第三单元第13课时：长方体和正方体整理复习
年级：
五年级
教材版本：
人教版
一、教学背景简述
《长方体和正方体整理与复习》是系统学习立体图形的开始，在之前平面图形特征、测量、解决问题的基础上，从二维到三维发展空间观念，对后续圆柱、圆锥的学习起到知识、技能、思想方法和经验的积淀作用。
通过本单元的学习，学生对长、正方体的形状、大小特征，形成基本的表象，能分析其中的基本元素及关系，会运用对应的单位、方法数学地表达相应的面积、体积、容积，能解决简单的实际问题。
几何知识具有很强的抽象性，结合儿童的认知发展规律，特别是几何认知的发展水平，从研究平面图形到研究立体图形是学生空间观念发展的一次飞跃。
从儿童的空间观念发展来看，这是一种理解和把握现实生活空间的能力；儿童空间观念发展一般需要经历具体（实物直观）、半具体（模像直观）、半抽象（图像抽象）、抽象（概念抽象）几个阶段，是通过儿童主动地将内化行为逐步组织而构建起来的。
小学阶段的儿童对于直观的依赖性比较强，比较容易理解直观的几何图形，对图形的识别依赖于标准的形式，用经验来思考或描述性质和概念。具体表现在：常常将图形的直观原形和图形形状的名称联系起来观察，容易感知图形外显性较强的元素特征，忽视图形的所有组成部分的特征；在思考和辨别中容易被直观图形的表象所误导，而忽视了对图形本质属性的认识和概括。
美国著名心理学家奥苏伯尔曾说：“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么。我们应该根据学生的原有知识现状进行教学。”所以，教学中要把握和尊重学生的认知规律，将数学知识体系本身的规律和儿童的认知特点结合，确定学习目标、学习途径、方法和策略。
1.利用学生的经验，如直观的经验、操作的经验、对图形形状体验的经验，进一步将经验深化，数学化地揭示、理解图形的本质特征。
2.尊重学生的规律沿着“问题情境—回顾梳理—认知构建—观念发展”的进程，经历观察、分析、比较、推理、概括的数学思维进程。
3.设计学生的活动，外显的活动和思维的活动相结合，活动是带着数学的眼光看、数学的思考想、数学的体验做，活动的过程不能缺少推理的价值。
二、学习目标
1.经历回顾、梳理长方体和正方体的特征、表面积、体积（容积）的测量，发展反思能力。
2.在观察、操作、想象、推理的数学活动中，深入理解长方体、正方体的特征，感受联系、有序观察、合理想象，发展空间观念和推理能力，积累数学活动经验。
3.运用图形的特征、关系、测量的方法解决问题，体会数学与生活的联系。
三、教学过程
（一）回顾中联系比较分析
1.交流-学习准备
（1）说明本节课的学习任务进行《长方体和正方体》的整理复习。
（2）提示学生做好学习准备，课前的学习任务单、笔、尺子，课上积极参与全过程。
2.联系-判断分析
（1）问题呈现
如图，观察一个长方体从正面看到是正方形，猜一猜，这个长方体什么样儿？为什么？
从正面看
（2）问题讨论
判断一个长方体的形状至少需要几个面？
（3）学生活动
学生边思考、边想象、边分析。
（4）呈现长方体图形
（5）问题交流
从面到体，依据长方体的特征，判断长方体的形状；
深化理解，长、宽、高影响着长方体的形状和大小。
（6）问题小结
相交于同一顶点的长、宽、高，决定着长方体每个面的形状和大小，进而决定长方体的形状和大小。
3.梳理-比较深化
（1）学生活动
长方体的特征和各部分的关系
图形
相同点
不同点
关系
面
棱
顶点
面的形状
面的大小
棱长
长方体
6
12
8
6个面都是长方形，有时两个相对的面是正方形。
相对的面面积相等。
平行的4条棱长度相等。
正方体
6个面都是正方形。
6个面的面积都相等。
12条棱长度都相等。
（2）长方体的体积、容积、表面积
体积
容积
表面积
意义
物体所占空间的大小。
一个容器所能容纳物体的体积。
长方体六个面的总面积。
长方体的
计算方法
V长=abh
V正=a
V=Sh
S长=（ab＋ah＋bh）×2
S正=6a
计量单位
m?、dm?、cm?，
相邻单位进率1000。
计量液体体积：L和mL。
m2、dm2、cm2，相邻单位进率100。
（3）问题交流
长方体有哪些特征？各部分之间有什么关系？为什么正方体是特殊的长方体？
怎样根据特征和关系，解决棱长和、表面积、体积、容积的测量问题呢？
（4）问题小结
从面、棱、顶点三个方面梳理长方体的特征，明确各部分之间的联系；
根据长方体棱的特点明确棱长和计算方法与由棱的长度和位置的关系；
根据长方体面的特征深化理解表面积的计算方法；
再现体积单位，清晰关系，联系实际建立计量单位的表象。
（二）沟通-推理深化理解
1.学生活动
问题解决中深化体积的意义
2.问题提出
为什么长方体、正方体的体积都可以用“底面积ⅹ高”计算？
3.问题解决
结合解决“遮盖”物体体积的问题，理解“底面积×高”的意义。
4.问题小结
基于体积的意义理解体积计算的推导过程；
测量物体的体积就是看物体有多少个体积单位；
“底面积×高”的方法不仅适用于长方体和正方体的体积，也适用于后续研究的圆柱体积。
（三）探索-问题解决发展
1.问题回顾
测量不规则物体体积的基本方法。
（1）转化方法测量橡皮泥的体积，变不规则为规则
（2）等量代换，用排水法测量梨的体积
2.问题呈现
(1)用排水法测量一个物体的体积，物体漂浮在水面上了，怎么办？
(2)教材第42页
3.问题解决
（1）浮在水面上的物体可以借助简单的工具，把它压到水面下，注意用排水法，物体一定要浸没在水中。
（2）玻璃球可以试试排水法，找一个小一些的容器，如果放入水中水面变化不大，可以多放几个同样的玻璃球，先测量出一些玻璃球的体积，再算出一个的体积。把一些绿豆放入规则容器中，先测量出一些黄豆的体积，再计算出一粒黄豆的体积。
4.启发思考
玻璃球和绿豆的体积还有没有其他的测量方法？
解决问题要结合具体情境，选择恰当的方法。
（四）结构-形成经验积累
1.经验分享
（1）从概念、特征、计量单位、计算方法进行整理的。
（2）从特征和测量两部分梳理关系
2.学习建议
分享单元整理的样例，提出改进建议；
选择喜欢的方式进行本单元的再梳理。
（五）布置作业
教材第43页的2题和4题
（六）全课总结
温故知新，从学会到会学，用学到的知识、方法继续探究，看看同学们会有哪些收获？又会产生哪些新的问题呢？《长方体和正方体整理复习》学习任务单
【课前准备】
对《长方体和正方体》进行初步整理，可以参照提供的表格，也可以用自己喜欢的方式。
表格1：长方体和正方体的特征与关系
立体图形
相同点
不同点
关系
面
棱
顶点
面的形状
面的大小
棱长
长方体
正方体
表格2：长方体的体积、容积、表面积
体积
容积
表面积
意义
长方体的计算方法
计量单位
【课上活动】
任务一：交流分享大家对于本单元的整理。
任务二：
数学书第42页思考题
任务三：下列物品的体积可以怎样测量呢？
(1)漂浮在水面上了怎么办？
(2)数学书第42页第2题
【课后作业】
1.
数学书第43
页第2题
2.数学书第43
页第4题
【参考答案】
1.
数学书第43页第2题
长
宽
高
表面积
体积
1
2cm
1cm
3cm
（
22
）cm2
（
6
）cm3
2
4cm
2cm
6cm
（
88
）cm2
（
48
）cm3
3
8cm
4cm
12cm
（352
）cm2
（384
）cm3
长方体的长、宽、高都变为原来的2倍，它的表面积是原来的4倍，体积是原来的8倍。
2.数学书第43
页第4题
1个垃圾桶上部侧面积：66×20×4＝5280（cm?）
下部侧面积：46×80×4＝14720（cm?）
装饰总面积：5280＋14720＝20000（cm?）＝2（m?）
25个垃圾桶装饰总面积：2×25＝50（m?）
外饰面花费总金额：180×50＝9000（元）
答：这些垃圾桶的外饰面一共要花9000元。(共43张PPT)
长方体和正方体整理复习
五年级
数学
学习准备
长方体和正方体
表面积
认识
体积（容积）
不规则物体的体积
课前思考
如何把学习收获进行系统的整理？
如何在复习中查漏补缺？
课前整理
从正面看
请你猜一猜：这是一个什
么样的长方体？
有一组对面是正方
形的长方体，这个长
方体是“扁扁”的。
从正面看
有一组相对面是正方形
的长方体。
从正面看
请你猜一猜：这是一个什
么样儿的长方体？
是长方体的特殊情
况正方体。
不能判断,判断一个长方体
的形状至少需要两个面。
这两个面是相邻的。
为什么猜的结果不一样？
为什么需要知道两个相邻的面？
是什么影响着长方体的形状？
为什么猜的结果不一样？
不同的立体图形，可
能从同一个方向看到
的图形是一样的。
为什么需要知道两个相邻的面？
因为相邻的两
个面就“限定”
了第三个面。
相交于同一顶点的长、
宽、高确定了。
长、宽、高确定了，
长方体上每一个面的形
状和大小就确定了。
高
宽
体
面
长方体有什么特征？各
部分之间有什么关系呢？
为什么说正方体
是特殊的长方体？
怎样根据特征分析关系，解决棱长和、
表面积、体积、容积的测量问题呢？
相同点
不同点
立体
图形
关系
面
棱
顶点
面的形状
面的大小
棱长
长
方
体
正
方
体
3
体积
容积
表面积
意义
长方体的
计算方法
计量单位
相同点
不同点
面的大小
立体
图形
关系
面
棱
顶点
面的形状
棱长
长
方
体
6个面都是长方形，
有时有两个相对的
面是正方形。
相对的面面
平行的
4条
积相等。
棱长度相等。
正
长
方
方
体
体
6
12
8
正
方
体
6个面的面积
12条棱长
6个面都是正方形。
都相等。
度相等。
3
体积
容积
表面积
容器所能容纳物体
的体积。
意义
物体所占空间的大小。
六个面的总面积。
V
=abh
V
=
a3
V=Sh
S长=(ab＋ah＋bh)×2
S正=6a2
长方体的
计算方法
长
正
m2、dm2、cm2，
相邻单位进率是100。
计量液体体积：
L和mL。
m?、dm?、cm?，
相邻单位进率是1000。
计量单位
研究长方体面的特征与表面
积计算方法的联系，发现了一
个好方法。
回顾长方体体积的意
义和测量方法，理解
根据长方体棱的特点，
“底面积ⅹ高”的道理。
分析了棱长和计算方法
与棱的长度和位置之间
的关系。
不同点
棱长
长方体棱长和=（长+宽+高）
正方体棱长和=棱长ⅹ12
ⅹ4
立体
图形
关系
长
方
体
分析长方体棱长和与
棱的长度和位置之间的
关系。
平行的4条
棱长度相等。
正
方
体
12条棱长度
相等。
高
长、宽、高影响着长
方体的形状和大小。
棱长
宽
长
不同点
立体
图形
S
=(
＋
＋b
×2
面的形状
面的大小
观察长方体面的特征与表面
6个面都是长方
长
方
体
形，有时有两
相对的面
积计算方法的关系，发现了一
个相对的面是
面积相等。
正方形。
个好方法。
6个面的面
6个面都是正方
积都相等，
正
方
体
形。
S正=6a2
。
回顾长方体体积的意
义和测量方法，理解
“底面积ⅹ高”的道理。
每行的块数×行数×层数
=
总块数
（长
×
宽）×高
=
体积
底面积
×高
=
体积
长方体是用棱长1cm的
小正方体摆出的，算出
它们的体积。
每行的块数×行数×层数
=
总块数
（长
×
宽）×高
=
体积
底面积
×高
=
体积
测量物体的体积就是看
物体有多少个体积单位。
休息
1cm3
1L
10mL
200mL
1m3
1dm3
排水法
把橡皮泥捏压成规则的形状，
再测量。
水的体积是200mL
水和梨的体积是
450mL
梨的体积=450-200=250（mL）
橡皮泥
一个物体漂浮在水面上了，怎么办？
一个物体漂浮在水面上了，怎么办？
借助简单的工具，把
它完全浸没在水中。
怎么测出玻璃球和绿
豆的体积呢？
面、棱、顶点
长方体和正方体的认识
长
方
体
和
正
方
体
表面积的含义
长方体和正方体的表面积
表面积计算
体积和体积单位
体积测量与计算
体积单位及进率
容积和容积单位
不规则物体的体积
长方体和正方体的体积
特征
课后作业
课本43页
第2题
第4题
温故知新
从学会到会学
整体构建
内化思想经验
学以致用
探究发现创新
再
见长方体和正方体整理复习
五年级数学
学习准备
立体相同
不同
图形面楼顶点
面的形状面的大小棱长关系
长
方
万
体积
容积
表面积
意义
长方体的
计算方法
计量单位
长方体和正方体
匚认识
表面积
体积(容积)
不规则物体的体积
要沿着棱剪开
我展开了一个长
方体的纸盒
正方体展开
后是这样的。
A
课前思考
如何把学习收获进行系统的整理?
如何在复习中查漏补缺?
表格1:长方体和正方体的特征
图形相同
「关系
62861面-般都影方
课前整理
内的面相.永度相
面是正方形
正方形
正方体
628|6个春是正方形个面的面
①乐機长度
根相等帮租等
,m,
'=ke
体积
表面积
ld1,>.boger.
上下
出=|多
中位换算
意义粉解问的-个容的能的长的体个面能总面积1
物体的体积
3伍长告
想成遇宽
正万修
计算方法长=abh证av5米长(ab+a+b)x2
方体的
性的
赵相号
chL
←一一
8忘,
在孔
你知道吗?
人们很早就得出了长方体、圆柱等形体的体积计算公式。因为它
们是河堤、谷仓等的常见形状,而且还有计算体积的需要。
我国古代数学名著《九章算术》中,集中而正确地给出了立体图
形的体积计算公式。书中在求底面是正方形的长方体体积时,是这样
说的:“方自乘,以高乘之即积尺。”就是说先用边长乘边长得底面积,
再乘高就得到长方体的体积。
乘飞机的行李尺寸规定
生活中的数学
机场行李托运一般不超过此规格。
手提行李的三边之和一
般不得超过115cm。
你知道其他交通工具关于行李尺寸的规定吗?
请你猜一猜:这是一个什
从正面看
么样的长方体?
有一组对面是正方
从正面看
的长方体,这个长
方体是“扁扁”的
有一组相对面是正方形
长方体
请你猜一猜:这是一个什
从正面看
么样儿的长方体?
是长方体的特殊情
况正方体
不能判断,判断一个长方体
的形状至少需要两个面。
为什么猜的结果不一样?
为什么需要知道两个相邻的面?
是什么影响着长方体的形状
为什么猜的结果不一样?
立体图
图形是一样的
为什么需要知道两个相邻的面?
了第三个
足
长
宽
体
面
长方体有什么特征?各
部分之间有什么关系呢
为什么说正方体
是特殊的长方
怎样根据特征分析关系,解决棱长和
表面积、体积、容积的测量问题
立体相同点
图形面棱顶点」面的形状面的大小棱长
长方体一正方体
体积
意义
长方体的
计算方法
量单位
