7.3.1 复数的三角表示式（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第七章
复数
7.3.1
复数的三角表示式
一、教学目标
1.
掌握复数的三角形式，能够进行两种形式的转化;?
2.
培养转化，逻辑推理及数学运算能力;
3.
通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生直观想象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点
1.复数三角表达式与代数表达式之间的互化;
2.复数三角表达式的理解．
课前准备：阅读课本思考并完成以下问题
1、什么是辐角，辐角的主值用什么表示？取值范围是多少？
2、复数的三角形式是怎样定义的?又有什么特点？
3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?
三、教学过程：
1、创设情境：
问题1：回顾三角函数的定义，如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y?
生答：由；得；
问题2：复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量＝(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？
2、建构数学
复数z=a+bi(a，b∈R)的辐角
以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角
适合于
0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即
0≤arg
z<2π.
复数的三角表达式
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．
注意：复数三角形式的特点口诀：
“模非负，角相同，余弦前，加号连”
3、
数学应用
例1.判别下列复数是否是三角形式
①．
②．
③．
④．
解：复数的三角形式是，其中，A，B，C均不是这种形式，
①．中不满足；
②．中不满足；
③．中，不满足；
④．满足.
变式训练:下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
（1）；
(2)
z2＝(cosπ－isinπ)；
解:（1）中间是“-“号，不是三角形式.
；
(2)由“加号连”知，不是三角形式．
z2＝(cosπ－isinπ)＝－－i，
模r＝，cos
θ＝－.复数对应的点在第三象限，所以取θ＝π，
即z2＝(cos
π－isinπ)＝(cosπ＋isin
π)．
例2.把复数表示成三角形式
解:∵，
∴，，，
∴可以取，
∴所求复数的三角形式为，
变式训练:
解:（1）复数对应的向量如图所示，
则.
因为与对应的点在第一象限，所以.
于是.
小结:复数的代数形式化三角形式的步骤:
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角(常取它的主值)；
④写出复数的三角形式．
两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
4、小结：
1.复数z=a+bi(a，b∈R)的辐角
;
2.复数的三角表达式;
3.两个用三角形式表示的复数相等的充要条件
五、作业：习题7.3