北师大版（新教材）高一必修2重点题型N7
平面向量及其应用
考试范围：平面向量基本定理及坐标表示、从力的做功到向量的数量积；考试时间：100分钟；命题人：LEOG
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型1、基的判断与应用
1．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝，＝，则＝（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，△ABC中，＝，＝，＝4，用，表示，正确的是（ ）
A．＝+
B．＝+
C．＝+
D．＝﹣
3．已知，且，，则＝（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，点D在边AB上，且＝2，设＝，＝，则＝（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到C，使BA＝AC．设．
（1）用表示向量；
（2）若向量与共线，求k的值．
题型2、利用平面向量基本定理求参数
1．如图，在△ABC中，AD＝2DB，AE＝3EC，CD与BE交于F，＝x+y，则（x，y）为（ ）
A．（）
B．（﹣）
C．（﹣）
D．（）
2．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝，若＝x+y，则x＝ ，y＝ ．
3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为 ．
4．如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知在△ABC内有一点P，满足++＝，过点P作直线l分别交AB、AC于M、N，若＝m，＝n（m＞0，n＞0），则m+n的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
题型3、平面向量的坐标表示与运算
1．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量的坐标是（ ）
A．（2，2）
B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1）
D．（4，2）
2．已知表示向量的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标．
（1）＝（﹣2，1），A（0，0）；
（2）＝（1，3），A（﹣1，5）；
（3）＝（﹣2，﹣5），A（3，7）．
3．已知向量＝（2，1），＝（1，﹣2），若m+n＝（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ．
4．已知，，则＝（ ）
A．（7，0）
B．（﹣7，2）
C．（﹣1，3）
D．（7，3）
5．若向量＝（1，2），﹣＝（﹣1，4），则＝（ ）
A．（﹣1，1）
B．（0，6）
C．（﹣2，2）
D．（0，3）
题型4、向量平行的坐标表示的应用
1．设向量，若向量与向量共线，则λ＝ ．
2．已知向量＝（，1），＝（0，﹣1），＝（k，）．若与共线，则k＝ ．
3．已知＝（1，0），＝（2，1），
（1）当k为何值时，k﹣与+2共线．
（2）若＝2+3，＝+m，且A、B、C三点共线，求m的值．
4．已知O为坐标原点，
（Ⅰ）若，求点C的坐标；
（Ⅱ）若A，B，C三点共线，求a+b的值．
5．已知向量＝（1，1），＝（2，x），若与4平行，则x的值是 ．
题型5、求向量的投影
1．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．2
B．2
C．
D．10
3．已知||＝3，||＝4，与的夹角为120°，则在方向上的投影为（ ）
A．﹣
B．﹣
C．﹣2
D．﹣2
4．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A．
B．3
C．
D．﹣3
5．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2且||＝||，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
题型6、求向量的数量积
1．已知||＝4，||＝3，（）?（2）＝﹣31．
（1）求与的夹角θ；
（2）求||的值．
2．已知||＝2，||＝4，与的夹角为60°．
（1）计算?（+）的值；
（2）若?（﹣k）＝0，求实数k的值．
3．＝（1，﹣1），＝（﹣1，2），则（2+）＝（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
4．已知向量＝（2，3），＝（x，4），若⊥（﹣），则x＝（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
题型7、向量模的计算
1．已知向量＝（2，5），＝（1，6），则|2﹣|＝（ ）
A．3
B．6
C．10
D．5
2．梯形ABCD中AB平行于CD，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．4
D．
3．已知向量，满足|﹣2|＝|+3|＝2，则||的取值范围是 ．
4．已知||＝4，||＝8，与的夹角是120°．
（1）计算|+|，|4﹣2|；
（2）当k为何值时，（+2）⊥（k﹣）？
5．已知向量＝（﹣3，2），＝（2，1），＝（3，﹣1），t∈R．
（1）求||的最小值及相应的t值；
（2）若与共线，求实数t．
．
题型8、向量的夹角问题
1．已知向量满足，，，，则与夹角的大小是 ．
2．若，满足||＝2||，|﹣|＝|2+|，则与夹角的大小等于 ．
3．已知向量与向量满足||＝3，||＝2，|2﹣|＝2，则a与b的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知，的夹角为45°．
（1）求的值；
（2）若向量的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
5．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）．
（1）若||＝，且，求的坐标；
（2）若，且与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．北师大版（新教材）高一必修2重点题型N7
平面向量及其应用
考试范围：平面向量基本定理及坐标表示、从力的做功到向量的数量积；考试时间：100分钟；命题人：LEOG
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型1、基的判断与应用
1．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝，＝，则＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面向量的基本定理．
【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，
得到结果．
【解答】解：∵由题意可得△DEF∽△BEA，
∴＝＝，再由AB＝CD可得
＝，
∴＝．
作FG平行BD交AC于点G，
∴＝，
∴＝＝＝．
∵＝+＝+＝+＝＝，
∴＝+＝+，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的，本题属于中档题．
2．如图，△ABC中，＝，＝，＝4，用，表示，正确的是（ ）
A．＝+
B．＝+
C．＝+
D．＝﹣
【考点】平面向量的基本定理．
【分析】根据三角形法则可得．
【解答】解：∵＝+＝+＝+（﹣）＝+＝+．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理和向量三角形法则，属基础题．
3．已知，且，，则＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面向量的基本定理．
【分析】，从而有，这样即可解出．
【解答】解：根据条件：；
∴．
故选：A．
【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．
4．在△ABC中，点D在边AB上，且＝2，设＝，＝，则＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面向量的基本定理．
【分析】由D在边AB上，且＝2，可得，然后将用和表示即可得解．
【解答】解：∵，∴
∴＝
＝
＝，
又＝，＝，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理，属基础题．
5．已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到C，使BA＝AC．设．
（1）用表示向量；
（2）若向量与共线，求k的值．
【考点】平行向量（共线）；向量的加法；平面向量的基本定理．
【分析】（1）由A是BC中点，得，从而算出，再由向量减法法则即可得到；
（2）根据（1）的结论，可得关于向量的表示式，而，结合向量共线的充要条件建立关于k的方程组，解之即可得到实数k的值．
【解答】解：（1）∵A为BC的中点，∴，
可得，
而
（2）由（1），得，
∵与共线，设
即，
根据平面向量基本定理，得解之得，．
【点评】本题给出三角形中的向量，求向量的线性表示式并求实数k的值．着重考查了向量加减法的运算法则和平面向量共线的条件等知识，属于基础题．
题型2、利用平面向量基本定理求参数
1．如图，在△ABC中，AD＝2DB，AE＝3EC，CD与BE交于F，＝x+y，则（x，y）为（ ）
A．（）
B．（﹣）
C．（﹣）
D．（）
【考点】向量数乘和线性运算；平面向量的基本定理．
【分析】根据AD＝2DB，AE＝3EC，利用B、F、E三点共线和C、F、D三点共线分别表示出向量，根据平面向量基本定理可求出x、y的值．
【解答】解：∵AD＝2DB，AE＝3EC
∴＝+＝+λ＝+λ（﹣）＝（1﹣λ）+λ，
同理向量还可以表示为＝+＝+μ＝+μ（﹣）＝μ+（1﹣μ），
根据平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的，
则由对应系数相等可得，解得λ＝，所以＝+，
所以x＝，y＝，所以（x，y）为（，）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量线性运算，同时考查了运算求解能力，属于基础题．
2．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝，若＝x+y，则x＝ ，y＝ ﹣ ．
【考点】平面向量的基本定理．
【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．
【解答】解：由已知得到＝＝＝；
由平面向量基本定理，得到x＝，y＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立．
3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为 ．
【考点】平面向量的基本定理．
【分析】由题意和向量的运算可得＝，结合＝λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可．
【解答】解：由题意结合向量的运算可得＝
＝＝
＝＝，
又由题意可知若＝λ1+λ2，
故可得λ1＝，λ2＝，所以λ1+λ2＝故答案为：
【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题．
4．如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面向量的基本定理．
【分析】由题意，可根据向量运算法则得到＝+（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值
【解答】解：由题意及图，＝，
又，＝，所以＝，∴＝+（1﹣m），
又＝t+，所以，解得m＝，t＝，故选：C．
【点评】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题难度较低，
5．已知在△ABC内有一点P，满足++＝，过点P作直线l分别交AB、AC于M、N，若＝m，＝n（m＞0，n＞0），则m+n的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【考点】平面向量的基本定理．
【分析】由已知足++＝，得知p为三角形的重心，得到，＝＝（﹣m），，
利用M，P，N共线，得到＝3，然后求m+n的最小值．
【解答】解：由在△ABC内有一点P，满足++＝，得知p为三角形的重心，
且，
＝＝（﹣m），
，
因为M，P，N共线，所以，所以＝3，
所以m+n＝（m+n）（）＝（2+）（2+2）＝，
当且仅当m＝n时等号成立；
故m+n的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的运算以及利用基本不等式求代数式的最小值；关键是求出m，n的关系等式．
题型3、平面向量的坐标表示与运算
1．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量的坐标是（ ）
A．（2，2）
B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1）
D．（4，2）
【考点】平面向量的正交分解及坐标表示．
【分析】利用平行四边形的性质和向量的相等、向量的三角形法则即可得出．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），
∴＝（﹣2，1）﹣（﹣1，3）＝（﹣1，﹣2），＝（3，4）﹣（﹣1，3）＝（4，1）．
∴＝（﹣1，﹣2）+（4，1）＝（3，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和向量的相等、向量的三角形法则，属于基础题．
2．已知表示向量的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标．
（1）＝（﹣2，1），A（0，0）；
（2）＝（1，3），A（﹣1，5）；
（3）＝（﹣2，﹣5），A（3，7）．
【考点】平面向量的正交分解及坐标表示．
【分析】利用向量的坐标运算法则和向量相等即可得出．
【解答】解：设B（x，y），＝，
（1）∵＝（﹣2，1），A（0，0），∴（﹣2，1）＝（x，y），∴终点B的坐标为（﹣2，1），
（2）∵＝（1，3），A（﹣1，5），∴（1，3）＝（x+1，y﹣5），解得x＝0，y＝8，∴终点B的坐标为（0，8），
（3）∵＝（﹣2，﹣5），A（3，7），∴（﹣2，﹣5）＝（x﹣3，y﹣7），解得x＝1，y＝2，∴终点B的坐标为（1，2），
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算法则，理解向量相等是解题的关键．
3．已知向量＝（2，1），＝（1，﹣2），若m+n＝（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ﹣3 ．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．
【解答】解：向量＝（2，1），＝（1，﹣2），若m+n＝（9，﹣8）
可得，解得m＝2，n＝5，
∴m﹣n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．
4．已知，，则＝（ ）
A．（7，0）
B．（﹣7，2）
C．（﹣1，3）
D．（7，3）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．
【解答】解：，，
所以＝3（1，1）﹣2（﹣2，0）＝（7，3）．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题
5．若向量＝（1，2），﹣＝（﹣1，4），则＝（ ）
A．（﹣1，1）
B．（0，6）
C．（﹣2，2）
D．（0，3）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】把
代入﹣可得，，从而求出．
【解答】解：∵，
∴＝＝，
∴＝（﹣1，4）+（1，2）＝（0，6），
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，是基础题．
题型4、向量平行的坐标表示的应用
1．设向量，若向量与向量共线，则λ＝ 2 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解．
【解答】解：∵a＝（1，2），b＝（2，3），
∴λa+b＝（λ，2λ）+（2，3）＝（λ+2，2λ+3）．
∵向量λa+b与向量c＝（﹣4，﹣7）共线，
∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）＝0，
∴λ＝2．
故答案为2
【点评】考查两向量共线的充要条件．
2．已知向量＝（，1），＝（0，﹣1），＝（k，）．若与共线，则k＝ 1 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．
【解答】解：
∵与共线，
∴
解得k＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．
3．已知＝（1，0），＝（2，1），
（1）当k为何值时，k﹣与+2共线．
（2）若＝2+3，＝+m，且A、B、C三点共线，求m的值．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出；
（2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：（1）k﹣＝k（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1）．
+2＝（1，0）+2（2，1）＝（5，2）．∵k﹣与+2共线
∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5＝0，即2k﹣4+5＝0，得k＝﹣．
（2）∵A、B、C三点共线，∴．
∴存在实数λ，使得＝，
又与不共线，∴，解得．
【点评】本题考查了向量的运算法则、共线定理、平面向量基本定理，属于基础题．
4．已知O为坐标原点，
（Ⅰ）若，求点C的坐标；
（Ⅱ）若A，B，C三点共线，求a+b的值．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（I）利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出；
（II）利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：（I）∵＝（a﹣1，b﹣1），＝＝（2，﹣2），
又，
∴（a﹣1，b﹣1）＝2（2，﹣2），
∴，
解得a＝5，b＝﹣3．
∴C（5，﹣3）．
（II）由（I）可得：＝（a﹣1，b﹣1），＝（2，﹣2）．
∵A，B，C三点共线，
∴﹣2（a﹣1）﹣2（b﹣1）＝0，化为a+b＝2．
【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量共线定理，属于基础题．
5．已知向量＝（1，1），＝（2，x），若与4平行，则x的值是 2 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据题意，由向量、的坐标分析可得、4的坐标，进而由向量平行的坐标表示方法可得3（4x﹣2）＝6（1+x），解可得x的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量＝（1，1），＝（2，x），
则＝（3，1+x），4＝（6，4x﹣2），
若与4平行，则有3（4x﹣2）＝6（1+x），
解可得x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示方法，关键是掌握向量平行坐标表示的公式．
题型5、求向量的投影
1．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．
【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．
【解答】解：，，
则向量方向上的投影为：?cos＜＞＝?＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．
2．若＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．2
B．2
C．
D．10
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．
【分析】求出向量a，b的数量积和向量b的模，再由向量在向量方向上的投影为，代入数据计算即可得到．
【解答】解：＝（2，1），＝（3，4），
则＝2×3+1×4＝10，||＝＝5，
则向量在向量方向上的投影为＝＝2．故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，考查向量的投影定义，考查运算能力，属于基础题．
3．已知||＝3，||＝4，与的夹角为120°，则在方向上的投影为（ ）
A．﹣
B．﹣
C．﹣2
D．﹣2
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的性质及其运算．
【分析】由向量的数量积的定义可得：，进而可求得的值，即为所求．
【解答】解：∵||＝3，||＝4，与的夹角为120°，∴＝﹣6＝，
∴，即为在方向上的投影．故选：A．
【点评】熟练掌握数量积的定义和在方向上的投影是解题的前提．
4．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A．
B．3
C．
D．﹣3
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．
【分析】由题意画出图形，借助与图形利用向量在方向上的投影的定义即可求解．
【解答】解：由题意因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，
且，对于?，
所以可以得到图形为：因为，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于，所以三角形OAB为正三角形且边长为2，所以四边形ABOC为边长为2且角ABO为60°的菱形，所以向量在方向上的投影为：＝故选：A．
【点评】此题考查了两个向量的夹角定义，还考查向量在另外一个向量上的投影的定义及学生的分析问题的数形结合的能力．
5．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2且||＝||，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．
【分析】利用向量加法的几何意义
得出△ABC是以A为直角的直角三角形．由题意画出图形，借助图形求出向量在向量方向上的投影．
【解答】解：∵2，
∴2++＝，∴+++＝，∴，
∴O，B，C共线为直径，∴AB⊥AC
∵||＝||，△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴||＝||＝1，∴||＝2，
∴如图，||＝1，||＝2，∠A＝90°，∠B＝60°，∴向量在向量方向上的投影为||cos60°＝．故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则、向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆周角为直角等知识，本题是基本知识与技能考查题，主要考查了向量运算能力
题型6、求向量的数量积
1．已知||＝4，||＝3，（）?（2）＝﹣31．
（1）求与的夹角θ；
（2）求||的值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【分析】（1）利用已知条件求解向量的数量积，然后求解向量的夹角即可．
（2）利用向量的模的运算法则化简求解即可．
【解答】解：（1）||＝4，||＝3，（）?（2）＝﹣31．
所以＝﹣31，即32﹣81﹣3?＝﹣31，所以＝﹣6，
cos＜，＞＝＝＝﹣，＜，＞∈[0，π]，
可得，
（2）||＝＝＝．
【点评】本题考查平面向量的数量积的求法与应用，向量的模的求法，是基础题．
2．已知||＝2，||＝4，与的夹角为60°．
（1）计算?（+）的值；
（2）若?（﹣k）＝0，求实数k的值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【分析】利用平面向量的数量积直接计算即可．
【解答】解：（1）60°＝8，
（2）由若?（﹣k）＝0得：＝4﹣k×2×4×cos60°＝4﹣4k＝0，
解得k＝1．
【点评】此题考平面向量的数量积的计算，属于简单题．
3．＝（1，﹣1），＝（﹣1，2），则（2+）＝（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．
【解答】解：因为＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（1，0）?（1，﹣1）＝1；
故选：C．
【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．
4．已知向量＝（2，3），＝（x，4），若⊥（﹣），则x＝（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【分析】根据题意，求出向量﹣的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得若⊥（﹣），则有?（﹣）＝2（2﹣x）+3×（﹣1）＝0，解可得x的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量
＝（2，3），＝（x，4），
则﹣＝（2﹣x，﹣1），
若⊥（﹣），则有?（﹣）＝2（2﹣x）+3×（﹣1）＝0，
解可得：x＝
故选：B．
【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系．
题型7、向量模的计算
1．已知向量＝（2，5），＝（1，6），则|2﹣|＝（ ）
A．3
B．6
C．10
D．5
【考点】向量的概念与向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】可求出向量的坐标，进而可得出的值．
【解答】解：∵＝（2，5），＝（1，6），
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了向量坐标的减法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
2．梯形ABCD中AB平行于CD，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．4
D．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设AD＝t，AP＝m，可求点P，D，C，B的坐标，求出向量，的坐标，根据模的公式，根据二次函数的性质求出最值即可．
【解答】解：如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴建立直角坐标系，
设AD＝t，AP＝m，∠DAB＝，
所以P（m，m），D（t，t），C（t+1，t），B（2，0），
则＝（2﹣m，﹣m），＝（t﹣m+1，t﹣m），
则3＝（8+t﹣m，t﹣m），
令k＝t﹣m，
则3＝（8+k，k），
则＝＝＝，
当k＝﹣4时，取得最小值4．
故选：B．
【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法、数乘和数量积运算．
3．已知向量，满足|﹣2|＝|+3|＝2，则||的取值范围是 [，2] ．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】根据平面向量的数量积与模长、夹角公式，
结合三角函数的图象与性质，化简求值即可．
【解答】解：向量，满足|﹣2|＝|+3|＝2，
∴﹣4?+4＝+6?+9＝4，
∴10?＝﹣5，
∴||＝﹣2||cosθ，其中θ为、的夹角；
∴﹣4||×||cosθ+4＝﹣4||×（﹣2||cosθ）×cosθ+4×＝4，
解得＝；
又θ∈[0，π]，得cosθ∈[﹣1，1]，
∴cos2θ∈[0，1]，∴24cos2θ+1∈[1，25]，
∴∈[，4]，
∴||的取值范围是[，2]．
故答案为：[，2]．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长、夹角公式，以及三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
4．已知||＝4，||＝8，与的夹角是120°．
（1）计算|+|，|4﹣2|；
（2）当k为何值时，（+2）⊥（k﹣）？
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】（1）运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到k．
【解答】解：（1）||＝4，||＝8，与的夹角是120°，
则＝4×8×cos120°＝﹣16，
即有|+|＝＝＝＝4，
|4﹣2|＝＝
＝＝16；
（2）由（+2）⊥（k﹣）
可得（+2）?（k﹣）＝0，
即k+（2k﹣1）﹣2＝0，
即16k﹣16（2k﹣1）﹣128＝0，
解得k＝﹣7．则当k为﹣7时，（+2）⊥（k﹣）．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．
5．已知向量＝（﹣3，2），＝（2，1），＝（3，﹣1），t∈R．
（1）求||的最小值及相应的t值；
（2）若与共线，求实数t．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】（1）利用求模公式表示出||，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值；
（2）利用向量共线定理可得关于t的方程，解出即得t值；
【解答】解：（1）∵＝（﹣3，2），＝（2，1），＝（3，﹣1），
∴+t＝（﹣3，2）+t（2，1）＝（﹣3+2t，2+t），
∴|+t|＝＝
＝≥＝（当且仅当t＝时等号成立）．
（2）∵＝（﹣3，2）﹣t（2，1）＝（﹣3﹣2t，2﹣t），
又与共线，
∴（﹣3﹣2t）×（﹣1）＝3×（2﹣t），解得t＝．
【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题．
题型8、向量的夹角问题
1．已知向量满足，，，，则与夹角的大小是 45° ．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】可根据得出，然后即可求出的值，进而可得出与夹角的大小．
【解答】解：∵，
∴，∴，且，
∴，且，
∴．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
2．若，满足||＝2||，|﹣|＝|2+|，则与夹角的大小等于 π ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】对的两边平方，进行数量积的坐标运算即可得出，然后即可求出的值，从而可得出与夹角的大小．
【解答】解：∵，
∴，∴，且，
∴，且，
∴与夹角的大小等于π．故答案为：π．
【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题．
3．已知向量与向量满足||＝3，||＝2，|2﹣|＝2，则a与b的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】对两边平方进行数量积的运算即可得出，然后即可求出的值，从而可得出与的夹角．
【解答】解：∵，
∴＝，
∴，
∴，且，
∴与的夹角为．
故选：D．
【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
4．已知，的夹角为45°．
（1）求的值；
（2）若向量的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】（1）由平面向量的数量积求出模长|+2|的值；
（2）由与的夹角是锐角得出，且与不能同向共线；
列不等式组求出实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）由||＝，||＝1，与的夹角为45°，
所以＝+4?+4＝2+4××1×cos45°+4×1＝10，
所以|+2|＝；
（2）由与的夹角是锐角，
所以，且与不能同向共线；
即2λ+3λ﹣（λ2+6）＞0，且，k＞0；
所以λ2﹣7λ+6＜0，且λ2≠6，λ＞0；
解得或；
所以实数λ的取值范围是（1，）∪（，6）．
【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
5．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）．
（1）若||＝，且，求的坐标；
（2）若，且与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
【考点】向量的概念与向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】（1）设
＝λ＝（λ，2λ），由||＝，可得
λ2+4λ2＝20，解方程求得λ
值．
（2）求出
＝（λ+1，λ+2），由
与的夹角为锐角可得
?（
）＞0，解得λ的范围，
而当与共线且方向相同时，求出对应的λ的值，从而得到λ的取值范围．
【解答】解：（1）∵＝（1，2），，故可设
＝λ＝（λ，2λ），由||＝，可得
λ2+4λ2＝20，
解得
λ＝±2，
∴＝（2，4）或（﹣2，﹣4）．
（2）∵＝（1，2），，
∴＝（λ+1，λ+2），
∵与的夹角为锐角，
∴?（
）＞0，
∴λ+1+2λ+4＞0，λ＞．
而当与共线且方向相同时，（λ+1，λ+2）＝k（1，2），k＞0，
解得
λ＝0，故λ的取值范围为（，0）∪（0，+∞）．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．
