《正比例的意义》学习任务单
【课上活动】
活动一：找一找
在这些变化中，有没有什么规律呢？用自己喜欢的方式表示出来。
素材一：
素材二：
素材三：
素材四：
活动二：画一画
把彩带的数量和总价所对应的点在图中描出来，并连线。
活动三：辨一辨
判断下面素材中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。
【课后作业】
1.数学书第49页第2题
2.数学书第50页第7题
【参考答案】
1.数学书第49页练习九第2题
（1）《小学生作文》的单价一定，订阅的费用与订阅的数量成正比例关系。
《小学生作文》的订阅的费用和订阅的数量是两种相关联的量。因为=单价（一定），也就是比值一定，所以，订阅的费用与订阅的数量成正比例关系。
（2）正方体的表面积与它的棱长不成正比例关系。
正方体的表面积和它的棱长是两种相关联的量。正方体的表面积=棱长×棱长×6，=棱长×6（不一定）。因为正方体的表面积与它的棱长的比值不是一定的，所以，正方体的表面积与它的棱长不成正比例关系。
（3）一个人的身高与他的年龄不成正比例关系。
因为一个人的身高不总是随着年龄的增加而增加，它们的比值不是一定的，所以，一个人的身高与他的年龄不成正比例关系。
（4）小麦每公顷产量一定，小麦的总产量与公顷数成正比例关系。
小麦的总产量和公顷数是两种相关联的量。因为=小麦每公顷产量（一定），也就是比值一定，所以，小麦的总产量与公顷数成正比例关系。
（5）书的总页数一定，未读页数与已读页数不成正比例关系。
一本书的未读页数和已读页数是两种相关联的量。未读页数＋已读页数＝书的总页数（一定），因为书的总页数一定，未读页数与已读页数是和不变的关系，不是比值不变，所以，未读页数与已读页数不成正比例关系。
2.数学书第50页第7题
（1）
（2）买7支铅笔需要3.5元。
（3）小丽买的铅笔支数是小明的4倍。(共43张PPT)
正比例的意义
六年级
数学
变化的量
请同学们说一说，谁是变化的量？
它们是怎么变化的？
请同学们说一说，谁是变化的量？它们是怎么变化的？
增加
小天
增加
请同学们说一说，谁是变化的量？它们是怎么变化的？
减少
小天
减少
请同学们说一说，谁是变化的量？它们是怎么变化的？
增加
小天
增加
请同学们说一说，谁是变化的量？它们是怎么变化的？
增加
增加
增加
亮亮
增加
请同学们说一说，谁是变化的量？它们是怎么变化的？
增加
增加
减少
亮亮
减少
都是两种量在变化，它们的变化一样吗？
在这些变化中，还藏着什么其他的规律呢？
亮亮
小刚
在这些变化中，有
没有什么规律呢？
×4
×4
×2
×2
÷3
÷3
小刚
＋1
＋1
＋3.5＋3.5
变
变
不变
总价
数量
＝
单价
÷
3.5
÷
1
＝
3.5（元/米）
7
÷
2
＝
3.5（元/米）
芳芳
10.5
÷
3
＝
3.5（元/米）
…
亮亮
变
变
不变
路程
÷
时间
＝
速度
80
÷
1
＝
80（千米/时）
160
÷
2
＝
80（千米/时）
240
÷
3
＝
80（千米/时）
×5
×2
…
×2×5
增加
变
变
不变
32
－
2
＝
30（岁）
＋1
＋1
增加
33
－
3
＝
30（岁）
＋2
没有不变的量
＋2
34
－
4
＝
30（岁）
…
差不变。
小天
单价不变
商不变
差不变
速度不变
年龄差不变
芳芳
正比例关系
比值
商
？“一定”
“不变”？
“比值一定”
“商不变”？
芳芳
哪两种量成正比例关系，哪些不是呢？
小刚
成正比例关系
不成正比例关系
亮亮
32
－
2
＝
30（岁）
年龄差不变。
33
－
3
＝
30（岁）
34
－
4
＝
30（岁）
芳芳
爸爸的年龄与小明的年龄不成正比例关系。
没有不变的量。
芳芳
笑笑读书的天数与页数不成正比例关系。
×4
×4
亮亮
小刚
7
10.5
＝
＝
＝…＝
总价
数量
3.5
1
＝单价（一定）
3.5
2
3
文具店彩带的销售总价和数量是成正比例的量，
文具店彩带的销售总价与数量成正比例关系。
80
160
240
＝
＝…＝
小天
＝
80
1
2
3
路程
时间
＝速度（一定）
甲车行驶的路程和时间是成正比例的量，
甲车行驶的路程与时间成正比例关系。
80
160
240
＝
＝…＝
小天
＝
80
1
2
3
路程
时间
＝速度（一定）
甲车行驶的路程和时间是成正比例的量，
甲车行驶的路程与时间成正比例关系。
大家和我画
的一样吗？
亮亮
下面是小林家去年上半年每月用电量情况。
月份
用电量/千瓦时
120
电费/元
60
1
2
3
4
5
6
130
65
110
55
120
60
130
65
150
75
（1）分别写出各月电费与用电量的比，比较比值大小。
（2）说明这个比值所表示的意义。
（3）电费与相应的用电量成正比例关系吗？为什么？
下面是小林家去年上半年每月用电量情况。
月份
1
2
3
4
5
6
用电量/千瓦时
120
130
65
110
55
120
60
130
65
150
75
电费/元
60
电费
＝单价
（一定）
用电量
电费与相应的用电量成正比例关系。
小刚
判断素材中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。
兰兰年龄增加，她的身高也随着增加，
所以兰兰的年龄与身高成正比例关系。
芳芳
兰兰的年龄与身高不成正比例关系。
玲玲
它们的比值不是一定的，它们不成正比例关系。
玲玲
亮亮
比值一定
25
25
25
25
25
25
比值
圆柱的体积
高
＝底面积（一定）
底面积一定，圆柱的体积与高成正比例关系。
亮亮
比值一定
25
25
25
25
25
25
底面积/cm2
圆柱的体积
高
＝底面积（一定）
底面积一定，圆柱的体积与高成正比例关系。
成正比例关系
可以设数来解决。
小天
正方体的棱长和
棱长
＝12（一定）
比值
80
75
82
…
路程÷时间＝速度。
比值不一定，
不成正比例关系。
小刚
芳芳
速度/千米/时
80
75
82
…
路程÷时间＝速度。
比值不一定，
小刚
不成正比例关系。
芳芳
怎样判断两种量是否成正比例关系呢？
两种相关联的量。
关注数据，
关注数量关系，
可以设数。
关键要看比值
是否一定。
x表示非0自然数。
x
1
2
3
4
5
6
…
4x
4
8
12
16
20
24
…
观察表中数据，你有什么发现？
4x
＝
4（一定）
x
4x与x成正比例关系。
玲玲
x表示非0自然数。
x
1
2
3
4
5
6
…
边长
周长
4x
4
8
12
16
20
24
…
观察表中数据，你有什么发现？
我想到了正方形。
正方形的周长
边长
＝
4（一定）
正方形的周长与边长成正比例关系。
小天
作业1：数学书第49页第2题
作业2：数学书第50页第7题
再
见第四单元第4课时：正比例的意义
年级：
六年级
教材版本：人教版
一、教学背景简述
本节课的教学重点是理解正比例的意义，能判断两种相关联的量是否成正比例关系。学生已经学习过比和比例的意义，并在“变化的量”一课中，结合具体情境体会了生活中常见变量之间的关系，这些都为本节课学生学习正比例关系奠定了基础。正比例关系是重要的数学模型，体现了基本的函数思想，在数学思想层面上对以前学过的许多数学问题和数学规律进行一般化和模型化，对学生代数思维的发展十分有益，也是学生学习反比例关系以及中学学习函数知识的重要基础。正比例关系描述的是一种量变化导致另一种量跟着变化的一种关系，对于学生来说较为抽象。学生在之前的学习中见到的几乎都是具体的数量，而对变化的数量不是很关注。所以，学习正比例的意义对于小学生来说还是有一定难度的。
根据学生的经验和学习困难，形成本节课的教学策略：
1.在具体情境中发现量与量的变化规律
教学中利用熟悉的情境和数量关系，让学生学会用“函数”的眼光去理解量与量的变化规律，发现两种变量背后的不变量，从而更好地理解正比例的意义。
2.在逐步抽象中理解正比例的意义
学生对正比例意义的理解不是一蹴而就的，认知水平是逐步提高的。首先认识到正比例关系描述的是两种相关联的变量之间的关系，其次是一种函数关系，最后认识到它是一个数学模型。让学生经历这样一个逐步抽象的过程，在逐步抽象中学生对概念理解的水平逐步提升。
3.在“变”与“不变”中理解正比例的意义
教学中让学生看到“变”中的“不变”，在数量的变化中理解不变的关系。
二、学习目标
1.结合具体情境理解正比例的意义，掌握成正比例的量的变化规律，能判断两种相关联的量是否成正比例关系。
2.经历观察、比较、分析、归纳等数学活动，发展推理能力，体会函数思想。
3.感受正比例关系在生活中的广泛应用，发展数学学习的兴趣。
三、教学过程
（一）承上启下，引入新课
同学们，上节课我们学习了“变化的量”。发现了两种相关联的量，都是一种量随着另外一种量的变化而变化。这节课，我们继续研究相关联的量的变化情况，深入探索它们变化中的奥秘。
（二）对比变化，理解概念
1.观察变化，分类探究
（1）提出问题
下面素材中，谁是变化的量，它们是怎么变化的？
（2）汇报交流
都是一种量增加或者减少，另一种量随着增加或者减少。
2.感受不变，关注本质
（1）提出问题
这么多变化的量，同学们你们心中有什么疑问吗？
生1：都是两种量在变化，它们的变化一样吗？
生2：在这些变化中，还藏着什么其他的规律呢？
（2）汇报交流
素材一：
①从“变”的角度分析
彩带销售数量扩大到原来的多少倍，彩带总价也随着扩大到原来的多少倍；
彩带销售数量缩小到原来的几分之一，彩带总价也随着缩小到原来的几分之一。
②从“不变”的角度分析
3.5÷1=3.5（元/米）
7÷2=3.5（元/米）
10.5÷3=3.5（元/米）…
总价÷数量=单价，彩带的单价没变，都是3.5元。
素材二：
①从“变”的角度分析：
甲车行驶时间扩大到原来的多少倍，甲车行驶路程也随着扩大到原来的多少倍。
②从“不变”的角度分析：
80÷1=80（千米/时）
160÷2=80（千米/时）
240÷3=80（千米/时）…
路程÷时间=速度，甲车的速度没变，都是每小时80千米。
素材三：
①从“变”的角度分析：
爸爸的年龄增加多少，小明的年龄也随着增加多少。
②从“不变”的角度分析：
爸爸和小明的年龄差不变，都是30岁。
素材四：
①从“变”的角度分析：
笑笑读书天数增加，读书的页数也增加；读书天数减少，读书的页数也减少。
②从“不变”的角度分析：
没有找到不变的量。
小结：前三个素材变化的量中，都有不变的量。素材一单价不变，素材二速度不变，素材三爸爸和小明的年龄差不变。而素材四中没有不变的量。所以素材一、素材二是商不变，素材三是差不变。
（3）引出概念
学生充分理解概念并提出问题：比值是不是商？“一定”是不是就是“不变”的意思？所以比值一定就是商不变的意思，对吗？
3.辨中思辨，建立模型
（1）提出问题
学生提问：以上4个素材中的两种量好像不都是正比例关系。哪两种量是正比例关系，哪些不是呢？
（2）汇报交流
学生认为素材一二中的两种量成正比例关系，素材三四中的两种量不成正比例关系，并说明理由。
素材三：
爸爸和小明年龄的差不变，不是比值不变。所以这两种量不成正比例关系。
素材四：
因为没有不变的量。所以笑笑读书的天数与页数不成正比例关系。
素材一：
彩带的总价和数量是两种相关联的量，总价是随着数量的变化而变化的，而且总价与相应数量的比值都是3.5，单价（一定），比值一定，所以彩带的总价和数量叫做成正比例的量，它们之间的关系是正比例关系。
素材二：
甲车行走的路程和时间是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化，而且路程与相应时间的比值是一定的，都是80，＝速度（一定）。所以，甲车行驶的路程和时间叫做成正比例的量，它们之间的关系是正比例关系。
根据正比例关系画出的图的特点：
学生发现甲车行驶的路程和相对应的时间所描出的点都在一条直线上，这条线上所有点对应的两个量的比值都相等。
学生完成素材一的图：
小结：我们从实际情境中提取了两种相关联的量，通过对数据的深入研究，发现了变化的特点，又在“变”中关注了“不变”。通过研究变与不变的规律，经历了观察、比较、发现、归纳的过程，逐渐加深了对正比例的意义的理解。
（三）巩固练习，应用概念
1.建立完整思维过程，巩固正比例意义
数学书第49页第1题
2.对比判断，方法多样
判断下面素材中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。
小结：怎样判断两种量是否成正比例关系呢？首先，这两种量必须是两种相关联的量，其次要看两种量的比值是否一定。我们可以依据给出的数据求比值，关注数量关系设数求比值。
3.抽象成数，拓展提升
x表示非0自然数
x
1
2
3
4
5
6
…
4x
4
8
12
16
20
24
…
观察表中数据，你有什么发现？
预设1：＝4（一定）。所以4x与x成正比例关系。
预设2：如果正方形的边长是x，它的周长就是4
x。＝4，也就是＝4，4表示正方形有4条边，比值是一定的。所以，正方形的周长与边长成正比例关系。
全课总结：通过生活中的实例找到了变化的量中隐藏的不变的量，发现了它们之间的关系，研究的是比值不变，正比例关系的这一类情况。其实在变化的量中还有很多变化的规律，下节课我们会继续研究。希望同学们能带着这节课的收获继续今后的学习。
（四）作业布置
1.数学书第49页第2题
2.数学书第50页第7题正比例的意义
六年级数学
变化的量
被癟教与减教化性性烟我从岁到们岁
时/l
2345
a
身高变化情况
6岁辅/面包的数量总价的变化
40
2-2=10
7务商2妹数量
30
鬥2|345
13-3=10
60
8岁2总价/612824|30
14-4=10
80
岁身高0/厘未
0234560岁身高喱
15-5=/0
洗车行驶的路程与时啊的变你就程1好高3
鲁滨逊漂流记(200)
我们球分组情
已数0203045组2346
未看页数/901800l16050
已看而数与未看页数的交化
组数8296
请同学们说一说,谁是变化的量?
甲车行驶的时间和路程
锃俫
它们是怎么变化的
■
40
文具店彩录的销售教量与总价的杀系
3201
32
240
[散子23456I
/60
60
●●●
80
总价/,|357k5152
0
234
3
4
笑笑读书情況
爸车龄小明年龄=30
天数
45
页数质6
172/28
请同学们说一说,谁是变化的量?它们是怎么变化的?
文具店彩带的销倍教量与总价的关系
数加234567
总价/元35715752
●
小天
请同学们说一说,谁是变化的量?它们是怎么变化的?
文具店彩带的销倍教量与总价的关系
减
k子123456[7
价/357题ms2eg
小天
请同学们说一说,谁是变化的量?它们是怎么变化的?
2}甲行驶的时间和路程
路俫
480
400
60
80
小天
01234567吋付
增力
请同学们说一说,谁是变化的量?它们是怎么变化的?
俗爸黄小明赞=3
笑笑读书情沉
天数
2345
完亮
面数负61172/28
请同学们说一说,谁是变化的量?它们是怎么变化的?
俗爸黄小明赞=3
笑笑读书情況
减
天数234
完亮
数负6172128
减少
看到这些变化的量,
2甲车行驶的时间和路程
路
同学们有什么疑问吗?
480
文具店彩费的销售教量与愿价的,系
400
320
320
子23幺567
24
l60
80
总价危,35715哗75225
80
4
07234567吋时
笑笑读书情況
爸爸年龄-小明年龄=32131451
页教6∥m12128
都是两种量在变化,它们的变化一样吗?
在这些变化中,还藏着什么其他的规律呢?
小刚
文具店彩录的销售教量与总价的杀系
2甲车行驶的时间和路程
路锃俫
[h加团234567
480
总价/B7/212x
●●●
400
3201
32
240
爸年龄一小明年龄=30(0
60
80
0/234567时
笑笑读书情沉
在这些变化中,有
天数12345
页数角617228
没有什么规律呢?
