人教高中数学（B版）选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差 教案

2．3．2离散型随机变量的方差
教学内容分析：
离散型随机变量的方差是刻画随机变量取值的离散程度的指标，教学中，要把重点放在用方差解决实际问题上，在解决实际问题的过程中理解方差的含义。
教学重难点：
重点：离散型随机变量的方差、标准差；
难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题。
教学过程
一、讲解新课：
1.
方差:
对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．
2.
标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
3.方差的性质：（1）；（2）；
（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
4.其它：
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
二、讲解范例：
例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
解：抛掷散子所得点数X
的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
从而
;
.
例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
1200
1400
1600
1800
获得相应职位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1000
1400
1800
2000
获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX1
=
1200×0.4
+
1
400×0.3
+
1600×0.2
+
1800×0.1
=
1400
,
DX1
=
(1200-1400)
2
×0.
4
+
(1400-1400
)
2×0.3
+
(1600
-1400
)2×0.2+(1800-1400)
2×0.
1
=
40
000
;
EX2＝1
000×0.4
+1
400×0.3
+
1
800×0.2
+
2200×0.1
=
1400
,
DX2
=
(1000-1400)2×0.
4+(1
400-1400)×0.3
+
(1800-1400)2×0.2
+
(2200-1400
)2×0.l
=
160000
.
因为EX1
=EX2,
DX1例3．设随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
…
n
P
…
求Dξ
解：（略）,
例4．已知离散型随机变量的概率分布为
1
2
3
4
5
6
7
P
离散型随机变量的概率分布为
3．7
3．8
3．9
4
4．1
4．2
4．3
P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
解：；
；
；
=0.04,
.
点评：本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．
＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
解：
+（10-9）；
同理有
由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．
点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况
例6．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床
B机床
次品数ξ1
0
1
2
3
次品数ξ1
0
1
2
3
概率P
0.7
0.2
0.06
0.04
概率P
0.8
0.06
0.04
0.10
问哪一台机床加工质量较好
解：
Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差
Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2
×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,
Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2
×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.
∴Dξ1<
Dξ2
故A机床加工较稳定、质量较好.
四、课堂练习：
1
.已知，则的值分别是（
）
A．；　　B．；　　C．；　　D．
答案：1.D
2.
一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．
解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3
当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
P（ξ=0）=
当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P（ξ=1）=
当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P（ξ=2）=
当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=
所以，Eξ=
3.
有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ
分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算
解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98
4.
设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4
分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论
证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,
所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p
则
Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)
2×p=p(1-p)
5.
有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
ξA
110
120
125
130
135
ξB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好
分析：
两个随机变量ξA和ξB&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性
解：先比较ξA与ξB的期望值，因为
EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.
所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为
DξA=(110-125)2×0.1+(120-125)
2
×0.2+(130-125)
2×0.1+(135-125)
2×0.2=50，
DξB=(100-125)2×0.1+(110-125)
2
×0.2+(130-125)
2×0.1+(145-125)
2×0.2=165.
所以，DξA
<
DξB.因此，A种钢筋质量较好
6.
在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用
解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题
意，可得ξ的分布列为
ξ
0
5
25
100
P
答：一张彩票的合理价格是0．2元．
六、课后作业：
P69练习1,2,3
P69
A组4
B组1,2
1.设～B(n、p)且E=12
D=4，求n、p
解：由二次分布的期望与方差性质可知E=np
D=
np（1－p）
∴
∴
2.已知随机变量服从二项分布即~B(6、)求b
(2；6，)
解：p(=2)=c62()2()4
3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和
的分布列如下：（注得分越大，水平越高）
1
2
3
p
a
0.1
0.6
1
2
3
p
0.3
b
0.3
试分析甲、乙技术状况
解：由0.1+0.6+a+1a=0.3
0.3+0.3+b=1a=0.4
∴E=2.3
,
E=2.0
D=0.81
,
D=0.6