7.5正态分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义Word

高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布（人教A版2019）
7.5正态分布
【基础梳理】
一、正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，
所得的曲线依然是正态曲线
函数，其中,为参数.
显然对于任意x∈R，，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
若随机变量X的概率密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为X～，特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
二、由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x=对称:
(2)曲线在x=处达到峰值
(3)当lxl无限增大时，曲线无限接近x轴.
三、正态分布的期望与方差
若,则,
四、正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)
(2)
(3)
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则
【课堂探究】
例1．已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由得到p，根据正态分布的性质再由得到及可得答案.
【详解】
由，则，则，则，
故选：D.
例2．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X服从正态分布，且，则下列命题不正确的是（
）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为10
【答案】B
【分析】
根据数学成绩可得平均成绩及标准差，可判断选项A和D，再由正态曲线的对称性可判断选项B和C，即可选出答案．
【详解】
∵数学成绩,即，
∴该市这次考试的数学平均成绩为80分，故A正确；
该市这次考试的数学标准差为10，D正确；
∵正态曲线关于直线x＝80对称，
∴且50与110也关于直线x＝80对称，
故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确；
60与120不关于直线x＝80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数不相同，故B错误；
故选：B．
【课后练习】
1．某地区共有高二学生5000人，该批学生某次数学考试的成绩服从正态分布，则成绩在分的人数大概是（
）
附：，，.
A．107
B．679
C．2493
D．2386
【答案】A
【分析】
由已知结合与原则求得P（76＜Z＜84），乘以5000得答案．
【详解】
由学生某次数学考试的成绩服从正态分布N（60，82），得μ＝60，＝8，
∴成绩在76～84分的人数大概是5000×0.0214＝107．
故选：A．
2．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（
）
附：若随机变量，则，.
A．0.1359
B．0.7282
C．0.6587
D．0.8641
【答案】D
【分析】
根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解.
【详解】
由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：
故所求的概率为，
故选：D
3．已知随机变量服从正态分布，若，则等于
（
）
[附：]
A．
B．
C．
D．D．
【答案】C
【分析】
由，再根据正态分布的对称性，即可求解.
【详解】
由题意，知，
则，
所以要使得，则，故选C.
4．某商场经营的某种包装的大米质量ξ（单位：kg）服从正态分布N（10，σ2），根据检测结果可知P（9．9≤ζ≤10．1）＝0．96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9．9kg以下的职工数大约为
A．10
B．20
C．30
D．40
【答案】B
【分析】
根据考试的成绩ξ服从正态分布N（10，σ2）．得到考试的成绩ξ关于ξ=10对称，根据P（9.9
≤ξ≤10.1）=0.96，得到P（ξ＜9.9）==0.023，根据频率乘以样本容量得到分发到的大
米质量在9.9kg以下的职工数．
【详解】
∵考试的成绩ξ服从正态分布N（10，σ2）．
∴考试的成绩ξ关于ξ=10对称，
∵P（9.9≤ξ≤10.1）=0.96，
∴P（ξ＜9.9）==0.02，
∴公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为0.02×1000=20．
故答案为B．
5．某工厂生产的零件外直径（单位：）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为（
）
A．上午生产情况异常，下午生产情况正常
B．上午生产情况正常，下午生产情况异常
C．上、下午生产情况均正常
D．上、下午生产情况均异常
【答案】B
【解析】
分析：根据3σ原则判断.
详解：因为服从正态分布，
所以
所以上午生产情况正常，下午生产情况异常,
选B.
6．某工厂生产的一种零件的尺寸（单位：）服从正态分布.现从该零件的生产线上随机抽取20000件零件，其中尺寸在内的零件估计有（
）
（附：若随机变量服从正态分布，则，
A．6827个
B．9545个
C．13654个
D．19090个
【答案】A
【解析】
分析：根据定义求，再根据频数等于频率与总数的乘积得结果.
详解：由，得，
因此尺寸在内的零件估计有，选A.
7．在某校高三年级的高考全真模拟考试中，所有学生考试成绩的取值(单位:分)是服从正态分布的随机变量，模拟“重点控制线”为490分（490分及490分以上都是重点），若随机抽取该校一名高三考生，则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为(
)
(附：若随机变量服从正态分布，则，，)
A．0.6826
B．0.6587
C．0.8413
D．0.3413
【答案】C
【解析】
因为，
所以，即,选C.
8．设随机变量的概率密度函数为：
，则
那么等于（???
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
,s所以随机变量，
，故选B.