2.5.2圆与圆的位置关系 学案2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章
文档属性
| 名称 | 2.5.2圆与圆的位置关系 学案2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 244.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 19:56:30 | ||
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文档简介
2.5.2 圆与圆的位置关系
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1．了解圆与圆的位置关系． 2．掌握圆与圆的位置关系的判断方法．
3．能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(数学抽象)
2．能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系．(数学运算)
3．能综合应用圆与圆的位置关系解决问题．(逻辑推理)
必备知识·探新知
知识点 两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d＞__r1＋r2__ d＝__r1＋r2__ __|r1－r2|__＜d＜__r1＋r2__ d＝__|r1－r2|__ d＜__|r1－r2|__
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 __相交__ __外切或内切__ __外离或内含__
思考：根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？
提示：不能．已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 判断两圆的位置关系
典例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含？
[分析] 先求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值．
[解析] 圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1．
∴|C1C2|＝＝a．
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．
[规律方法] 判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系．
(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．
【对点训练】? (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( B )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有__4__条．
[解析] (1)两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为＝，则R－r＜＜R＋r，所以两圆相交，选B．
(2)到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5．
半径之和为3＋1＝4，因为5＞4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．
题型二 两圆相切问题
典例2 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[分析] 设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得．
[解析] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1．①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝．②
＝r．③
解由①②②组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6．
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36．
[规律方法] 处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
【对点训练】? 已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程．
[解析] 圆O1的方程变为(x－4)2＋(y－4)2＝16，所以圆心O1(4，4)，因为圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(2，2)，所以a2＋(a＋4)2＝2(a－2)2，所以a＝0，所以圆O2的方程为x2＋y2＝16．
题型三 两圆相交问题
角度1 与弦长相关的问题
典例3 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
[解析] (1)将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10．
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝．
又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－．
∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0．
(3)解法一：两方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y－4 ③，把③代入②得y2－2y＝0，
∴y1＝0，y2＝2．
∴或
∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为＝2．
解法二：两方程联立，得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5．
圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离
d＝＝3，
∴两圆的公共弦长为2＝2＝2．
角度2 圆与圆位置关系的应用
典例4 已知圆C满足：圆心在直线x＋y＝0上，且过圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点A，B．
(1)求弦AB所在的直线方程和圆C的方程；
(2)过点M(－4,1)的直线l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．
[解析] (1)由题意：圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点A(－4,0)，B(0,2)．两式相减得：4x－8y＋16＝0，即x－2y＋4＝0，所以弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0．圆心在直线x＋y＝0上，设圆心为(a，－a)，那么它到两交点A，B的距离相等，故有(a＋4)2＋a2＝a2＋(2＋a)2，可得：a＝－3，即圆心(－3,3)，r2＝10，圆C的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10．
(2)当k存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋4)，即kx－y＋1＋4k＝0，直线l被圆C截得的弦长为6，即9＝r2－d2，所以d2＝1．即＝1，可得：k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋16＝0；当k不存在时，直线l的方程为x＋4＝0．直线l被圆C截得的弦长为6，符合题意．故所求直线l的方程为x＋4＝0或3x－4y＋16＝0．
[规律方法] 求两圆公共弦长的方法
1．代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长．
2．几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长．
【对点训练】? 已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y－4)2＝R2(R＞0)．
(1)R为何值时，圆C1与圆C2外切；
(2)在(1)的条件下，设切点为P，过P作直线l与圆C1相交于E点，若|PE|＝，求直线l的方程．
[解析] (1)由已知圆的方程可得：C1(0,0)，C2(4,4)，则|C1C2|＝4＝R＋1，
所以R＝4－1．
(2)因为C1(0,0)，C2(4,4)，所以P为直线C1C2与圆C1的交点，在第一象限．
联立得P ．
当直线斜率存在时，设直线l的斜率为k，
所以l：kx－y＋(1－k)＝0，则圆心C1到直线l的距离d＝＝，解得：k＝0，此时直线方程为y＝．当直线斜率不存在时直线方程为x＝也满足条件，故所求直线l的方程为y＝或x＝．
易错警示
两圆的位置有关系考虑不全面致错
典例5 求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[错解] 由题意知，所求圆的圆心为C(a,4)，半径为4，
故可设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－4)2＝16．
已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心为A(2,1)，半径为3．
由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，
∴(a－2)2＋(4－1)2＝72，
解得a＝2±2，
故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16．
[辨析] 两圆相切可为内切和外切，不要遗漏．
[正解] 设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由圆C与直线y＝0相切且半径为4，
则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．
已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3．
由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1．
①当圆心为C1(a,4)时，
(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，
故可得a＝2±2，故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16．
②当圆心为C2(a，－4)时，
(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2．
故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
[误区警示] 两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．解决两圆相切问题，常用几何法．
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1．了解圆与圆的位置关系． 2．掌握圆与圆的位置关系的判断方法．
3．能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(数学抽象)
2．能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系．(数学运算)
3．能综合应用圆与圆的位置关系解决问题．(逻辑推理)
必备知识·探新知
知识点 两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d＞__r1＋r2__ d＝__r1＋r2__ __|r1－r2|__＜d＜__r1＋r2__ d＝__|r1－r2|__ d＜__|r1－r2|__
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 __相交__ __外切或内切__ __外离或内含__
思考：根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？
提示：不能．已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 判断两圆的位置关系
典例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含？
[分析] 先求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值．
[解析] 圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1．
∴|C1C2|＝＝a．
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．
[规律方法] 判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系．
(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．
【对点训练】? (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( B )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有__4__条．
[解析] (1)两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为＝，则R－r＜＜R＋r，所以两圆相交，选B．
(2)到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5．
半径之和为3＋1＝4，因为5＞4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．
题型二 两圆相切问题
典例2 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[分析] 设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得．
[解析] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1．①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝．②
＝r．③
解由①②②组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6．
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36．
[规律方法] 处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
【对点训练】? 已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程．
[解析] 圆O1的方程变为(x－4)2＋(y－4)2＝16，所以圆心O1(4，4)，因为圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(2，2)，所以a2＋(a＋4)2＝2(a－2)2，所以a＝0，所以圆O2的方程为x2＋y2＝16．
题型三 两圆相交问题
角度1 与弦长相关的问题
典例3 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
[解析] (1)将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10．
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝．
又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－．
∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0．
(3)解法一：两方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y－4 ③，把③代入②得y2－2y＝0，
∴y1＝0，y2＝2．
∴或
∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为＝2．
解法二：两方程联立，得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5．
圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离
d＝＝3，
∴两圆的公共弦长为2＝2＝2．
角度2 圆与圆位置关系的应用
典例4 已知圆C满足：圆心在直线x＋y＝0上，且过圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点A，B．
(1)求弦AB所在的直线方程和圆C的方程；
(2)过点M(－4,1)的直线l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．
[解析] (1)由题意：圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点A(－4,0)，B(0,2)．两式相减得：4x－8y＋16＝0，即x－2y＋4＝0，所以弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0．圆心在直线x＋y＝0上，设圆心为(a，－a)，那么它到两交点A，B的距离相等，故有(a＋4)2＋a2＝a2＋(2＋a)2，可得：a＝－3，即圆心(－3,3)，r2＝10，圆C的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10．
(2)当k存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋4)，即kx－y＋1＋4k＝0，直线l被圆C截得的弦长为6，即9＝r2－d2，所以d2＝1．即＝1，可得：k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋16＝0；当k不存在时，直线l的方程为x＋4＝0．直线l被圆C截得的弦长为6，符合题意．故所求直线l的方程为x＋4＝0或3x－4y＋16＝0．
[规律方法] 求两圆公共弦长的方法
1．代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长．
2．几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长．
【对点训练】? 已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y－4)2＝R2(R＞0)．
(1)R为何值时，圆C1与圆C2外切；
(2)在(1)的条件下，设切点为P，过P作直线l与圆C1相交于E点，若|PE|＝，求直线l的方程．
[解析] (1)由已知圆的方程可得：C1(0,0)，C2(4,4)，则|C1C2|＝4＝R＋1，
所以R＝4－1．
(2)因为C1(0,0)，C2(4,4)，所以P为直线C1C2与圆C1的交点，在第一象限．
联立得P ．
当直线斜率存在时，设直线l的斜率为k，
所以l：kx－y＋(1－k)＝0，则圆心C1到直线l的距离d＝＝，解得：k＝0，此时直线方程为y＝．当直线斜率不存在时直线方程为x＝也满足条件，故所求直线l的方程为y＝或x＝．
易错警示
两圆的位置有关系考虑不全面致错
典例5 求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[错解] 由题意知，所求圆的圆心为C(a,4)，半径为4，
故可设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－4)2＝16．
已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心为A(2,1)，半径为3．
由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，
∴(a－2)2＋(4－1)2＝72，
解得a＝2±2，
故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16．
[辨析] 两圆相切可为内切和外切，不要遗漏．
[正解] 设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由圆C与直线y＝0相切且半径为4，
则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．
已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3．
由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1．
①当圆心为C1(a,4)时，
(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，
故可得a＝2±2，故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16．
②当圆心为C2(a，－4)时，
(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2．
故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
[误区警示] 两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．解决两圆相切问题，常用几何法．