【七下数学微专题训练】微专题5　等腰三角形中“三线合一”的应用(含答案)

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北师大版数学七年级下册微专题训练卷
微专题5　等腰三角形中“三线合一”的应用
类型1　利用“三线合一”求解角的问题
1. 如图，AD是△ABC的角平分线，且AE＝AC，EF∥BC交AC于点F.试说明：∠DEC＝∠FEC.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，CF＝EF，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，试说明：∠EFC＝∠AFC.
类型2　利用“三线合一”说明垂直平分
3．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．试说明：AD垂直平分EF.
类型3　利用“三线合一”求解线段的问题
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB＝BC，DE⊥AB于点E，若CD＝9，且△BDC的周长为39，求AE的长．
5．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.试说明：ED＝EF.
6．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D.试说明：BF＝2CD.
参 考 答 案
1. 解：因为AD平分∠EAC，AE＝AC，所以AD垂直平分EC.所以DE＝DC.所以∠DEC＝∠DCE.又因为EF∥BC，所以∠CEF＝∠DCE.所以∠DEC＝∠FEC.
2. 解：因为DE垂直平分AB，所以AE＝BE.因为BE⊥AC，所以△ABE是等腰直角三角形．所以∠BAC＝∠ABE＝45°.又因为AB＝AC，所以∠ABC＝(180°－∠BAC)＝×(180°－45°)＝67.5°.所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝67.5°－45°＝22.5°.因为AB＝AC，AF⊥BC，所以BF＝CF.又CF＝EF，所以BF＝EF.所以∠BEF＝∠CBE＝22.5°.所以∠EFC＝180°－∠BFE＝∠BEF＋∠CBE＝22.5°＋22.5°＝45°.因为AF⊥BC，所以∠AFC＝90°.所以EFC＝∠AFC.
3. 解：因为DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，所以△ADE≌△ADF.所以AE＝AF.又因为AD平分∠EAF，所以AD垂直平分EF.
4. 解：因为△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝39，CD＝9，所以BD＋BC＝30.因为AD＝BD＝BC，所以AD＝BD＝BC＝15.所以AB＝AC＝AD＋DC＝15＋9＝24.又因为AD＝DB，DE⊥AB，所以AE＝EB＝AB＝12.
5. 解：因为AB＝AC，AD为BC边上的中线，所以AD⊥BC，即ED⊥BC(三线合一)．因为BG为∠ABC的平分线，又因为EF⊥AB，ED⊥BC，所以ED＝EF.
6. 解：延长BA，CD交于点E.因为BF平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD，所以△BDC≌△BDE.所以BC＝BE，DE＝DC.因为∠BAC＝90°.∠BDC＝90°.∠AFB＝∠DFC，所以∠ABF＝∠DCF.又AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，所以△ABF≌△ACE(ASA)．所以BF＝CE.即BF＝2CD.
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