第三章 圆练习题(Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆练习题(Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 356.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-26 13:46:09 | ||
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文档简介
1165860012611100第三章 圆 练习题
专题一 与圆周角有关的计算
A组(基础题)
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝( )
A．54° B．64° C．27° D．37°
2．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD.若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为( )
A．6 B．8 C．5 D．5
4．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD相交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是( )
A. B．3 C．3 D．4
5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝______．
6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为______．
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5，则BC的长为______．
B组(中档题)
8．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆外一点，CA，CB分别交半圆于点D，E.若△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，则∠C等于______．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OE交AD于点F.若cos∠BAC＝，AF＝8，则DF的长为______．
C组(综合题)
10．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H.若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝______．
专题二 与圆有关阴影部分面积的计算
A组(基础题)
1．如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( )
A．π B．2π C．3π D．6π
2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为( )
A．4π－8 B．2π C．4π D．8π－8
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，连接OC，DB.如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是( )
A．π B．2π C．3π D．4π
4．如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )
A．6π B．3π C．2π D．2π
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE，OF，则图中阴影部分的面积是______．
B组(中档题)
6．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．
7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在上，则图中阴影部分的面积为______．
8．如图，正方形ABCD边长为2，E是AB的中点，以E为圆心，线段ED的长为半径作半圆，交直线AB于点M，N，分别以线段MD，ND为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为______．
C组(综合题)
9．如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径，则阴影部分的面积______．
专题三 圆与相似
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝∠D.过点C作CH⊥AB交DA的延长线于点E，设垂足为H.以CE为直径作⊙O分别交AD，BC于点F，G，连接CF，若CF＝CH.
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)若tanB＝，OH＝9，求AE的长．
2.如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5.C是直线l上一点，连接CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，求线段BP的长．
3．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，＝，求BE的长．
4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝16.点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A，P是上的一个动点．
(1)求半径OB的长；
(2)如果点P是的中点，连接PC，求∠PCB的正切值；
(3)如果BA平分∠PBC，延长BP，CA交于点D，求线段DP的长．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
(3)若BE＝8，sinB＝，求DG的长．
参考答案
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 圆 章末专题复习练习题
专题一 与圆周角有关的计算
A组(基础题)
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝(C)
A．54° B．64° C．27° D．37°
2．(2020·绍兴)如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为(D)
A．45° B．60° C．75° D．90°
3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD.若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为(B)
A．6 B．8 C．5 D．5
4．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD相交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是(D)
A. B．3 C．3 D．4
5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．
6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为2．
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5，则BC的长为8．
B组(中档题)
8．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆外一点，CA，CB分别交半圆于点D，E.若△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，则∠C等于45°．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OE交AD于点F.若cos∠BAC＝，AF＝8，则DF的长为5．
C组(综合题)
10．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H.若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝．
专题二 与圆有关阴影部分面积的计算
A组(基础题)
1．如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是(C)
A．π B．2π C．3π D．6π
2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为(A)
A．4π－8 B．2π C．4π D．8π－8
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，连接OC，DB.如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是(B)
A．π B．2π C．3π D．4π
4．如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(A)
A．6π B．3π C．2π D．2π
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE，OF，则图中阴影部分的面积是－π．
B组(中档题)
6．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4－π．
7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在上，则图中阴影部分的面积为－．
8．如图，正方形ABCD边长为2，E是AB的中点，以E为圆心，线段ED的长为半径作半圆，交直线AB于点M，N，分别以线段MD，ND为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为2．
C组(综合题)
9．如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径，则阴影部分的面积16－4－π．
专题三 圆与相似
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝∠D.过点C作CH⊥AB交DA的延长线于点E，设垂足为H.以CE为直径作⊙O分别交AD，BC于点F，G，连接CF，若CF＝CH.
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)若tanB＝，OH＝9，求AE的长．
解：(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠D＋∠DAB＝180°.
∵∠B＝∠D，
∴∠B＋∠DAB＝180°.
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵CE是⊙O的直径，CH⊥AB，
∴∠CFD＝90°＝∠CHB.
∵CF＝CH，∴△CFD≌△CHB(AAS)．
∴CD＝CB.∴四边形ABCD是菱形．
(2)由(1)可知，BC∥AD，CF⊥AD，
∴BC⊥CF.∴∠B＝∠BAE.
∵BH＝DF，AB＝AD，∴AF＝AH.
∵tan∠B＝＝tan∠BAE，
∴设AH＝4a，则HE＝3a，AE＝5a，AF＝4a，EF＝9a.
∵∠E＝∠E，∠AHE＝∠EFC＝90°，
∴△EAH∽△ECF.
∴＝.
∴＝.
∴CE＝15a.
∵OH＝9，∴15a＝2(3a＋9)．
∴a＝2.
∴AE＝5a＝10.
2.如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5.C是直线l上一点，连接CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，求线段BP的长．
解：(1)证明：连接OB，则OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA.
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC.
∵OA⊥l，∴∠OAC＝90°.
∴∠ACB＋∠CPA＝90°.
∴∠ABP＋∠OBP＝90°，
即∠ABO＝90°.
∴OB⊥AB.
又∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
(2)由(1)知，∠ABO＝90°，
∵OA＝5，OB＝3，
∴由勾股定理，得AB＝4.
过点O作OD⊥PB于点D，则PD＝DB，
∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，
∴△ODP∽△CAP.
∴＝.
又∵AC＝AB＝4，AP＝OA－OP＝2，
∴PC＝＝2.
∴PD＝＝.
∴BP＝2PD＝.
3．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，＝，求BE的长．
解：(1)证明：连接OD，∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠BDO.
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB.
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠ADO＋∠ODB＝90°.
∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°.
∴OD⊥CD.
又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，
∴△CDA∽△CBD.∴＝.
∵＝，BC＝6，∴CD＝4.
∵CE，BE是⊙O的切线，∴BE＝DE，BE⊥BC.
∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62＝(4＋BE)2.
解得BE＝.
4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝16.点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A，P是上的一个动点．
(1)求半径OB的长；
(2)如果点P是的中点，连接PC，求∠PCB的正切值；
(3)如果BA平分∠PBC，延长BP，CA交于点D，求线段DP的长．
解：(1)∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝16，
∴AB＝＝12.
过点O作OH⊥AB于点H，
则BH＝AB＝6.
∵∠BHO＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BHO∽△BCA.∴＝.
∴＝.∴OB＝9.
(2)如图1，连接OP交AB于点H，过点P作PE⊥BC于点E，
∵点P是的中点，
∴OP⊥AB，AH＝BH＝AB＝6.
在Rt△BHO中，OH＝＝3.
在△POE和△BOH中，
∴△POE≌△BOH(AAS)．
∴PE＝HB＝6，OE＝OH＝3.
∴CE＝BC－OB＋OE＝10.
∴tan∠PCB＝＝.
(3)如图2，过点A作AE⊥BD于点E，连接CP，
∵BA平分∠PBC，AC⊥BC，
∴AE＝AC＝4.
∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠D＝∠D，
∴△ADE∽△BDC.∴＝.
设DE＝x，∴＝.∴CD＝2.
在Rt△ACB和Rt△AEB中，
∴Rt△ACB≌Rt△AEB(HL)．
∴BE＝BC＝16.
∵CD2＋BC2＝BD2，
∴(2)2＋162＝(16＋x)2，解得x＝.
∴BD＝16＋＝.
∴过点O作OF⊥PB交PB于点F，
则△OBF∽△DBC，∴＝.
∴＝.∴BF＝7.∴PB＝2BF＝14.
∴PD＝BD－BP＝.
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
(3)若BE＝8，sinB＝，求DG的长．
解：(1)证明：连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠ODA＝∠CAD.
∴OD∥AC.
∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°.
∴OD⊥BC.
∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．
(2)连接DF，由(1)知BC为⊙O的切线，
∴∠FDC＝∠DAF.∴∠CDA＝∠CFD.
∵∠BAD＝∠DAF.∴△ABD∽△ADF.
∴＝，即AD2＝AB·AF＝xy，
∴AD＝.
(3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB＝＝，
设圆的半径为r，可得＝，
解得r＝5.∴AE＝10，AB＝18.
∵AE是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°.
∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B.
∴sin∠AEF＝＝.
∴AF＝AE·sin∠AEF＝10×＝.
∵AF∥OD，
∴＝＝＝，即DG＝AD.
由(2)知AD＝＝＝，
则DG＝×＝.
专题一 与圆周角有关的计算
A组(基础题)
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝( )
A．54° B．64° C．27° D．37°
2．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD.若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为( )
A．6 B．8 C．5 D．5
4．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD相交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是( )
A. B．3 C．3 D．4
5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝______．
6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为______．
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5，则BC的长为______．
B组(中档题)
8．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆外一点，CA，CB分别交半圆于点D，E.若△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，则∠C等于______．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OE交AD于点F.若cos∠BAC＝，AF＝8，则DF的长为______．
C组(综合题)
10．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H.若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝______．
专题二 与圆有关阴影部分面积的计算
A组(基础题)
1．如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( )
A．π B．2π C．3π D．6π
2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为( )
A．4π－8 B．2π C．4π D．8π－8
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，连接OC，DB.如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是( )
A．π B．2π C．3π D．4π
4．如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )
A．6π B．3π C．2π D．2π
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE，OF，则图中阴影部分的面积是______．
B组(中档题)
6．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．
7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在上，则图中阴影部分的面积为______．
8．如图，正方形ABCD边长为2，E是AB的中点，以E为圆心，线段ED的长为半径作半圆，交直线AB于点M，N，分别以线段MD，ND为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为______．
C组(综合题)
9．如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径，则阴影部分的面积______．
专题三 圆与相似
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝∠D.过点C作CH⊥AB交DA的延长线于点E，设垂足为H.以CE为直径作⊙O分别交AD，BC于点F，G，连接CF，若CF＝CH.
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)若tanB＝，OH＝9，求AE的长．
2.如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5.C是直线l上一点，连接CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，求线段BP的长．
3．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，＝，求BE的长．
4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝16.点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A，P是上的一个动点．
(1)求半径OB的长；
(2)如果点P是的中点，连接PC，求∠PCB的正切值；
(3)如果BA平分∠PBC，延长BP，CA交于点D，求线段DP的长．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
(3)若BE＝8，sinB＝，求DG的长．
参考答案
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 圆 章末专题复习练习题
专题一 与圆周角有关的计算
A组(基础题)
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝(C)
A．54° B．64° C．27° D．37°
2．(2020·绍兴)如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为(D)
A．45° B．60° C．75° D．90°
3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD.若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为(B)
A．6 B．8 C．5 D．5
4．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD相交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是(D)
A. B．3 C．3 D．4
5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．
6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为2．
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5，则BC的长为8．
B组(中档题)
8．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆外一点，CA，CB分别交半圆于点D，E.若△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，则∠C等于45°．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OE交AD于点F.若cos∠BAC＝，AF＝8，则DF的长为5．
C组(综合题)
10．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H.若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝．
专题二 与圆有关阴影部分面积的计算
A组(基础题)
1．如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是(C)
A．π B．2π C．3π D．6π
2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为(A)
A．4π－8 B．2π C．4π D．8π－8
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，连接OC，DB.如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是(B)
A．π B．2π C．3π D．4π
4．如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(A)
A．6π B．3π C．2π D．2π
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE，OF，则图中阴影部分的面积是－π．
B组(中档题)
6．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4－π．
7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在上，则图中阴影部分的面积为－．
8．如图，正方形ABCD边长为2，E是AB的中点，以E为圆心，线段ED的长为半径作半圆，交直线AB于点M，N，分别以线段MD，ND为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为2．
C组(综合题)
9．如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径，则阴影部分的面积16－4－π．
专题三 圆与相似
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝∠D.过点C作CH⊥AB交DA的延长线于点E，设垂足为H.以CE为直径作⊙O分别交AD，BC于点F，G，连接CF，若CF＝CH.
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)若tanB＝，OH＝9，求AE的长．
解：(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠D＋∠DAB＝180°.
∵∠B＝∠D，
∴∠B＋∠DAB＝180°.
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵CE是⊙O的直径，CH⊥AB，
∴∠CFD＝90°＝∠CHB.
∵CF＝CH，∴△CFD≌△CHB(AAS)．
∴CD＝CB.∴四边形ABCD是菱形．
(2)由(1)可知，BC∥AD，CF⊥AD，
∴BC⊥CF.∴∠B＝∠BAE.
∵BH＝DF，AB＝AD，∴AF＝AH.
∵tan∠B＝＝tan∠BAE，
∴设AH＝4a，则HE＝3a，AE＝5a，AF＝4a，EF＝9a.
∵∠E＝∠E，∠AHE＝∠EFC＝90°，
∴△EAH∽△ECF.
∴＝.
∴＝.
∴CE＝15a.
∵OH＝9，∴15a＝2(3a＋9)．
∴a＝2.
∴AE＝5a＝10.
2.如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5.C是直线l上一点，连接CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，求线段BP的长．
解：(1)证明：连接OB，则OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA.
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC.
∵OA⊥l，∴∠OAC＝90°.
∴∠ACB＋∠CPA＝90°.
∴∠ABP＋∠OBP＝90°，
即∠ABO＝90°.
∴OB⊥AB.
又∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
(2)由(1)知，∠ABO＝90°，
∵OA＝5，OB＝3，
∴由勾股定理，得AB＝4.
过点O作OD⊥PB于点D，则PD＝DB，
∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，
∴△ODP∽△CAP.
∴＝.
又∵AC＝AB＝4，AP＝OA－OP＝2，
∴PC＝＝2.
∴PD＝＝.
∴BP＝2PD＝.
3．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，＝，求BE的长．
解：(1)证明：连接OD，∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠BDO.
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB.
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠ADO＋∠ODB＝90°.
∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°.
∴OD⊥CD.
又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，
∴△CDA∽△CBD.∴＝.
∵＝，BC＝6，∴CD＝4.
∵CE，BE是⊙O的切线，∴BE＝DE，BE⊥BC.
∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62＝(4＋BE)2.
解得BE＝.
4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝16.点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A，P是上的一个动点．
(1)求半径OB的长；
(2)如果点P是的中点，连接PC，求∠PCB的正切值；
(3)如果BA平分∠PBC，延长BP，CA交于点D，求线段DP的长．
解：(1)∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝16，
∴AB＝＝12.
过点O作OH⊥AB于点H，
则BH＝AB＝6.
∵∠BHO＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BHO∽△BCA.∴＝.
∴＝.∴OB＝9.
(2)如图1，连接OP交AB于点H，过点P作PE⊥BC于点E，
∵点P是的中点，
∴OP⊥AB，AH＝BH＝AB＝6.
在Rt△BHO中，OH＝＝3.
在△POE和△BOH中，
∴△POE≌△BOH(AAS)．
∴PE＝HB＝6，OE＝OH＝3.
∴CE＝BC－OB＋OE＝10.
∴tan∠PCB＝＝.
(3)如图2，过点A作AE⊥BD于点E，连接CP，
∵BA平分∠PBC，AC⊥BC，
∴AE＝AC＝4.
∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠D＝∠D，
∴△ADE∽△BDC.∴＝.
设DE＝x，∴＝.∴CD＝2.
在Rt△ACB和Rt△AEB中，
∴Rt△ACB≌Rt△AEB(HL)．
∴BE＝BC＝16.
∵CD2＋BC2＝BD2，
∴(2)2＋162＝(16＋x)2，解得x＝.
∴BD＝16＋＝.
∴过点O作OF⊥PB交PB于点F，
则△OBF∽△DBC，∴＝.
∴＝.∴BF＝7.∴PB＝2BF＝14.
∴PD＝BD－BP＝.
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
(3)若BE＝8，sinB＝，求DG的长．
解：(1)证明：连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠ODA＝∠CAD.
∴OD∥AC.
∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°.
∴OD⊥BC.
∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．
(2)连接DF，由(1)知BC为⊙O的切线，
∴∠FDC＝∠DAF.∴∠CDA＝∠CFD.
∵∠BAD＝∠DAF.∴△ABD∽△ADF.
∴＝，即AD2＝AB·AF＝xy，
∴AD＝.
(3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB＝＝，
设圆的半径为r，可得＝，
解得r＝5.∴AE＝10，AB＝18.
∵AE是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°.
∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B.
∴sin∠AEF＝＝.
∴AF＝AE·sin∠AEF＝10×＝.
∵AF∥OD，
∴＝＝＝，即DG＝AD.
由(2)知AD＝＝＝，
则DG＝×＝.