8.1成对数据的统计相关性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义
文档属性
| 名称 | 8.1成对数据的统计相关性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 251.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 19:57:17 | ||
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文档简介
高中数学选择性必修第三册第八章计数原理（人教A版2019）
8.1成对数据的统计相关性
【基础梳理】
一、变量的相关关系
1.相关关系
两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系
2.正相关、负相关
从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也星现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关;如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关
3.线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近,
我们就称这两个变量线性相关
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量
非线性相关或曲线相关
二、样本相关系数
1.相关系数r的计算
注意:相关系数是研究变量之间线性相关程度的量
假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，用，分别除和（和分别为和的均值），得，，，为简单起见把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，，则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下:
2.相关系数r的性质
(1)当r>0时，称成对样本数据正相关;当r<0时，成对样本数据负相关；当r=0时，成对样本数据间没有线性相关关系.
(2)样本相关系数r的取值范围为
当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强;
当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
3.样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系
（其中=（），=（），，为向量和向量的夹角）
【课堂探究】
例1.某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据因书写不清楚，只记得是上的一个值，则该数据对应的残差（残差=真实值-预测值）的绝对位不大于0.5的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
求得估计值，用真实值减去估计值求得残差，根据已知残差的绝对位不大于列不等式，解不等式求得的取值范围，根据几何概型概率计算公式计算出所求概率.
【详解】
依题意可知，估计值为，残差为，依题意得，解得，根据几何概型概率计算公式可得所求概率为，故选C.
例2．下列说法中正确的是（
）
A．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
B．设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位
C．把某中学的高三年级560名学生编号：1到560，再从编号为1到10的10名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为，，，…的学生，这样的抽样方法是分层抽样
D．若一组数据0，，3，4的平均数是2，则该组数据的方差是
【答案】D
【分析】
线性相关性越强，的值越接近于1；，斜率的意义；系统抽样和分层抽样的区别；方差的计算.
【详解】
对于A，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1，故A错误；
对于B，设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均减少5个单位，故B错误；
对于C，抽样方法是系统抽样，故C错误；
对于C，0，，3，4的平均数是2，可得，
方差
，故D正确.
故选：D
【课后练习】
1．下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②若变量x，y满足关系，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，．
其中真命题的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
直接利用回归直线的方程的应用，相关的变量关系的应用，残差图的应用分析结果．
【详解】
下列四个命题：
①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；根据回归模型中的变量关系，正确．
②若变量x，y满足关系，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；应该是负相关．故错误．
③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；即越接近于回归直线的距离越小，故正确．
④以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，．故正确．
故选：C．
2．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是(
)
A．至少有一个样本点落在回归直线上
B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1
C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差
D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关
【答案】D
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；
所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误；
若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误；
相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．
故选D．
3．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉（3，10）后，下列说法正确的是（
）
A．残差平方和变小
B．方差变大
C．相关指数变小
D．解释变量与预报变量的相关性变弱
【答案】A
【分析】
由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项.
【详解】
由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，且为正相关，
所以变大，变大，残差平方和变小，
故选A.
4．已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（
）
A．-1
B．1
C．2
D．5
【答案】A
【解析】
分析：利用回归方程，计算时，的值，进而可求方程在样本处的残差．
详解：当时，，
∴方程在样本处的残差是
故选A.
5．已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（
）
6
8
10
12
6
3
2
A．变量，之间呈现负相关关系
B．的值等于5
C．变量，之间的相关系数
D．由表格数据知，该回归直线必过点
【答案】C
【解析】
分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为，代入回归直线的方程，即可求解，得到样本中心，再根据之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案.
详解：由题意，根据上表可知，
即数据的样本中心为，
把样本中心代入回归直线的方程，可得，解得，
则，即数据的样本中心为，
由上表中的数据可判定，变量之间随着的增大，值变小，所以呈现负相关关系，
由于回归方程可知，回归系数，而不是，所以C是错误的，故选C.
6．对于相关指数R2，下列说法正确的是
A．R2的取值越小，模型拟合效果越好
B．R2的取值可以任意大，且R2取值越大，拟合效果越好
C．R2的取值越接近于1，模型拟合效果越好
D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】
两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好．故选C．
7．在一组样本数据，，…，（，，…不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（
）
A．-3
B．0
C．-1
D．1
【答案】C
【解析】
因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点，都在直线上，则有相关系数，故选C.
8．下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
以上错误结论的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】
方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；在线性回归方程＝3－5x中，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位，故②不正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越强，故③不正确；对分类变量x与y的随机变量的观测值K2来说，K2越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故④正确．综上所述，错误结论的个数为2，故选C.
8.1成对数据的统计相关性
【基础梳理】
一、变量的相关关系
1.相关关系
两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系
2.正相关、负相关
从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也星现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关;如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关
3.线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近,
我们就称这两个变量线性相关
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量
非线性相关或曲线相关
二、样本相关系数
1.相关系数r的计算
注意:相关系数是研究变量之间线性相关程度的量
假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，用，分别除和（和分别为和的均值），得，，，为简单起见把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，，则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下:
2.相关系数r的性质
(1)当r>0时，称成对样本数据正相关;当r<0时，成对样本数据负相关；当r=0时，成对样本数据间没有线性相关关系.
(2)样本相关系数r的取值范围为
当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强;
当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
3.样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系
（其中=（），=（），，为向量和向量的夹角）
【课堂探究】
例1.某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据因书写不清楚，只记得是上的一个值，则该数据对应的残差（残差=真实值-预测值）的绝对位不大于0.5的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
求得估计值，用真实值减去估计值求得残差，根据已知残差的绝对位不大于列不等式，解不等式求得的取值范围，根据几何概型概率计算公式计算出所求概率.
【详解】
依题意可知，估计值为，残差为，依题意得，解得，根据几何概型概率计算公式可得所求概率为，故选C.
例2．下列说法中正确的是（
）
A．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
B．设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位
C．把某中学的高三年级560名学生编号：1到560，再从编号为1到10的10名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为，，，…的学生，这样的抽样方法是分层抽样
D．若一组数据0，，3，4的平均数是2，则该组数据的方差是
【答案】D
【分析】
线性相关性越强，的值越接近于1；，斜率的意义；系统抽样和分层抽样的区别；方差的计算.
【详解】
对于A，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1，故A错误；
对于B，设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均减少5个单位，故B错误；
对于C，抽样方法是系统抽样，故C错误；
对于C，0，，3，4的平均数是2，可得，
方差
，故D正确.
故选：D
【课后练习】
1．下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②若变量x，y满足关系，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，．
其中真命题的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
直接利用回归直线的方程的应用，相关的变量关系的应用，残差图的应用分析结果．
【详解】
下列四个命题：
①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；根据回归模型中的变量关系，正确．
②若变量x，y满足关系，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；应该是负相关．故错误．
③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；即越接近于回归直线的距离越小，故正确．
④以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，．故正确．
故选：C．
2．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是(
)
A．至少有一个样本点落在回归直线上
B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1
C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差
D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关
【答案】D
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；
所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误；
若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误；
相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．
故选D．
3．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉（3，10）后，下列说法正确的是（
）
A．残差平方和变小
B．方差变大
C．相关指数变小
D．解释变量与预报变量的相关性变弱
【答案】A
【分析】
由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项.
【详解】
由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，且为正相关，
所以变大，变大，残差平方和变小，
故选A.
4．已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（
）
A．-1
B．1
C．2
D．5
【答案】A
【解析】
分析：利用回归方程，计算时，的值，进而可求方程在样本处的残差．
详解：当时，，
∴方程在样本处的残差是
故选A.
5．已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（
）
6
8
10
12
6
3
2
A．变量，之间呈现负相关关系
B．的值等于5
C．变量，之间的相关系数
D．由表格数据知，该回归直线必过点
【答案】C
【解析】
分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为，代入回归直线的方程，即可求解，得到样本中心，再根据之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案.
详解：由题意，根据上表可知，
即数据的样本中心为，
把样本中心代入回归直线的方程，可得，解得，
则，即数据的样本中心为，
由上表中的数据可判定，变量之间随着的增大，值变小，所以呈现负相关关系，
由于回归方程可知，回归系数，而不是，所以C是错误的，故选C.
6．对于相关指数R2，下列说法正确的是
A．R2的取值越小，模型拟合效果越好
B．R2的取值可以任意大，且R2取值越大，拟合效果越好
C．R2的取值越接近于1，模型拟合效果越好
D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】
两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好．故选C．
7．在一组样本数据，，…，（，，…不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（
）
A．-3
B．0
C．-1
D．1
【答案】C
【解析】
因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点，都在直线上，则有相关系数，故选C.
8．下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
以上错误结论的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】
方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；在线性回归方程＝3－5x中，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位，故②不正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越强，故③不正确；对分类变量x与y的随机变量的观测值K2来说，K2越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故④正确．综上所述，错误结论的个数为2，故选C.