8.3列联表与独立性检验-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义

高中数学选择性必修第三册第八章计数原理（人教A版2019）
8.3列联表与独立性检验
【基础梳理】
一、分类变量与列联表
1.分类变量
这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如:性别变量，其取值为男和女两种
我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示
2.2X2列联表
在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常技研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2X2列联表，2X2
列联表给出了成对分类变量数心的交叉分类频数.
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2X2列联表为
y1
y2
合计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d
3.等高堆积条形图
等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量问是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果
二、独立性检验
1.临界值
统计量也可以用来作相关性的度量，越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关
.忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立，我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准.
2.独立性检验
基于小概丰值的检验规则是:
当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过;
当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立
这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验
下表给出了产独立性检验中几个常用的小概车值和相应的临界值
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
3.应用独立性检验解决实际问题的大致步骤
(1)提出零假设H0:X和Y相互独立，并给出在问题中的解释;
(2)根据抽样数据整理出2X2列联表，计算的值，并与临界值比较:
(3)根据检验规则得出推断结论;
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的顿率，分析X和Y间影响规律
【课堂探究】
例1．对于独立性检验，下列说法正确的是（
）
A．时，有95%的把握说事件与无关
B．时，有99%的把握说事件与有关
C．时，有95%的把握说事件与有关
D．时，有99%的把握说事件与无关
【答案】B
【分析】
根据独立性检验中卡方的概念知，选B.
【详解】
根据独立性检验中卡方的概念知,时，有99%的把握说事件与有关选B.
【点睛】
本题主要考查了独立性检验中卡方的概念，属于中档题.
例2．经过对K2的统计量的研究，得到了若干个观测值，当K2≈6.706时，我们认为两分类变量A、B(　　)
A．有67.06%的把握认为A与B有关系
B．有99%的把握认为A与B有关系
C．有0.010的把握认为A与B有关系
D．没有充分理由说明A与B有关系
【答案】B
【分析】
根据所给的观测值，同临界值表中的临界值进行比较，根据P（K2＞3.841）=0.05，得到我们有1-0.05=95%的把握认为A与B有关系．
【详解】
依据下表：
P（
K2≥k）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，
∴我们在错误的概率不超过0.01的前提下有99%的把握认为A与B有关系，
故选B．
【课后练习】
1．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：
每年体检
每年未体检
合计
老年人
7
年轻人
6
合计
50
已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假.
详解：因为，
所以
选D.
2．下列命题：①在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】
对于①，在回归分析模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好，正确，因为相关指数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，①正确．
对于②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；
对于③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；正确；
对于④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越大.错误，因为在对分类变量与进行独立性检验时，随机变量的观测值越大，则“与相关”可信程度越大，故④错误；
故选C
3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（
）
A．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C．若的观测值为，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
D．以上三种说法均不正确
【答案】A
【解析】
要正确认识观测值的意义，观测值同临界值进行比较得到一个概率，这个概率是推断出错误的概率，若从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误
故选
4．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（
）
A．样本中的男生数量多于女生数量
B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C．样本中多数男生喜欢手机支付
D．样本中多数女生喜欢现金支付
【答案】D
【详解】
由右边条形图知，男生女生喜欢手机支付的比例都高于现金支付的比例，所以男生女生都喜欢手机支付，故对，错，由左边条形图知，男生女生手机支付都比现金支付比例相同，对，结合两个条形图可知，样本中的男生数量多于女生数量，对，故选D.
5．假设2个分类变量X和Y的2×2列联表如下：
Y
X
y1
y2
总计
x1
a
10
a+10
x2
c
30
c+30
总计
a+c
40
100
对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是（
）
A．a＝40，c＝20
B．a＝45，c＝15
C．a＝35，c＝25
D．a＝30，c＝30
【答案】B
【分析】
根据题意，
一定时，，相差越大，与相差就越大，的观测值就越大，由此能说明和有关系的可能性越大.
【详解】
的观测值，
根据2×2列联表和独立性检验的相关知识，当，
一定时，，相差越大，与相差就越大，就越大，即和有关系的可能性越大，选项B中与其它选项相比相差最大.
故选：B
6．某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表：
焦虑
说谎
懒惰
总计
女生
5
10
15
30
男生
20
10
50
80
总计
25
20
65
110
根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是（
）
A．焦虑
B．说谎
C．懒惰
D．以上都不对
【答案】B
【分析】
分别求出三种关系的观测值，比较后可得结论.
【详解】
解：对于焦虑，说谎，懒惰三种心理障碍，设它们观测值分别为，
由表中数据可得：
，
，
，
因为的值最大，所以说谎与性别关系最大.
故选：B.
7．某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这3个变量之间的关系，随机抽查了100名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中（
）
表1
表2
表3
语文
性别
不及格
及格
总计
数学
性别
不及格
及格
总计
英语
性别
不及格
及格
总计
男
14
36
50
男
10
40
50
男
25
25
50
女
16
34
50
女
20
30
50
女
5
45
50
总计
30
70
100
总计
30
70
100
总计
30
70
100
A．语文成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小
B．数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小
C．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小
D．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小
【答案】C
【分析】
根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
【详解】
因为，所以英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小.
故选C
8．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：
患病
未患病
总计
服用药
没服用药
总计
由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是（
）
附：；
①能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效
②不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效
③能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效
④不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
计算出的值，由此判断出正确结论的个数.
【详解】
依题意，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效,
不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效,即①④结论正确，本小题选B.