7.1条件概率与全概率公式-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义 (1)Word

高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布（人教A版2019）
7.1条件概率与全概率公式
【基础梳理】
一、条件概率的概念
条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
知识点二、概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B
,若P(A)>0，则,我们称上式为概率的乘法公式.
知识点三、条件概率的性质
设P(A)>0，则
（1）
（2）如果B与C是两个互斥事件，则
（3）设和互为对立事件，则
知识点四、全概率公式
1.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件,有
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一
贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有==，
【课堂探究】
例1.近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为，充放电次数达到1000次的概率为.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电100次的概率为（
）
A．0.324
B．0.36
C．0.4
D．0.54
【答案】C
【分析】
事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1000次”，则，，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】
设事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1000次”，
则，
所以某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，
那么他的车能够达到充放电1000次的概率为：.
故选：C.
例2．某学校高三（）班要从名班干部（其中名男生，名女生）中选取人参加学校优秀班干部评选，事件男生甲被选中，事件有两名女生被选中，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
计算出事件、的概率，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】
由题意可得，
事件男生甲与两名女生被选中，则，
因此，.
故选：B.
【课后练习】
1.在上有两个连续型随机数，，记事件：，事件：，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据P（B|A）＝可得，其中S（AB）表示A和B同时发生所构成区域的面积，S（A）表示事件A发生构成区域的面积．
【详解】
设S（AB）表示A和B同时发生所构成区域的面积，S（A）表示事件A发生构成区域的面积．
由或，如图所示，
根据条件概率的计算公式P（B|A）＝．
故选：D．
2．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
记事件为“至少有一个女孩”，事件为“另一个也是女孩”，分别求出、的结果个数，问题是求在事件发生的情况下，事件发生的概率，即求，由条件概率公式求解即可.
【详解】
解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：男，男，男，女，女，男，女，女．
记事件为“至少有一个女孩”，事件为“另一个也是女孩”，则（男，女），（女，男），（女，女），（男，女），（女，男），（女，女），（女，女）．
于是可知，．
问题是求在事件发生的情况下，事件发生的概率，即求，由条件概率公式，得．
故选：B．
3．某次校园活动中，组织者给到场的前1000名同学分发编号的号码纸，每人一张，活动结束时公布获奖规则.获奖规则为：①号码的三位数字之和是7的倍数者可获得纪念品；②号码的三位数字全是奇数者可获得纪念品.已知某同学的号码满足获得纪念品的条件，则他同时可以获得纪念品的概率是（
）
A．0.016
B．0.032
C．0.064
D．0.128
【答案】D
【分析】
记某同学获得纪念品?纪念品分別为事件?，由分步乘法计数原理结合古典概型概率公式可得；再由分类加法、排列组合的知识结合古典概型概率公式可得；最后由条件概率公式即可得解.
【详解】
记某同学获得纪念品?纪念品分別为事件?，
则事件发生的充要条件是：三位数字均是1，3，5，7，9五个数中的一个，
对应的概率；
事件是在三位数字均为奇数的基础上，还需满足三位数字之和为7的倍数，
三个之间的数字之和范围为，
又因为每位数字都是奇数，故其和亦为奇数，
故三位数字之和只可能是7或21，所以三位数字从小到大排列只有以下五种可能：
①1，1，5，对应的三位数个数为；
②1，3，3，对应的三位数个数为；
③3，9，9，对应的三位数个数为；
④5，7，9，对应的三位数个数为；
⑤7，7，7，对应的三位数有1个；
故.
于是所求概率为.
故选：D.
4．已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先求出1号箱取到红球的概率，再求出在1号箱取到红球的条件下，2号箱取到红球的概率，利用条件概率的计算公式，可求出两次都取到红球的概率
【详解】
设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.
由题意，，，
所以,
所以两次都取到红球的概率为.
故选：C
5．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是(　　)
A．0.72
B．0.8
C．
D．0.9
【答案】A
【分析】
设一批种子的发芽率为事件，则，出芽后的幼苗成活率为事件B，则，根据条件概率公式计算即可，
【详解】
设一批种子的发芽率为事件，则，
出芽后的幼苗成活率为事件，则，
∴这粒种子能成长为幼苗的概率.
故选：A．
6．从中不放回地依次取2个数，事件
“第一次取到的数可以被3整除”,
“第二次取到的数可以被3整除”，则(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
分析：先求，，再根据得结果.
详解：因为，
所以,
选C.
7．如图所示的平面图形是由正方形和其内切圆及另外4个四分之一圆弧构成，若在正方形内随机取一点，用表示事件“点落在正方形的内切圆内”，表示事件“点落在阴影部分内”，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
分析：利用几何概型概率公式分别求出与的值，由条件概率公式可得结果.
详解：正方形面积为，
正方形内切圆面积为，
内切圆内阴影部分的面积为，
，
，故选D.
8．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
分析：根据条件概率求结果.
详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为，
选D.