7.2离散型随机变量及其分布列-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义Word
文档属性
| 名称 | 7.2离散型随机变量及其分布列-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义Word |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 345.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-27 21:13:46 | ||
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文档简介
高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布（人教A版2019）
7.2离散型随机变量及其分布列
【基础梳理】
一、离散型随机变量及其分布列
1.随机变量
定义:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称X为随机变量
2.离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值
3.随机变量和函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点相当于函数定义中的自变量，而样本空间相当于函数的定义域，不同之处在于不一定是数集
二、离散型随机变量的分布列及两点分布
1.离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
（1）离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…，xn我们称X取每一个值xi的概率,为X的概率分布列，简称为分布列
可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
P
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.
2.离散型随机变量的分布列的性质
（1），
（2）
3.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义
如果=p，则=1-p，那么X的分布列如表所示
X
0
1
P
1-P
P
我们称X服从两点分布或0-1分布
【课堂探究】
例1．随机变量的取值为，，，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设，，则由，，列出方程组，求出，，由此能求出．
【详解】
设，，
①，
又，②
由①②得，，，
，
故选：B.
例2．元旦游戏中有20道选择题，每道选择题给了4个选项（其中有且只有1个正确）.游戏规定：每题只选1项，答对得2个积分，否则得0个积分.某人答完20道题，并且会做其中10道题，其它试题随机答题，则他所得积分X的期望值（
）
A．25
B．24
C．22
D．20
【答案】A
【分析】
设剩余10题答对题目为道,则可表示出总的得分情况为.由二项分布可先求得,即可得所得积分X的期望值
【详解】
设剩余10题答对题目为个,
有10道题目会做,则总得分为,且
由二项分布的期望可知
所以
故选:A
【课后练习】
1．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.
【详解】
随机变量满足,,其中.
则随机变量的分布列为:
所以
随机变量,
所以当时,,当时,
所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):
则
当即,解得.所以A、B错误.
恒成立.
所以C错误,D正确
故选:D
2．设，随机变量的分布列是
则当在内增大时（
）
A．减小，减小
B．减小，增大
C．增大，减小
D．增大，增大
【答案】A
【分析】
根据随机变量的期望，方差公式计算出，后根据函数的单调性可得．
【详解】
由题意得，所以当在内增大时，减少；
，
所以当在内增大时，减少．
故选A．
3．已知随机变量满足，，若，则（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】
根据题目已知条件写出的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项.
【详解】
依题意可知：
0
1
0
1
由于，不妨设.故,，故选C.
4．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.
【详解】
的可能取值为.
表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.
表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.
表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.
所以.故选A.
5．已知是离散型随机变量，则下列结论错误的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用概率、数学期望、方差的性质直接求解．
【详解】
在A中，，故A正确；
在B中，由数学期望的性质得，故B正确；
在C中，由方差的性质得，故C正确；
在D中，，故D错误．
故选D.
6．设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则
A．
B．0
C．
D．
【答案】A
【分析】
将代入的表达式，利用概率之和为列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值.
【详解】
依题意可的的分布列为
1
2
3
4
依题意得
，解得，故.所以选A.
7．若随机变量的分布列为（
）
且，则随机变量的方差等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
分析：先根据已知求出a,b的值，再利用方差公式求随机变量的方差.
详解：由题得
所以
故答案为D.
8．已知是离散型随机变量，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
是离散型随机变量，，，，由已知得，解得，，
，故选B.
7.2离散型随机变量及其分布列
【基础梳理】
一、离散型随机变量及其分布列
1.随机变量
定义:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称X为随机变量
2.离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值
3.随机变量和函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点相当于函数定义中的自变量，而样本空间相当于函数的定义域，不同之处在于不一定是数集
二、离散型随机变量的分布列及两点分布
1.离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
（1）离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…，xn我们称X取每一个值xi的概率,为X的概率分布列，简称为分布列
可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
P
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.
2.离散型随机变量的分布列的性质
（1），
（2）
3.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义
如果=p，则=1-p，那么X的分布列如表所示
X
0
1
P
1-P
P
我们称X服从两点分布或0-1分布
【课堂探究】
例1．随机变量的取值为，，，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设，，则由，，列出方程组，求出，，由此能求出．
【详解】
设，，
①，
又，②
由①②得，，，
，
故选：B.
例2．元旦游戏中有20道选择题，每道选择题给了4个选项（其中有且只有1个正确）.游戏规定：每题只选1项，答对得2个积分，否则得0个积分.某人答完20道题，并且会做其中10道题，其它试题随机答题，则他所得积分X的期望值（
）
A．25
B．24
C．22
D．20
【答案】A
【分析】
设剩余10题答对题目为道,则可表示出总的得分情况为.由二项分布可先求得,即可得所得积分X的期望值
【详解】
设剩余10题答对题目为个,
有10道题目会做,则总得分为,且
由二项分布的期望可知
所以
故选:A
【课后练习】
1．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.
【详解】
随机变量满足,,其中.
则随机变量的分布列为:
所以
随机变量,
所以当时,,当时,
所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):
则
当即,解得.所以A、B错误.
恒成立.
所以C错误,D正确
故选:D
2．设，随机变量的分布列是
则当在内增大时（
）
A．减小，减小
B．减小，增大
C．增大，减小
D．增大，增大
【答案】A
【分析】
根据随机变量的期望，方差公式计算出，后根据函数的单调性可得．
【详解】
由题意得，所以当在内增大时，减少；
，
所以当在内增大时，减少．
故选A．
3．已知随机变量满足，，若，则（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】
根据题目已知条件写出的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项.
【详解】
依题意可知：
0
1
0
1
由于，不妨设.故,，故选C.
4．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.
【详解】
的可能取值为.
表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.
表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.
表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.
所以.故选A.
5．已知是离散型随机变量，则下列结论错误的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用概率、数学期望、方差的性质直接求解．
【详解】
在A中，，故A正确；
在B中，由数学期望的性质得，故B正确；
在C中，由方差的性质得，故C正确；
在D中，，故D错误．
故选D.
6．设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则
A．
B．0
C．
D．
【答案】A
【分析】
将代入的表达式，利用概率之和为列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值.
【详解】
依题意可的的分布列为
1
2
3
4
依题意得
，解得，故.所以选A.
7．若随机变量的分布列为（
）
且，则随机变量的方差等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
分析：先根据已知求出a,b的值，再利用方差公式求随机变量的方差.
详解：由题得
所以
故答案为D.
8．已知是离散型随机变量，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
是离散型随机变量，，，，由已知得，解得，，
，故选B.