7.1.1 数系的扩充和复数的概念 -【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（18张PPT）

第七章 复数
7.1 复数的概念（第1课时）
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
对于一元二次方程 ，当 时，没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决．
一、创设情境，引入问题
引入
那么，如何解决数学家在研究解方程问题时遇到的负实数开平方问题呢？
解方程
方法1：用三次方程求根公式（卡丹公式）．
解得
解得
16世纪
数学家的困惑
得到：
负数是否可以开平方？
方法2：用因式分解
．
．
一、创设情境，引入问题
问题1 从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程x2=-a（a＞0）有没有解的问题．能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题呢？
一、创设情境，引入问题
追问 x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？
你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？
（1）在自然数集中求方程 x+1=0 的解；
（2）在整数集中求方程 2x-1=0 的解；
（3）在有理数集中求方程 x2-2=0 的解.
二、回顾历史，发现扩充规则
问题2 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系.回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？

自然数集
整数集
有理数集
实数集
刻画相反意义的量
引入了
负数
解决测量等分问题
引入了
分数
解决度量正方体对角线等问题
引入了
无理数
自然数
负整数
整数
无理数
有理数
分数
实数
从社会实践来看
随着社会发展，数系在不断扩充．
二、回顾历史，发现扩充规则
计数的需要
引入了
自然数
从数学发展的角度来看
（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；
自然数集
N
整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
无解
有解
无解
有解
有解
无解
（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解； ?
数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题．
（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．
无解
有解
？
引入
新数
（1）在自然集中求方程x+1=0的解；
二、回顾历史，发现扩充规则
如果没有运算，数只是孤立的符号！
有理数集
实数集
运算
运算律
交换律
结合律
分配律
交换律
结合律
分配律
数系扩充规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
引入了
无理数
＋（－）
×（÷）
＋（－）
×（÷）
二、回顾历史，发现扩充规则
问题3 数系扩充后，在运算上遵循了什么规则？
问题4 类比从自然数集到实数集的扩充过程，特别是从有理数集到实数集的扩充过程，你能设想一种方法，使方程x2+1=0有解吗？
历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.
我们可以引入一个数“i”，使i2=-1，
这样x=i就是方程x2+1=0的解．
三、依据规则，引入复数概念
实数
新数i
加法运算
乘法运算
a+i
bi
a+bi(a，b∈R)
3+i
2i
3+2i
依据规则：在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致．
三、依据规则，引入复数概念
问题5 根据上述规则，你能说出实数集经过扩充后，得到的新数集由哪些数组成吗？你能写出新数的一般形式吗？
(a，b，c，d∈R)
三、依据规则，引入复数概念
问题6 我们知道复数集是由形如a+bi(a，b∈R)的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，请阅读教科书，说说两个复数相等的含义．
判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！
虚数集
纯虚数集
实数集
复数集
复数
z=a+bi
三、依据规则，引入复数概念
问题7 我们已经将实数集扩充到复数集，你能对复数a+bi(a，b∈R)进行分类，并用韦恩图表示它们之间的关系吗？
N，Z，Q，R，C．
四、依据概念，解决问题
例1 请你说出下列集合之间的关系：
例2 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是
虚数，哪些是纯虚数．
例3 当实数m取什么值时，复数 是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．

例4 已知 求实数x，y的值？
五、反思总结，提炼学习收获
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思
想、经验等方面谈谈．

数系扩充的基本规则
复数的基本概念
两个复数相等的含义
复数的分类
……
实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法.
解决复数相等问题运用了转化的数学思想.
方法
教科书习题7.1第1，2，3题．
六、布置作业
七、目标检测
1.a=0是复数a+bi （a,b∈ R）为纯虚数的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分条件也非必要条件
2.当实数m取什么值时，复数
是下列数？（1）实数；（2）纯虚数；（3）0.
3.求适合下列方程的实数x与y的值:
（1） ；
（2） .
再 见