苏科版七年级下册数学课件 8.2幂的乘方与积的乘方（28张PPT）

小羽同学去北京参观，她发现天安门广场前有一个正方形喷泉池，边长标记是32m,你能帮小羽表示出正方形喷泉池的面积吗？
或者=(32)2 m2
=32×32 m2
：

小羽参观时，又发现了一个形状是正方体的办公楼，边长是102m,你能帮小羽表示出它的体积吗?
(32)2 和(102)3是一种什么运算呢 ？
或者=(102)3 m3
=102 × 102 × 102 m3

1.乘方的意义是什么？
：
3.同底数幂的乘法的性质是什么呢？
4.上面问题中，32 叫什么 ？ ；(32)2 叫什么呢？
2.什么是幂？
乘方运算an的结果叫幂
an =a × a × … × a
am·an=am+n(m、n是正整数).
幂的乘方
5.如何运算呢？
n个a
幂
102 呢? (102)3呢？
学习目标
02
03
04
发现生活中幂的乘方的存在价值
解决问题
能够双向运用幂的乘方运算法则进行计算，熟练解决问题
分析问题
会分析问题的本质，分析幂的乘方的意义
探索奥秘
探索幂的乘方运算性质，掌握从具体到抽象的思考问题的方法，并能由特殊到一般进行猜想、归纳幂的乘方运算法则，使用符号进行表达和推理
发现问题
01
=102×102× … ×102
100个102
(102)3 =102 × 102 × 102
：
100个102 相乘,如何表示？
(102)100
1. (23)2 表示什么意义呢?
(32)2 = 32×32
已知
思考
[(-10)4]3呢？
2. 计算下列各式：
⑴(23)2
(同底数幂乘法性质)
⑵[(-10)4]3
=（-10）4+4+4
=（-10）12
=（-10）4×3

=23×23
=23+3
=23×2
=26
(乘方的意义)
=（-10）4×（-10）4 × （-10）4
= 1012
3. 计算下列各式,并说出每一步的计算依据
⑴(2m)2
=2m×2m
——(乘方的意义)
———(同底数幂乘法性质)
⑵ [(-10)4]n

= (-10)4 × (-10)4 × … × (-10)4
= (-10)4+4+…+4
= (-10)4n
=2m+m
=22m
———(合并同类项法则)
n个(-10)4
n个4
——(乘法的意义)
——(乘方的意义)
——(同底数幂乘法性质)
= 104n
——(负数的偶次幂是正数)
=2m×2
= (-10)4 ×n
4. 计算下列各式,并说出每一步的计算依据
⑴(am)2
=am×am
———(乘方的意义)
———— (同底数幂乘法性质)
⑵(x4)n
=x4·x4·…·x4———(乘方的意义)
=x4+4+…4 ——— (同底数幂乘法性质)
=x4n ——— (合并同类项法则)
=am+m
=a2m
——— (合并同类项法则)
n个x4
n个4
=am×2
=x4×n
：
从上面的计算结果中，你发现了什么？
(23)2=23×2
[(-10)4]3=(-10)4×3
(2m)2=2m×2
[(-10)4]n=(-10)4×n
(am)2=a2×m
(x4)n=x4×n
5.
(am)n＝？
(m、n是正整数）
能说明你的猜想是正确的吗？
amn
猜想：结论--——当m,n是正整数时， (am)n=am×n=amn
am·am· … ·am
n个am
(am)n =
---乘方的意义
= am+m+ … +m
n个m
---同底数幂的乘法性质
= amn
幂的乘方，
底数______，指数______.
不变
相乘
证明：
(am)n=amn (m、n是正整数).
归纳：
反思：
amn=(am)n =(an)m
---乘法的意义
逆向，运算还成立吗？
成立
= am×n
---代数式书写规范

正方形喷泉池边长为32m,那么正方形喷泉池的
面积是多少m2呢？
(32)2=
32×2
=34

一个形状是正方体的办公楼的边长是102m,它的体积是多少m3 ?
(102)3=
102×3
=106
(102)100
=102×100
=10200
⑴ (106)2 ; ⑵ (am)4 (m为正整数); ⑶ -(y3)2;
⑹[(a3)2]5＝
＝106×2
＝1012
⑴(106)2
解：
⑵(am)4
＝ am×4
＝ a4m
⑶－(y3)2
＝－y3×2
＝－y6
⑷(－xn+1)5
＝－x5（n+1）
＝－x5n+5
⑸[(x－y)n]2＝
(x－y)2×n
＝(x－y)2n
(a3×2)5
＝a3×2×5
＝a30.
＝－(xn+1)5
整体思想
幂的底数和指数不仅可以是单独字母或数字等单项式，也可以是某个多项式.
幂的乘方运算推广：[(am)n]p=(amn)p=amnp(m、n、p都是正整数).
⑷ (－xn+1)5;⑸ [(x-y)n]2 (n为正整数）;⑹ [(a3)2]5.
例1 计算：
注意符号的确定
幂的乘方，底数不变，指数相乘
(am)n=amn
例2 计算：
⑴x2·x4＋(x3)2； ⑵(a3)3·(a4)3.
解: ⑴原式＝x2+4 ＋x3×2
＝x6＋x6
＝2x6
⑵原式＝a3×3·a4×3
＝a9·a12
＝a21
注：幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的异同
注：合并同类项法则与同底数幂的乘法法则的异同
(1)求a3m与a2n的值
（2）∵am＝3, an＝2
∴a3m＋2n＝a3m·a2n
＝(am)3·(an)2
例3.若am＝3,an＝2,
＝33×22
＝108.
（2)求a3m＋2n的值.
公式： (am)n
amn =
(an)m

注：幂的乘方公式还可逆用.
解:（1） ∵am＝3, an＝2
∴a3m ＝(am)3
＝33 ＝27
a2n＝(an)2
＝22 ＝4
1.计算：
⑴(104)4
⑵(xm)4n（m是正整数）
⑶－(a2)5
⑷(－23)7
⑸(－x3)6
⑹[(a＋b)2]4
(7)[(1003)2]5
＝1016
＝x4mn
＝－a10
＝－221
＝x18
＝(a＋b)8
＝ 10030
多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则.
2.下列计算是否正确，如有错误，请改正.
⑴(a5)2＝a7;
⑵ a5·a2＝a10；
⑶(－a3)3＝a6；
⑷ a7＋a3＝a10；
⑸(xn＋1)2＝x2n+1(n是正整数)；
⑹(－x2)2n＝x4n (n是正整数).
√
(a5)2＝a10
a5·a2＝a7
(－a3)3＝－a9
无法计算
(xn+1)2＝x2n+2
⑴ x2·(x2)4＋(x5)2； ⑵(am)2·(a4)m+1(m是正整数).
⑴解:原式＝x2·x8 ＋x5×2
＝x10＋x10
＝2x10
(2)解:原式＝a2m·a4(m＋1)
＝a2m＋4(m＋1)
＝a2m＋4m＋4
＝a6m＋4
3.计算
注意：幂的乘方与“同底数幂的乘法”的区别
1.计算：
(1)(102)3 ;
(2)-(x3)3 ;
(3)(y2)3·y ;
(4)2(a2)6 － (a3)4;
=106
= -x9
=a12
= y7
自我评价
(5)(am)4
(6)(x4)3·(x2)8
(7)(a2)3·(a3)4
(8)(am+3)2
(9)[(x-3y)m]3
(10)9m·27n
=a4m
=x28
=x18
=a2m+6
=(x-3y)3m
=32m+3n
解： ∵3m=a, 3n=b
∴32m+3n=32m·33n
=(3m)2·(3n)3
=a2b3.
比较230与320的大小
解：∵230＝23×10
320＝32×10
＝(32)10
又∵23＝8，32＝9
而8＜9
∴230＜320
3.议一议：比较230和320的大小
公式 ： (am)n
amn =
(an)m

＝(23)10
amn = (am)n = (an)m
乘
方
的
意
义
底数 ，
指数 .
相乘
不变
幂的乘方的运算法则：
(am)n = amn ( m,n 都是正整数 ).
[(am)n]p= amnp

小羽同学参观时，又发现一个形状是正方体的办公楼，边长是2 × 102m,你能帮小羽表示出它的体积，并计算出吗?
这将是我们下节课一起探讨的问题！
分析问题
02
发现新问题
01
探索奥秘
03
解决问题
04
本课结构
幂的乘方
(32)2 和(102)3
是一种什么运算?
(32)2 和(102)3
的意义
(23)2=23×2
[(-10)4]3=(-10)4×3
(2m)2=2m×2
[(-10)4]n=(-10)4×n
(x4)n=x4×n
(am)2=a2×m
(am)n=amn
？边长2 × 102正方体的体积