B.3
C.-3i
D.3i
2.复数(1+i)2(2+3i)的值为(  )
A.6-4i
B.-6-4i
C.6+4i
D.-6+4i
3.已知复数z=-ai,a∈R,且z2=-i,则a的值为________.
知识点二 复数的除法运算
4.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.若z=,则复数=(  )
A.-2-i
B.-2+i
C.2-i
D.2+i
6.若复数(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为(  )
A.-2
B.4
C.-6
D.6
7.复数z满足(1+i)z=|i|,其中i为虚数单位,则z的实部与虚部之和为(  )
A.1
B.0
C.
D.
8.设z的共轭复数是,若z+=4,z·=8,则等于(  )
A.i
B.-i
C.±1
D.±i
9.复数z=的共轭复数是(  )
A.1-i
B.1+i
C.-1+i
D.-1-i
知识点三 在复数范围内解方程
10.已知+i是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根,则a=________,b=________.
11.在复数范围内求解下列方程:
(1)3x2+x+2=0;
(2)x2+ax+4=0(a∈R).
知识点四 虚数单位i的幂的周期性
12.已知复数z1=+i,z2=-+i,则z=-z1z2+i5在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
13.已知复数z=,则复数z在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
 
                  
一、选择题
1.已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=(  )
A.-2-i
B.-2+i
C.2-i
D.2+i
2.(1+i)20-(1-i)20的值是(  )
A.-1024
B.1024
C.0
D.512
3.已知(i为虚数单位)为纯虚数,则实数a=(  )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
4.若a为正实数,i为虚数单位,=2,则a=(  )
A.2
B.
C.
D.1
5.(多选)对于两个复数α=-+i,β=--i,下列结论正确的是(  )
A.αβ=1
B.=1
C.=1
D.α3+β3=2
二、填空题
6.已知复数z=,是z的共轭复数,则的模等于________.
7.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________.
8.复数z=且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点,则a=________,b=________.
三、解答题
9.计算+2020+.
10.已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位),z=+|-2|.
(1)求z;
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值及方程的另一个根.
7.2.2 复数的乘、除运算
 
                  
知识点一 复数的乘法运算
1.设复数z=1+i,则z2-2z等于(  )
A.-3
B.3
C.-3i
D.3i
答案 A
解析 z2-2z=(1+i)2-2(1+i)=1+2i-2-2-2i=-3.
2.复数(1+i)2(2+3i)的值为(  )
A.6-4i
B.-6-4i
C.6+4i
D.-6+4i
答案 D
解析 (1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.
3.已知复数z=-ai,a∈R,且z2=-i,则a的值为________.
答案 
解析 ∵z2=2=-a2-ai,
∴-a2-ai=-i,则
解得a=.
知识点二 复数的除法运算
4.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 B
解析 +(1+i)2=i++1-3+2i=-+i,对应点在第二象限.
5.若z=,则复数=(  )
A.-2-i
B.-2+i
C.2-i
D.2+i
答案 D
解析 z=2+=2-i,=2+i.故选D.
6.若复数(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为(  )
A.-2
B.4
C.-6
D.6
答案 C
解析 ∵==为纯虚数,∴∴a=-6.
7.复数z满足(1+i)z=|i|,其中i为虚数单位,则z的实部与虚部之和为(  )
A.1
B.0
C.
D.
答案 B
解析 由(1+i)z=|i|=1,得z===-i,∴z的实部与虚部分别为,-,和为0.故选B.
8.设z的共轭复数是,若z+=4,z·=8,则等于(  )
A.i
B.-i
C.±1
D.±i
答案 D
解析 令z=x+yi(x,y∈R),则得或不难得出=±i.故选D.
9.复数z=的共轭复数是(  )
A.1-i
B.1+i
C.-1+i
D.-1-i
答案 D
解析 z====-1+i,所以其共轭复数为=-1-i.选D.
知识点三 在复数范围内解方程
10.已知+i是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根,则a=________,b=________.
答案 1 -
解析 把+i代入方程,得a2+b+1=0,即+i=0,所以即解得
11.在复数范围内求解下列方程:
(1)3x2+x+2=0;
(2)x2+ax+4=0(a∈R).
解 (1)因为Δ=1-4×3×2=-23<0,
所以方程3x2+x+2=0的解为
x1=-+i,x2=--i.
(2)因为Δ=a2-16,
所以当Δ=a2-16>0,即a<-4或a>4时,
原方程的解为x1=,x2=.
当Δ=0,即a=±4时,
若a=4,则原方程的解为x1=x2=-2;
若a=-4,则原方程的解为x1=x2=2.
当Δ<0,即-4x1=-+i,x2=--i.
知识点四 虚数单位i的幂的周期性
12.已知复数z1=+i,z2=-+i,则z=-z1z2+i5在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 A
解析 因为z1=+i,z2=-+i,所以z=-·+i5=1+i,所以复数z在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限.故选A.
13.已知复数z=,则复数z在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 A
解析 i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,i5+i6+i7+i8=i+i2+i3+i4=0,所以i+i2+i3+i4+…+i2021=i.所以z===+i,所以对应点在第一象限,故选A.
 
                  
一、选择题
1.已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=(  )
A.-2-i
B.-2+i
C.2-i
D.2+i
答案 C
解析 z-1==1-i,∴z=2-i.
2.(1+i)20-(1-i)20的值是(  )
A.-1024
B.1024
C.0
D.512
答案 C
解析 (1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.
3.已知(i为虚数单位)为纯虚数,则实数a=(  )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
答案 A
解析 因为==为纯虚数,所以1-a=0且1+a≠0,得a=1.
4.若a为正实数,i为虚数单位,=2,则a=(  )
A.2
B.
C.
D.1
答案 B
解析 ∵=(a+i)(-i)=1-ai,∴=|1-ai|==2,解得a=或a=-(舍去).
5.(多选)对于两个复数α=-+i,β=--i,下列结论正确的是(  )
A.αβ=1
B.=1
C.=1
D.α3+β3=2
答案 ACD
解析 αβ==+=1,≠1,==1,α3+β3=3+3=1+1=2.故选ACD.
二、填空题
6.已知复数z=,是z的共轭复数,则的模等于________.
答案 1
解析 由z====-i,得||=|z|=|-i|=1.
7.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________.
答案 
解析 ===
=,∵为纯虚数,∴
∴a=.
8.复数z=且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点,则a=________,b=________.
答案 - -1
解析 z=(a+bi)=2i·i(a+bi)=-2a-2bi.
由|z|=4得a2+b2=4, ①
因为复数0,z,对应的点构成正三角形,
所以|z-|=|z|.
把z=-2a-2bi代入化简得|b|=1. ②
又因为z对应的点在第一象限,所以a<0,b<0.
由①②,得
三、解答题
9.计算+2020+.
解 原式=+1010+
=i+(-i)1010+=i-1+0=-1+i.
10.已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位),z=+|-2|.
(1)求z;
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值及方程的另一个根.
解 (1)∵w-4=(3-2w)i,∴w(1+2i)=4+3i,
∴w===2-i,
∴z=+|i|=+1=3+i.
(2)∵z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根,
∴(3+i)2-p(3+i)+q=0,即(8-3p+q)+(6-p)i=0.
又p,q为实数,∴解得
解方程x2-6x+10=0,得x=3±i.
∴实数p=6,q=10,方程的另一个根为x=3-i.