6.3二项式定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义

高中数学选择性必修第三册第六章计数原理（人教A版2019）
6.3二项式定理
【基础梳理】
一、二项式定理
（1）二项式定理：（a+b）=++...+，n∈N
.
（2）二项式展开式：二项式定理右边的多项式叫做（a+b）的二项式展开式，它共有n+1项.
（3）二项式系数：各项的系数（k=0，1，2，...，n）叫做二
项式系数.
（4）二项展开式的通项：二项展开式中第k+1项叫做二项展开式的通项.
提醒：（1）二项展开式的通项是第k+1项，而不是第k项
（2）二项展开式的通项的二项式系数是,而不是
二、二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即=
增减性与最大值
当，随k的增加而增大；由对称性知，当k＞，随k的增加而减小，当n是偶数时，中间的一项相等，且同时取得最大值。
各二项式系数的和
①，即的展开式的各二项式洗漱的和等于。
②奇数项的二项式洗漱的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于，即+
【课堂探究】
例1．若的展开式中的系数为7，则展开式的常数项为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据二项展开式，得出第项，再求得，再利用展开式可求得常数项.
【详解】
的二项展开式中的第项为，
令，解得，所以的系数为7，解得，
所以的二项展开式中的第项为，
令，解得，所以展开式的常数项为，
故选：A.
例2．已知.则（
）
A．-30
B．30
C．-40
D．40
【答案】B
【分析】
令，得，进而得含的项为，从而得解.
【详解】
令，则有：，
即，
展开式的通项公式为：，
所以中含的项为：.
故选：B.
【课后练习】
1．在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】
利用二项式系数的性质：展开式中间项二项式系数最大，得，得出n的值.
【详解】
在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大，
即，解得：
故选：C．
2.．的展开式中的系数是（
）
A．60
B．80
C．84
D．120
【答案】D
【分析】
的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可.
【详解】
的展开式中的系数是
因为且，所以，
所以，
以此类推，.
故选：D.
3．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝（
）
A．284
B．356
C．364
D．378
【答案】C
【分析】
分别令x＝1和x＝－1，得到两式相加即得a0＋a2＋…＋a12＝365，再令x＝0，得a0，即得结果.
【详解】
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，　①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，　②
①②两式左右分别相加，
得2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730，
所以a0＋a2＋…＋a12＝365，再令x＝0，则a0＝1，
所以a2＋a4＋…＋a12＝364.
故选：C.
4．已知多项式可以写成，则（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
结合二项展开式的形式，得到，分别令和，即可求解.
【详解】
由题意，多项式
，
即，
令，可得，
令，可得，
两式相加，可得，可得.
故选：C.
5．在的展开式中，系数的绝对值最大的项为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项；
【详解】
二项式展开式为：
设系数绝对值最大的项是第项，
可得
可得，解得
在的展开式中，
系数的绝对值最大的项为：
故选：D.
6．若，二项式的展开式中项的系数为20，则定积分的最小值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】
由二项式定理展开项可得，再利用基本不等式可得结果.
【详解】
二项式的展开式的通项为
当时，二次项系数为
而定积分
当且仅当时取等号
故选C
7．在二项式的展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得，最后根据解出
详解：因为各项系数之和为，二项式系数之和为,
因为，所以,
选A.
8．设复数是虚数单位),则++++=
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
++++=,故选A．