7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第七章 复数
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
一、教学目标
1.会进行复数三角形式的乘除运算；?
2.了解复数乘、除运算的三角表示的几何意义;
3.通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生直观想象、数学运算、数学建模等数学素养.
二、教学重难点
1.复数三角形式的乘除运算;
2.复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解．
课前准备：阅读课本思考并完成以下问题
1.复数三角形式的乘、除运算如何进行？
2.复数三角形式的乘、除运算的三角表示的几何意义是什么？
三、教学过程：
1、创设情境：
问题1：类比复数的乘法运算，试推导复数三角形式的乘法运算.
生答:复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)
＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
所以设的三角形式分别是：
简记为 ：模数相乘，幅角相加
问题2：类比复数的乘法运算的几何意义，试推导复数三角形式的乘法运算的几何意义.
生答:建立直角坐标系, 以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角,r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角,引入向量,把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．
建构数学
复数三角形式的乘法运算:
设的三角形式分别是：
简记为 ：模数相乘，幅角相加
几何意义：
把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．
问题3：类比复数三角形式的乘法运算及其几何意义，试推导复数三角形式的除法及其几何意义.
复数三角形式的除法
设的三角形式分别是：
简记为 ：模数相除，幅角相减
几何意义：
把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．
数学应用
例1.已知i为虚数单位，，，求,请把结果化为代数形式,并作出几何解释.
解:，
.
首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的倍，绕点O按逆时针方向旋转这样得到一个长度为4，辐角为的向量,即为积所对应的向量.
变式训练1.计算下列各式，并作出几何解释：
（1）；
（2）；
【答案】（1）；（2）
解:（1）原式.
几何解释：设，
作与对应的向量，然后把向量
绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长
为原来的倍，得到一个长度为4,辐角为π的
向量，则即为积所对应的向量.
(2)原式
.
几何解释：设，
作与对应的向量，然后把向量
绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短
为原来的，得到一个长度为、辐角为 的
向量，则即为积所对应的向量.
例2 计算下列各式：
(1);
(2).
解:(1)
，
(2)
变式训练1.计算下列各式
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
变式训练2.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.（用代数形式表示）.
【答案】
【解析】由题意得.
例3.把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
解:由复数乘法的几何意义得,
又
的辐角主值为
小结：
1.复数三角形式的乘法运算及其几何意义:
简记为 ：模数相乘，幅角相加
2.复数三角形式的除法及其几何意义
简记为 ：模数相除，幅角相减
五、作业：习题7.3