7.3.1 离散型随机变量的均值-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（17张PPT）

7.3.1 离散型随机变量的均值
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值；（重点）
2.理解离散型随机变量的均值的性质.；
3.掌握两点分布的均值；
4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关问题.（难点）
核心素养：数据分析、逻辑推理、数学运算
1.为什么引入随机变量？
2.离散型随机变量的定义？判断方法？
3.离散型随机变量的分布列的表示方法？求解步骤？
4.离散型随机变量的分布列的性质？
5.两点分布？
复习引入：
问题1： 甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}环数X
7
8
9
10
甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为
甲n次射箭射中的平均环数为
当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于
7? 0.1+8? 0.2+9? 0.3+10? 0.4=9.
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为
7 ? 0.15+8? 0.25+9? 0.4+10? 0.2=8.65.
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
概念新授
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称 ????????=????????????????+????????????????+…+????????????????+…+????????????????
?????????????????????=????=????????????????????????,????=????.????…????
?
为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量的平均水平.
例1：在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
所以
E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)
=1×0.8+0×0.2 =0.8
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}X
1
0
P
p
1-p
　????(????)＝????×????+????×(?????????)=????．
?
np
概念新授
变式1:
在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球2次的得分X的均值是多少？
解：因为X的可能取值为0.1.2
所以????????????????????????=????=????.????×????.????=????.????????，
????????=????=????×????.????×????.????=????.????????，
????????=????=????.????×????.????=????.????????
所以 E(X)=0×0.04+1×0.32+2 ×0.64 =1.6.
?
方法归纳
(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；
(2)求出X取每个值时的概率；
(3)写出X的分布列(有时也可省略)；
(4)利用定义公式????????=????=????????????????????????求出均值
?
求离散型随机变量X的均值的步骤：
变式2： 随机抛掷一个正四面体，正四面体每个面分别标号1.2.3.4，求朝下一面标号X的均值.
解：
例2：随机抛掷一个骰子，所得骰子的点数X的均值.
????（X=k）=????????,k=1.2.3.4.5.6
?
X的分布列为
????（X）=????????????+????+????+????+????+????=????.????.
?
解：
????（X=k）=????????,k=1.2.3.4.
?
X的分布列为
????（X）=????????????+????+????+????=????.????.
?
证明：若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量.
因为 P(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1，2，…，n，
所以，Y的分布列为
···
···
···
···
···
···
E(aX+b)=aE(X)+b
问题2：离散型随机变量均值的性质
所以????????=?????????????+????????????+????????????+????????????+…+????????????+????????????+…+????????????+????????????????????
=????????????????????+????????????????+…+????????????????+…+????????????????+????????????+????????+…+????????+…+???????????????????????
=????????(????)+????，?
?
例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立
X的分布列如下表所示：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}X
0
1000
3000
6000
P
0.2
0.32
0.288
0.192
思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
如果按ACB的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值是多少？
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立
X的分布列如下表所示：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}X
0
1000
4000
6000
P
0.2
0.48
0.128
0.192
课堂小结
1. 期望的概念
E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
2. 期望的意义
离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平.
3. 期望的计算公式
E(aX+b)=aE(X)+b
4.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤
(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；
(2)求出X取每个值时的概率；
(3)写出X的分布列(有时也可省略)；
(4)利用定义公式????????=????=????????????????????????求出均值
5.特殊随机变量的均值： 两点分布的期望：E（X）=p.