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人教版
七年级数学下册
8.1
二元一次方程组
学习目标
1.了解二元一次方程（组）及其解的定义．
2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.
3.能根据简单的实际问题列出二元一次方程组.
1.什么是方程？
2.什么是一元一次方程？
含有未知数的等式叫方程.
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
如：
复习巩固
问题1 依据上面的问题如何列
一元一次方程？
解：设胜x场，则负（10－x）场
2x+（10－x）=16.
引言：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，
负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队
胜负场数分别是多少？
1.二元一次方程
问题2 能不能根据题意直接
设两个未知数，使列
方程变的容易呢？
解：设这个队胜x场，负y场
①
②
问题3
这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？
像这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
二元一次方程的定义：
如：
引言中的问题包含了两个必须同时满足的条件,也就是未知
数x，y必须同时满足方程：
x+y=10
和
2x+y=16．把
两个方程
合在一起，写成：
就组成了一个方程组．
这个方程组含有几个未知数？
含有未知数的项的次数是多少？
2.二元一次方程组
二元一次方程组的定义：
方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
下列方程组是二元一次方程组的是（
）
A.
B.
C.
D.
B
小提示：
也是二元一次方程组.
含三个未知数
未知项的次数是2
未知数出现在分母中
√
学以致用
二元一次方程组的判定方法：
1.方程中含有两个未知数
2.含有未知数的项的次数都是1
3.一共有两个方程
归纳
3．二元一次方程的解
x
y
满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中.
0
10
1
3
2
5
4
6
9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7
0
10
追问1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取
哪些值？
x=-1，
y=11；
这些值是有限的吗？
x=0.5，
y=9.5；…
无限多个
①
二元一次方程的解与一元一次方程解的区别
1.二元一次方程的解是成对出现的.
2.二元一次方程的解有无数多个.
知识归纳
追问2
上表中哪对x，y的值还满足方程②？
x=6，y=4
也满足方程②．也就是说，它是方程①与方程②的公共解
.
4．二元一次方程组的解
x
y
0
10
1
3
2
5
4
6
9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7
0
10
记作：
②
追问3 你是如何理解“公共解”的？
一般地，组成二元一次方程组的两个方程
的公共解，叫做二元一次方程组的解．
追问4 引言中问题的答案是什么？
这个队在10场比赛中胜6场、负4场．
这对数值必须满足方程组中的每一个方程.
1.下列各组数中______是方程x-3y=2的解.
_______是方程2x-y=9的解.
x
=-1
y=
-1
A:
B:
x
=5
y
=1
C:
x
=3
y
=2
D:
y
=
-
5
x=2
2.方程组
x-3y=2
2x-y=9
的解是上面的(
)
B
A、
B
B
、D
当堂训练
二元一次方程与二元一次方程组解的区别
一般情况下，二元一次方程的解有无数个，
二元一次方程组有且只有一组解.
知识归纳
D.
x=4，
y=3
x=3，
y=6
x=2，
y=4
x=4，
y=2
A.
B.
C.
3.二元一次方程组
的解是(
)
x+2y=10，
y=2x
C
4.下列各式是二元一次方程的是(
)
A.x=3y
B.2x+y=3z
C.x?+x-y=0
D.3x+2=5
A
当堂训练
x+
=1
y+x=2
5.下列不是二元一次方程组的是(
)
A.
x+y=3
x-y=1
B.
C.
x=1
y=1
D.
6x+4y=9
y=3x+4
B
当堂训练
7.方程ax-
y=3的解是
则a的值是( )
A.5 B.-
5 C.2 D.1
A
解析:把
代入方程ax-
y=3,得a-
2=3,解得a=5.故选A.
当堂训练
8.
已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，
则m＋n＝_____．
解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.
0
方法技巧：
由方程是二元一次方程可知：
(1)未知数的系数不为0；
(2)未知数的项的次数都是1.
当堂训练
解：设x位工人参加第一道工序，y位工人参加第二道工序，列出二元一次方程组
9.列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解
加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件。现有7位工人参加这两道工序。应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
因为x，y只能取正整数，并且都小于7，可以看出当x＝4，y＝3时能满足方程组，所以应安排4人参加第一道工序，3人参加第二道工序．
通过对比,我们体验到从算术方法到代数方法是一种进步.而当我们遇到求多个未知量,而且数量关系复杂时,列二元一次方程组比列一元一次方程容易,它大大减轻了我们的思维负担.
知识归纳
二元一次方程组
二元一次方程
方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程组
方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
课堂小结
必
做：习题8.1第3题、第4题
选
做：习题8.1第5题
布置作业
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8.1二元一次方程组
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?郫都区期末）下列方程中，是二元一次方程的是
A．
B．
C．
D．
2．（2020秋?坪山区期末）若，是方程的两组解，则、的值为
A．4，2
B．2，4
C．，
D．，
3．（2020秋?扶风县期末）已知方程，把它变形为用含的代数式表示，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021?宁波模拟）方程的正整数解的个数是
A．4
B．5
C．6
D．7
5．（2020春?新野县期末）方程和的公共解是
A．
B．
C．
D．
6．（2020秋?肃州区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．（2020秋?昌图县期末）若关于，的方程是二元一次方程，则
．
8．（2021?宁波模拟）在方程的正整数解中，使的值最小的解是
．
9．（2020秋?禅城区期末）若是方程的解，则
．
10．（2021春?锦江区校级月考）已知方程，改写成用含的式子表示的形式
．
11．（2020秋?吉水县期末）写出二元一次方程的一个整数解
．
12．（2020春?涪城区期末）若方程组是关于，的二元一次方程组，则
．
三、解答题
13．已知方程是二元一次方程，求，的值．
14．若为含，的二元一次方程，试求：
（1）和的值；
（2）求代数式的立方根．
15．已知方程组是二元一次方程组，求的值．
16．已知二元一次方程
（1）直接写出它所有的正整数解；
（2）请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为．
8.1二元一次方程组
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?郫都区期末）下列方程中，是二元一次方程的是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元一次方程，故本选项符合题意；
．分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
2．（2020秋?坪山区期末）若，是方程的两组解，则、的值为
A．4，2
B．2，4
C．，
D．，
【解析】解：把，代入方程得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：．
故选：．
3．（2020秋?扶风县期末）已知方程，把它变形为用含的代数式表示，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：方程，
解得：，
故选：．
4．（2021?宁波模拟）方程的正整数解的个数是
A．4
B．5
C．6
D．7
【解析】解：方程，
解得：，
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；
则方程的正整数解有5对．
故选：．
5．（2020春?新野县期末）方程和的公共解是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：联立得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为，
故选：．
6．（2020秋?肃州区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：、该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，故此选项错误；
、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误；
、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误；
、该方程组符合二元一次方程组的定义，故此选项正确；
故选：．
二、填空题
7．（2020秋?昌图县期末）若关于，的方程是二元一次方程，则 2或4 ．
【解析】解：根据题意得：，，
解得：，，
，，
的值是2或4，
故答案为：2或4．
8．（2021?宁波模拟）在方程的正整数解中，使的值最小的解是 ．
【解析】解：由，得，
是方程组的一个解，其通解为为整数），
，都是正整数，
，，，，，，，，，，
使的值最小的解是
故答案为．
9．（2020秋?禅城区期末）若是方程的解，则 ．
【解析】解：把代入方程，可得：，，
，
故答案为：．
10．（2021春?锦江区校级月考）已知方程，改写成用含的式子表示的形式 ．
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
11．（2020秋?吉水县期末）写出二元一次方程的一个整数解 ．
【解析】解：方程整理得：，
当时，，
则方程的一个整数解为，
故答案为：
12．（2020春?涪城区期末）若方程组是关于，的二元一次方程组，则 1 ．
【解析】解：根据题意知，，
解得，，
则，
故答案为：1．
三、解答题
13．已知方程是二元一次方程，求，的值．
【解析】解：由题意得：，，
解得：，
，，
解得：．
14．若为含，的二元一次方程，试求：
（1）和的值；
（2）求代数式的立方根．
【解析】解：（1）由题意得，，，
即，；
（2）代数式的立方根为：．
15．已知方程组是二元一次方程组，求的值．
【解析】解：依题意，得
，且、，
解得．
故的值是5．
16．已知二元一次方程
（1）直接写出它所有的正整数解；
（2）请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为．
【解析】解：（1）方程，
解得：，
当时，；当时，；当时，，
则方程的正整数解为；；；
（2）根据题意得：（答案不唯一）．
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