7.3离散型随机变量的数字特征-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义Word
文档属性
| 名称 | 7.3离散型随机变量的数字特征-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义Word |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 370.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-27 21:15:06 | ||
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文档简介
高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布（人教A版2019）
7.3离散型随机变量的数字特征
【基础梳理】
离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变
量X的分布列为
X
P
则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，
它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
2．两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
3．离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为，
一般地，下面的结论成立:
二、离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X
P
考虑X所有可能取值与的偏差的平方,，…,因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称为随机变量X的方差，有时也记为，并称为随机变量X的标准差，记为
2.几个常见的结论
（1）
（2）如果随机变量X服从两点分布，那么
【课堂探究】
例1．两位教师和两位学生排成一排拍合照，记为两位学生中间的教师人数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意，随机变量的取值为，结合排列组合，求得随机变量的取值对应的概率，利用公式，即可求解.
【详解】
根据题意，随机变量的取值为，
可得，
所以期望为.
故选：C.
例2．将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（
）
A．、
B．、
C．、
D．、
【答案】B
【分析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得，利用数学期望的性质可求得.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
因此，.
故选：B.
【课后练习】
1．若随机变量X满足，N为正整数，则当时，的值最接近（
）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】
由期望公式计算出期望，计算可得近似值．
【详解】
，显然，当时，的值最接近．
故选：C．
2．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若
(为非零常数，)，则，，，…，，的均值和标准差为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，由已知得新样本的均值为，方差为，标准差为，代入可得选项.
【详解】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，则新样本的均值为，方差为，标准差为，所以，，所以标准差为，所以，
故选：B.
3．已知X的分布列为：
X
－1
0
1
P
a
设，则Y的数学期望的值是（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】
根据分布列的性质，求得，得到，再由，即可求得随机变量的期望.
【详解】
由题意，根据分布列的性质，可得，解得，
所以随机变量的期望为，
又由，所以随机变量的期望为
故选：B.
4．设，随机变量X的分布列是
则随机变量X的方差D（X）（
）
A．既与n有关，也与a有关
B．与n有关，但与a无关
C．既与a无关，也与n无关
D．与a有关，但与n无关
【答案】D
【分析】
根据分布列计算，再计算，得到答案.
【详解】
根据分布列得到，
故.
故选：D.
5．已知随机变量满足，，且，．若，则（
）．
A．，且
B．，且
C．，且
D．，且
【答案】B
【分析】
根据已知写出对应的两点分布的分布列,根据公式求出期望,由可得,根据方差公式构造二次函数,借助函数的单调性即可得出结果.
【详解】
由题知变量，的分布列均为两点分布．变量，的分布列如下：
0
1
0
1
则，，，，
由，因为，，
函数在上单调递增，所以.
故选:B．
6．已知箱中装有2个白球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）2个球，规定：
（a）取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，取出2球所得分数之和记随机变量；
（b）取出一个白球得1分，取出一个黑球得2分，取出2球所得分数之和记随机变量．
则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
求得随机变量的取值，求得相应的概率，分别计算得到，即可求解.
【详解】
由题意，随机变量的所有可能取值分别为2，3，4，
则，
所以，
所以．
随机变量的所有可能取值分别为2，3，4，
则，，
所以，
所以．
所以.
故选：A．
7．已知，随机变量，的分布列如表所示.
1
2
3
1
2
3
P
c
b
a
命题：，命题：，则(
)
A．p真q真
B．p真q假
C．p假q真
D．p假q假
【答案】C
【分析】
首先分别求和，然后比较，利用公式，利用公式，计算的值.
【详解】
，
，
，所以命题是假命题，
，，
所以
，，
，
，
，
所以，
即,所以命题是真命题.
综上可知假真.
故选：C
8．已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为（
）
A．9,12
B．9,36
C．11,12
D．11,36
【答案】D
【解析】
分析：由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差.
详解：由题意结合平均数，方程的性质可知：
数据的平均数为：，方差为.
本题选择D选项.
7.3离散型随机变量的数字特征
【基础梳理】
离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变
量X的分布列为
X
P
则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，
它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
2．两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
3．离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为，
一般地，下面的结论成立:
二、离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X
P
考虑X所有可能取值与的偏差的平方,，…,因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称为随机变量X的方差，有时也记为，并称为随机变量X的标准差，记为
2.几个常见的结论
（1）
（2）如果随机变量X服从两点分布，那么
【课堂探究】
例1．两位教师和两位学生排成一排拍合照，记为两位学生中间的教师人数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意，随机变量的取值为，结合排列组合，求得随机变量的取值对应的概率，利用公式，即可求解.
【详解】
根据题意，随机变量的取值为，
可得，
所以期望为.
故选：C.
例2．将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（
）
A．、
B．、
C．、
D．、
【答案】B
【分析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得，利用数学期望的性质可求得.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
因此，.
故选：B.
【课后练习】
1．若随机变量X满足，N为正整数，则当时，的值最接近（
）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】
由期望公式计算出期望，计算可得近似值．
【详解】
，显然，当时，的值最接近．
故选：C．
2．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若
(为非零常数，)，则，，，…，，的均值和标准差为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，由已知得新样本的均值为，方差为，标准差为，代入可得选项.
【详解】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，则新样本的均值为，方差为，标准差为，所以，，所以标准差为，所以，
故选：B.
3．已知X的分布列为：
X
－1
0
1
P
a
设，则Y的数学期望的值是（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】
根据分布列的性质，求得，得到，再由，即可求得随机变量的期望.
【详解】
由题意，根据分布列的性质，可得，解得，
所以随机变量的期望为，
又由，所以随机变量的期望为
故选：B.
4．设，随机变量X的分布列是
则随机变量X的方差D（X）（
）
A．既与n有关，也与a有关
B．与n有关，但与a无关
C．既与a无关，也与n无关
D．与a有关，但与n无关
【答案】D
【分析】
根据分布列计算，再计算，得到答案.
【详解】
根据分布列得到，
故.
故选：D.
5．已知随机变量满足，，且，．若，则（
）．
A．，且
B．，且
C．，且
D．，且
【答案】B
【分析】
根据已知写出对应的两点分布的分布列,根据公式求出期望,由可得,根据方差公式构造二次函数,借助函数的单调性即可得出结果.
【详解】
由题知变量，的分布列均为两点分布．变量，的分布列如下：
0
1
0
1
则，，，，
由，因为，，
函数在上单调递增，所以.
故选:B．
6．已知箱中装有2个白球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）2个球，规定：
（a）取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，取出2球所得分数之和记随机变量；
（b）取出一个白球得1分，取出一个黑球得2分，取出2球所得分数之和记随机变量．
则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
求得随机变量的取值，求得相应的概率，分别计算得到，即可求解.
【详解】
由题意，随机变量的所有可能取值分别为2，3，4，
则，
所以，
所以．
随机变量的所有可能取值分别为2，3，4，
则，，
所以，
所以．
所以.
故选：A．
7．已知，随机变量，的分布列如表所示.
1
2
3
1
2
3
P
c
b
a
命题：，命题：，则(
)
A．p真q真
B．p真q假
C．p假q真
D．p假q假
【答案】C
【分析】
首先分别求和，然后比较，利用公式，利用公式，计算的值.
【详解】
，
，
，所以命题是假命题，
，，
所以
，，
，
，
，
所以，
即,所以命题是真命题.
综上可知假真.
故选：C
8．已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为（
）
A．9,12
B．9,36
C．11,12
D．11,36
【答案】D
【解析】
分析：由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差.
详解：由题意结合平均数，方程的性质可知：
数据的平均数为：，方差为.
本题选择D选项.