6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 105.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-27 22:23:50 | ||
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文档简介
高中数学选择性必修第三册第六章计数原理（人教A版2019）
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【基础梳理】
1.分类加法计算原理
基本原理
N=m+n
原理推广
N=+...+
提醒：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，每一类中的各种方法相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，从甲地去乙地共有两类不同方案，方案1中公路线共有4条，方案2中火车线共有2条，从甲地去乙地共有4+2（种）不同的方法。
2.分数乘法计算原理
基本原理
N=m×n，
原理推广
N=·...·
提醒：分布乘法计数原理针对的是“分布”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中任何一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，例如，从A村到D村共有3×2×4=24（条）路线选择。
两个计数原理的综合应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分布。
分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数（可能需要分布），最后用分类加法计数原理求和，得到总数。
分布要做到“步骤完整”即完成了所有步骤，恰好完成任务，分布后再计算每一步的方法数（可能需要分类），最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。
4.两个计数原理的区别
------
分类加法计数原理
分类乘法计数原理
区别一
完成一件事，共有n类方法，关键词是‘分类’
完成一件事，共有n各步骤，关键词是‘分步’
区别二
每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类方法之间是互拆的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，‘关联’确保不遗漏。‘独立’确保不重复
【课堂探究】
例1．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男?女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（
）
A．72种
B．108种
C．144种
D．210种
【答案】C
【分析】
先安排男干部，再安排女干部，由排列组合以及分步乘法计数原理得出答案.
【详解】
∵每个村男?女干部各1名，∴可先安排男干部，共种，再安排女干部，共有种，∴共有种不同的安排方案
故选：C.
例2．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（
）
A．32种
B．9种
C．12种
D．20种
【答案】C
【分析】
根据加法原理直接计算可得答案.
【详解】
从8名男生4名女生选取一名当组长，
是男生的选法有8种，是女生选法的有4种，共有12种.
故选：C.
【课后练习】
1．如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（
）
A．280
B．180
C．96
D．60
【答案】B
【分析】
按区域分四步，由分步乘法计数原理，即可求得结论.
【详解】
按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；
第2步，B区域有4种颜色可选；
第3步，C区域有3种颜色可选；
第4步，D区域也有3种颜色可选.
由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.
选选：B.
2．有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
本题是一个分步计数问题，第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，以此类推后面的四个同学都有三种报法，根据分步计数原理得到结果．
【详解】
解：由题意知本题是一个分步计数问题，
第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，
后面的四个同学都有三种报法，
根据分步计数原理知共有种结果，
故选：．
3．从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（
）
A．10个
B．12个
C．16个
D．20个
【答案】C
【分析】
由题意b不能为0，先选有限制条件的元素b，不能选0，再根据两个互不相等的数a，b，根据分步计数原理得到结果．
【详解】
∵a，b互不相等且为虚数，
∴所有b只能从{1，2，3，4}中选一个有4种，
a从剩余的4个选一个有4种，
∴根据分步计数原理知虚数有4×4＝16（个）．
故选：C．
4．设集合，那么集合中满足条件的元素个数为（
）
A．180
B．210
C．240
D．241
【答案】B
【分析】
求出集合中的元素个数以及满足的情况和
的不同情况，从而可得答案.
【详解】
因为，
所以都有3种不同的赋值，
集合中共有个元素，
可得，
其中满足的情况，只有1种情况，即；
时，都有2种不同的赋值，共有种不同情况，
所以集合中满足条件的元素个数为，
故选：B.
5．动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【答案】D
【分析】
根据题意，分为动点M①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案.
【详解】
根据题意，分4种情况讨论：
①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，
②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，
③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2，
④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，
故M在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个，
故选：D.
6．若均为非负整数，在做的加法时各位均不进位（例如，），则称为“简单的”有序对，而称为有序数对的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（
）
A．525
B．1050
C．432
D．864
【答案】B
【分析】
由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果．
【详解】
由题意知本题是一个分步计数原理，
第一位取法3种为0，1，
2，
第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
，
第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6，
第四为有5种为0，1，2，
3，4
根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个
故选：B.
7．若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”.例如：32是“开心数”.因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】D
【解析】
根据题意个位数需要满足要求：
∵n+（n+1）+（n+2）＜10，即n＜2.3，
∴个位数可取0，1，2三个数，
∵十位数需要满足：3n＜10，
∴n＜3.3，
∴十位可以取0，1，2，3四个数，故四个数的“开心数”共有3×4=12个．
故选D．
8．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件的矩阵的个数为(
)
A．48
B．72
C．144
D．264
【答案】C
【分析】
先排列第一行，有种排列方法；再根据有且只有两列的上下两数是相同的，第二行有种排法，利用分步计数原理可得结果..
【详解】
第一步，排列第一行，有种排列方法；
第二步，由题意知有且只有两列的上下两数是相同的，选择中的两个数作为与上列相同的数字，有种取法，而对于剩余两数，为使不与上列数字相同，有且只有一种排法，因此，满足题中条件的矩阵的个数共有个.
故选C.
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【基础梳理】
1.分类加法计算原理
基本原理
N=m+n
原理推广
N=+...+
提醒：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，每一类中的各种方法相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，从甲地去乙地共有两类不同方案，方案1中公路线共有4条，方案2中火车线共有2条，从甲地去乙地共有4+2（种）不同的方法。
2.分数乘法计算原理
基本原理
N=m×n，
原理推广
N=·...·
提醒：分布乘法计数原理针对的是“分布”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中任何一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，例如，从A村到D村共有3×2×4=24（条）路线选择。
两个计数原理的综合应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分布。
分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数（可能需要分布），最后用分类加法计数原理求和，得到总数。
分布要做到“步骤完整”即完成了所有步骤，恰好完成任务，分布后再计算每一步的方法数（可能需要分类），最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。
4.两个计数原理的区别
------
分类加法计数原理
分类乘法计数原理
区别一
完成一件事，共有n类方法，关键词是‘分类’
完成一件事，共有n各步骤，关键词是‘分步’
区别二
每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类方法之间是互拆的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，‘关联’确保不遗漏。‘独立’确保不重复
【课堂探究】
例1．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男?女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（
）
A．72种
B．108种
C．144种
D．210种
【答案】C
【分析】
先安排男干部，再安排女干部，由排列组合以及分步乘法计数原理得出答案.
【详解】
∵每个村男?女干部各1名，∴可先安排男干部，共种，再安排女干部，共有种，∴共有种不同的安排方案
故选：C.
例2．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（
）
A．32种
B．9种
C．12种
D．20种
【答案】C
【分析】
根据加法原理直接计算可得答案.
【详解】
从8名男生4名女生选取一名当组长，
是男生的选法有8种，是女生选法的有4种，共有12种.
故选：C.
【课后练习】
1．如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（
）
A．280
B．180
C．96
D．60
【答案】B
【分析】
按区域分四步，由分步乘法计数原理，即可求得结论.
【详解】
按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；
第2步，B区域有4种颜色可选；
第3步，C区域有3种颜色可选；
第4步，D区域也有3种颜色可选.
由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.
选选：B.
2．有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
本题是一个分步计数问题，第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，以此类推后面的四个同学都有三种报法，根据分步计数原理得到结果．
【详解】
解：由题意知本题是一个分步计数问题，
第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，
后面的四个同学都有三种报法，
根据分步计数原理知共有种结果，
故选：．
3．从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（
）
A．10个
B．12个
C．16个
D．20个
【答案】C
【分析】
由题意b不能为0，先选有限制条件的元素b，不能选0，再根据两个互不相等的数a，b，根据分步计数原理得到结果．
【详解】
∵a，b互不相等且为虚数，
∴所有b只能从{1，2，3，4}中选一个有4种，
a从剩余的4个选一个有4种，
∴根据分步计数原理知虚数有4×4＝16（个）．
故选：C．
4．设集合，那么集合中满足条件的元素个数为（
）
A．180
B．210
C．240
D．241
【答案】B
【分析】
求出集合中的元素个数以及满足的情况和
的不同情况，从而可得答案.
【详解】
因为，
所以都有3种不同的赋值，
集合中共有个元素，
可得，
其中满足的情况，只有1种情况，即；
时，都有2种不同的赋值，共有种不同情况，
所以集合中满足条件的元素个数为，
故选：B.
5．动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【答案】D
【分析】
根据题意，分为动点M①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案.
【详解】
根据题意，分4种情况讨论：
①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，
②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，
③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2，
④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，
故M在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个，
故选：D.
6．若均为非负整数，在做的加法时各位均不进位（例如，），则称为“简单的”有序对，而称为有序数对的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（
）
A．525
B．1050
C．432
D．864
【答案】B
【分析】
由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果．
【详解】
由题意知本题是一个分步计数原理，
第一位取法3种为0，1，
2，
第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
，
第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6，
第四为有5种为0，1，2，
3，4
根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个
故选：B.
7．若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”.例如：32是“开心数”.因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】D
【解析】
根据题意个位数需要满足要求：
∵n+（n+1）+（n+2）＜10，即n＜2.3，
∴个位数可取0，1，2三个数，
∵十位数需要满足：3n＜10，
∴n＜3.3，
∴十位可以取0，1，2，3四个数，故四个数的“开心数”共有3×4=12个．
故选D．
8．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件的矩阵的个数为(
)
A．48
B．72
C．144
D．264
【答案】C
【分析】
先排列第一行，有种排列方法；再根据有且只有两列的上下两数是相同的，第二行有种排法，利用分步计数原理可得结果..
【详解】
第一步，排列第一行，有种排列方法；
第二步，由题意知有且只有两列的上下两数是相同的，选择中的两个数作为与上列相同的数字，有种取法，而对于剩余两数，为使不与上列数字相同，有且只有一种排法，因此，满足题中条件的矩阵的个数共有个.
故选C.