7.4二项分布与超几何分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义Word
文档属性
| 名称 | 7.4二项分布与超几何分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册辅导讲义Word |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 299.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-27 21:16:23 | ||
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文档简介
高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布（人教A版2019）
7.4二项分布与超几何分布
【基础梳理】
一、二项分布
n重伯努利实验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验
特征：
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验，显然，n重伯努利实验具有如下共同特征：
①同一个伯努利试验重复做n次
②各次试验的结果相互独立
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜P＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作
二项分布的均值与方差
若，则，
二、超几何分布
1.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k=m,m+1,m+2,…，r
其中n，N，M,,,,,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布
2.超几何分布的期望
（P为N件产品的次品率）
【课堂探究】
例1已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用二项分布概率计算公式即可解得
【详解】
由已知位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为，则不被治愈的概率为
所以位患者中恰有1为患者被治愈的概率为
故选：B
例2．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为、，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数，即服从二项分布，则有即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.
【详解】
由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：
芯片领域被选的概率为：；不被选的概率为：；而选择芯片领域的人数，
∴服从二项分布，，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为.
故选：A.
【课后练习】
1．已知，且，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
∵，∴，，∴，且，解得，
∴，故选．
2．某人射击一发子弹的命中率为，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（
）
n
0
1
…
k
…
19
…
…
A．14发
B．15发
C．16发
D．15或16发
【答案】D
【分析】
设第k发子弹击中目标的概率最大，根据题意，可以表示第、k、发子弹击中目标的概率，进而可得且，即可得关于k的不等式组，求解可得答案．
【详解】
根据题意，设第k发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数n的概率（，，，，），
则有且，
即
，解可得
，
即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，
则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发.
故选：D．
3．袋中有3个白球和i个黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，设摸得黑球的个数为，其中，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】
由题意得，当时，可能的取值为：，可得，当时，可能的取值为：，可得，由二项分布分布列求得其相应的期望和方差，比较大小可得选项.
【详解】
当时，可能的取值为：，则：
，，，，
所以，所以，；
当时，可能的取值为：，则：
，，，，
所以，所以，；
所以，，
故选：A.
4．已知随机变量服从二项分布，且，，则p等于
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于和的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．
详解：随机变量服从二项分布，且，，
则由
，
可得
故选B.
5．在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
分析：根据超几何分布，可知共有
种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可．
详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，
由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时
当1个正品3个次品时
所以正品数比次品数少的概率为
所以选A
6．某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（
）
A．至少有个深度贫困村
B．有个或个深度贫困村
C．有个或个深度贫困村
D．恰有个深度贫困村
【答案】B
【分析】
用表示这个村庄中深度贫困村数，则服从超几何分布，故，分别求得概率，再验证选项.
【详解】
用表示这个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布，
故，
所以，
，
，
，
.
故选：B
7．已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
根据二项分布的均值与方差公式,可得的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得的最小值.
【详解】
离散型随机变量服从二项分布,且,
由二项分布的均值与方差公式可得,
化简可得,即
由基本不等式化简可得
即的最小值为
故选:B
8．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解.
【详解】
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为
故答案为：C.
7.4二项分布与超几何分布
【基础梳理】
一、二项分布
n重伯努利实验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验
特征：
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验，显然，n重伯努利实验具有如下共同特征：
①同一个伯努利试验重复做n次
②各次试验的结果相互独立
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜P＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作
二项分布的均值与方差
若，则，
二、超几何分布
1.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k=m,m+1,m+2,…，r
其中n，N，M,,,,,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布
2.超几何分布的期望
（P为N件产品的次品率）
【课堂探究】
例1已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用二项分布概率计算公式即可解得
【详解】
由已知位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为，则不被治愈的概率为
所以位患者中恰有1为患者被治愈的概率为
故选：B
例2．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为、，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数，即服从二项分布，则有即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.
【详解】
由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：
芯片领域被选的概率为：；不被选的概率为：；而选择芯片领域的人数，
∴服从二项分布，，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为.
故选：A.
【课后练习】
1．已知，且，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
∵，∴，，∴，且，解得，
∴，故选．
2．某人射击一发子弹的命中率为，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（
）
n
0
1
…
k
…
19
…
…
A．14发
B．15发
C．16发
D．15或16发
【答案】D
【分析】
设第k发子弹击中目标的概率最大，根据题意，可以表示第、k、发子弹击中目标的概率，进而可得且，即可得关于k的不等式组，求解可得答案．
【详解】
根据题意，设第k发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数n的概率（，，，，），
则有且，
即
，解可得
，
即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，
则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发.
故选：D．
3．袋中有3个白球和i个黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，设摸得黑球的个数为，其中，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】
由题意得，当时，可能的取值为：，可得，当时，可能的取值为：，可得，由二项分布分布列求得其相应的期望和方差，比较大小可得选项.
【详解】
当时，可能的取值为：，则：
，，，，
所以，所以，；
当时，可能的取值为：，则：
，，，，
所以，所以，；
所以，，
故选：A.
4．已知随机变量服从二项分布，且，，则p等于
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于和的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．
详解：随机变量服从二项分布，且，，
则由
，
可得
故选B.
5．在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
分析：根据超几何分布，可知共有
种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可．
详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，
由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时
当1个正品3个次品时
所以正品数比次品数少的概率为
所以选A
6．某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（
）
A．至少有个深度贫困村
B．有个或个深度贫困村
C．有个或个深度贫困村
D．恰有个深度贫困村
【答案】B
【分析】
用表示这个村庄中深度贫困村数，则服从超几何分布，故，分别求得概率，再验证选项.
【详解】
用表示这个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布，
故，
所以，
，
，
，
.
故选：B
7．已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
根据二项分布的均值与方差公式,可得的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得的最小值.
【详解】
离散型随机变量服从二项分布,且,
由二项分布的均值与方差公式可得,
化简可得,即
由基本不等式化简可得
即的最小值为
故选:B
8．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解.
【详解】
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为
故答案为：C.