_3.1.1 椭圆及其标准方程 学案 2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章
文档属性
| 名称 | _3.1.1 椭圆及其标准方程 学案 2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 652.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 19:54:08 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭 圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程． 2．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(数学建模)
2．掌握椭圆的定义和标准方程．(数学抽象)
3．会求椭圆的标准方程．(数学运算)
必备知识·探新知
知识点1 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__常数__(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2．
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|．
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝__2a__(常数)且2a__＞__|F1F2|．
知识点2 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 __＋＝1(a＞b＞0)__ __＋＝1(a＞b＞0)__
图形
焦点坐标 __F1(－c,0)，F2(c,0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__
a，b，c的 关系 __b2＝a2－c2__
思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
提示：能．椭圆的焦点在x轴上?标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上?标准方程中含y2项的分母较大．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 求椭圆的标准方程
角度1 待定系数法
典例1 根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
[分析] (1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a，b的值，即可求得方程；(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a，b的值，即可求得方程；(3)焦点位置不确定，可以分两种情况分别求解，也可直接设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
[解析] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为2a＝＋＝10，所以a＝5．
又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以解得
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1．
(3)方法1：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
因为不满足a＞b＞0，所以无解．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
方法2：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
[规律方法] 椭圆方程的求法
1．利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下：
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为焦点位置包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两种情况，所以可以避免分类讨论，从而简化运算．
角度2 定义法
典例2 一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
[分析] 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，由此可以找到动圆圆心满足的条件等式．
[解析] 两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3,0)，r1＝1；Q2(3,0)，r2＝9．
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由题意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，∴|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6．
由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1．
[规律方法] 1．若动点轨迹满足椭圆的定义，则根据椭圆的定义来确定a，b，c，从而确定椭圆的标准方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．
2．一般步骤：
(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离)；
(2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；
(3)确定椭圆的基本量a，b，c，从而确定椭圆的标准方程．
【对点训练】? 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
[解析] (1)方法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
方法二：(待定系数法)设椭圆的方程为
Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．设它的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1．②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
题型二 对椭圆标准方程的理解
典例3 (1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( B )
A．(－9,25) B．(－9,8)∪(8,25)
C．(8,25) D．(8，＋∞)
(2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____．
[解析] (1)依题意有解得－9＜m＜8或8＜m＜25，
即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)．
(2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为＋＝1，
依题意有解得m＜－，
即实数m的取值范围是．
[规律方法] 根据椭圆方程求参数的取值范围
1．给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0．
2．若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况．
【对点训练】? 若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是__(－4,0)∪(0,3)__．
[解析] 方程化为＋＝1，
依题意应有12－a＞a2＞0，解得－4＜a＜0或0＜a＜3．
题型三 椭圆中的焦点三角形问题
典例4 已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的任一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积．
[分析] (1)由|PF1|＋|PF2|是定值，求|PF1|·|PF2|的最大值，可考虑用基本不等式；(2)求焦点三角形的面积，可考虑用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|，再考虑用三角形面积公式求面积．
[解析] (1)由|PF1|＋|PF2|≥2知，
|PF1|·|PF2|≤2＝2＝100，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立，
即|PF1|·|PF2|取到最大值100．
(2)c2＝a2－b2＝100－64＝36，c＝6，
则F1(－6,0)，F2(6,0)．
∵P为椭圆上任一点，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20．
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．
∵|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|，∴122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
∴122＝202－3|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝＝．
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin＝××＝．
[规律方法] 焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ．
(3)焦点三角形的面积S△F1MF2＝|MF1||MF2|sin θ＝b2tan ．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
【对点训练】?
如图，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．
(1)求△AF1B的周长；
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？
[解析] (1)由题意知A，B在椭圆＋＝1上，
故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝10＋10＝20，∴△AF1B的周长为20．
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变．
理由：|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，和AB与x轴是否垂直无关．
易错警示
典例5 △ABC的三边a、b、c(a＞b＞c)成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹方程．
[错解] 设点B的坐标为(x，y)．
∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，∴|BC|＋|BA|＝4．
根据椭圆的定义易知，
点B的轨迹方程为＋＝1．
[辨析] 错误的原因是忽略了题设中的条件a＞b＞c，使变量x的范围扩大，从而导致错误．另外一处错误是当点B在x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形．
[正解] ∵a＞c，即＞，解得x＜0．又点B不在x轴上，∴x≠－2．
故所求的轨迹方程为＋＝1(－2＜x＜0)．
[规律方法] 要认真审题，弄清已知条件，注意是否存在隐含条件，不能扩大或缩小变量x或y的取值范围．
3.1 椭 圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程． 2．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(数学建模)
2．掌握椭圆的定义和标准方程．(数学抽象)
3．会求椭圆的标准方程．(数学运算)
必备知识·探新知
知识点1 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__常数__(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2．
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|．
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝__2a__(常数)且2a__＞__|F1F2|．
知识点2 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 __＋＝1(a＞b＞0)__ __＋＝1(a＞b＞0)__
图形
焦点坐标 __F1(－c,0)，F2(c,0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__
a，b，c的 关系 __b2＝a2－c2__
思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
提示：能．椭圆的焦点在x轴上?标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上?标准方程中含y2项的分母较大．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 求椭圆的标准方程
角度1 待定系数法
典例1 根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
[分析] (1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a，b的值，即可求得方程；(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a，b的值，即可求得方程；(3)焦点位置不确定，可以分两种情况分别求解，也可直接设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
[解析] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为2a＝＋＝10，所以a＝5．
又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以解得
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1．
(3)方法1：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
因为不满足a＞b＞0，所以无解．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
方法2：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
[规律方法] 椭圆方程的求法
1．利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下：
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为焦点位置包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两种情况，所以可以避免分类讨论，从而简化运算．
角度2 定义法
典例2 一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
[分析] 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，由此可以找到动圆圆心满足的条件等式．
[解析] 两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3,0)，r1＝1；Q2(3,0)，r2＝9．
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由题意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，∴|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6．
由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1．
[规律方法] 1．若动点轨迹满足椭圆的定义，则根据椭圆的定义来确定a，b，c，从而确定椭圆的标准方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．
2．一般步骤：
(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离)；
(2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；
(3)确定椭圆的基本量a，b，c，从而确定椭圆的标准方程．
【对点训练】? 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
[解析] (1)方法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
方法二：(待定系数法)设椭圆的方程为
Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．设它的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1．②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
题型二 对椭圆标准方程的理解
典例3 (1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( B )
A．(－9,25) B．(－9,8)∪(8,25)
C．(8,25) D．(8，＋∞)
(2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____．
[解析] (1)依题意有解得－9＜m＜8或8＜m＜25，
即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)．
(2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为＋＝1，
依题意有解得m＜－，
即实数m的取值范围是．
[规律方法] 根据椭圆方程求参数的取值范围
1．给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0．
2．若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况．
【对点训练】? 若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是__(－4,0)∪(0,3)__．
[解析] 方程化为＋＝1，
依题意应有12－a＞a2＞0，解得－4＜a＜0或0＜a＜3．
题型三 椭圆中的焦点三角形问题
典例4 已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的任一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积．
[分析] (1)由|PF1|＋|PF2|是定值，求|PF1|·|PF2|的最大值，可考虑用基本不等式；(2)求焦点三角形的面积，可考虑用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|，再考虑用三角形面积公式求面积．
[解析] (1)由|PF1|＋|PF2|≥2知，
|PF1|·|PF2|≤2＝2＝100，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立，
即|PF1|·|PF2|取到最大值100．
(2)c2＝a2－b2＝100－64＝36，c＝6，
则F1(－6,0)，F2(6,0)．
∵P为椭圆上任一点，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20．
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．
∵|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|，∴122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
∴122＝202－3|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝＝．
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin＝××＝．
[规律方法] 焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ．
(3)焦点三角形的面积S△F1MF2＝|MF1||MF2|sin θ＝b2tan ．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
【对点训练】?
如图，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．
(1)求△AF1B的周长；
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？
[解析] (1)由题意知A，B在椭圆＋＝1上，
故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝10＋10＝20，∴△AF1B的周长为20．
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变．
理由：|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，和AB与x轴是否垂直无关．
易错警示
典例5 △ABC的三边a、b、c(a＞b＞c)成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹方程．
[错解] 设点B的坐标为(x，y)．
∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，∴|BC|＋|BA|＝4．
根据椭圆的定义易知，
点B的轨迹方程为＋＝1．
[辨析] 错误的原因是忽略了题设中的条件a＞b＞c，使变量x的范围扩大，从而导致错误．另外一处错误是当点B在x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形．
[正解] ∵a＞c，即＞，解得x＜0．又点B不在x轴上，∴x≠－2．
故所求的轨迹方程为＋＝1(－2＜x＜0)．
[规律方法] 要认真审题，弄清已知条件，注意是否存在隐含条件，不能扩大或缩小变量x或y的取值范围．